Test di Geometria
Ingegneria Meccanica a.a. 2019/20
Il test consiste di sei esercizi, e ha la durata di tre ore. Rispondere negli spazi predisposti, e giustificare le risposte in modo chiaro e conciso (nell’esame vero e proprio si potra’ usare anche il retro del foglio).
Esercizio 1 Nello spazio vettoriale R4 si considerino i sottospazi vettoriali
V = L
0 0 1 0
,
−1 1 0
−1
,
1 1 1 0
, W :
(x1+ x2− x4 = 0 x2+ x3+ x4 = 0.
a) Calcolare la dimensione e determinare una base ortogonale (se esiste) del sottospazio W .
b) Calcolare la dimensione e determinare una base del sottospazio V⊥.
c) Calcolare la dimensione e determinare una base di ciascuno dei sottospazi V ∩ W e V + W , dire inoltre se la somma V + W `e diretta oppure no.
Esercizio 2 Si consideri la matrice A =
0 2 0 0
1 −1 0 0
0 0 0 k
0 0 1 0
dipendente dal parametro reale k.
a) Determinare gli autovalori quando k = 1.
b) Determinare i valori di k per i quali gli autovalori sono tutti reali.
c) Determinare i valori di k per i quali A `e diagonalizzabile.
d) Determinare gli eventuali valori di k per i quali A `e simile alla matrice D =
−2 0 0 0
0 1 0 0
0 0 3 0
0 0 0 −3
.
Esercizio 3 a) Enunciare il secondo criterio di diagonalizzabilita’.
b) Stabilire se esiste un endomorfismo f di R3tale che Kerf : x+y−3z = 0 e Imf : 2x+y+4z = 0 (se esiste, trovarne uno, se non esiste, spiegare perch´e).
c) Supponiamo che i vettori v1, v2, v3 ∈ R5 siano tutti non-nulli e a due a due ortogonali. `E vero che v1, v2, v3 sono linearmente indipendenti ? (Se lo sono sempre, dimostrare perch´e; se a volte non lo sono, dare un controesempio).
Esercizio 4 Nello spazio sono dati la retta r :
x = 2t y = t z = t
e il piano π : x − y + z = 0.
a) Determinare la retta r0 proiezione ortogonale di r su π.
b) Determinare l’equazione cartesiana di una sfera di raggio √
3 con centro sulla retta r e tangente a π. Tale sfera `e unica ?
c) Determinare equazioni (cartesiane o parametriche) della retta r00 che giace sul piano π ed `e ortogonale a r.
Esercizio 5 `E data la conica γk : 2x2+ 2y2+ 2kxy − 1 = 0 dipendente dal parametro reale k ≥ 0.
a) Determinare la forma canonica di γkal variare di k e disegnare la conica nel caso in cui essa
`
e degenere.
b) Disegnare la conica γ0ottenuta per il valore k = 0, e trovare l’equazione di una retta tangente a γ0 e parallela alla retta x − y = 0.
c) Determinare il valore di k per il quale γk `e un ellisse di area π. (Suggerimento: l’area dell’ellisse di semiassi a, b `e πab). In generale, se γk`e un’ellisse, quali valori pu`o assumere l’area di γk?
Esercizio 6 a) Discutere le soluzioni del seguente sistema lineare al variare del parametro
reale k: (
x + 2y − z = k 4x + 4ky − k2z = 2
b) Sono dati i punti A = (12,
√ 3
2 ) e B = (−
√ 3
2 , −12). Trovare la matrice canonica della rotazione di centro l’origine che porta A in B (in senso antiorario).
c) Dati i vettori v1 = 1 1
, v2 = 1
−1
, w1 = −1
−2
, w2 = 3 6
, trovare (se possibile) un’endomorfismo f di R2 tale che f (v1) = w1, f (v2) = w2.
