Esercizi di Geometria C.d.L. Ingegneria Meccanica

Esercizi di Geometria C.d.L. Ingegneria Meccanica

a.a. 2012/13 Spazi vettoriali e lineare dipendenza Soluzioni

1) W = {(x, y, z, t) ∈ R

⁴

: t = 0}; a ∈ W; b / ∈ W.

2) Vettori linearmente dipendenti (sono 4 vettori in R

³

, quindi non serve alcun calcolo). c, d ∈ Span{a, b}.

3) W

₂

e W

₄

sono sottospazi vettoriali. La loro dimensioni sono dim(W

₂

) = 2 e dim(W

₄

) = 3. Una base per W

₂

´ e B

₂

= {(1, 0, 0, −2), (0, 1, −1/3, 0)}, una base per W

4

´ e B

4

= {(2, 1, 0, 1), (−1, 1, 0, 2), (0, 0, 1, −1)}.

4) W

₁

´ e un sottospazio vettoriale di dimensione 3. Una base per W

₁

´ e B

₁

= { 1 1

0 1



, 0 2 1 −1



, 0 0 1 −2

 }.

W

₃

´ e un sottospazio vettoriale di dimensione 3. Una base per W

₃

´ e B

3

=





1 0 0 0 0 0 0 0 0



 ,





0 0 0 0 1 0 0 0 0



 ,





0 0 0 0 0 0 0 0 1



}.

W

4

´ e un sottospazio vettoriale di dimensione 6. Una base per W

4

´ e B

4

= {





1 0 0 0 0 0 0 0 0



 ,





0 1 0 1 0 0 0 0 0



 ,





0 0 1 0 0 0 1 0 0









0 0 0 0 1 0 0 0 0



 ,





0 0 0 0 0 1 0 1 0



 ,





0 0 0 0 0 0 0 0 1



}.

5) c = 2a − b, dunque W = Span{a, b} e dim(W ) = 2.

W = {(x, y, z, t) : x = −

²₃

y +

¹₂

z, t =

⁴₃

y +

¹₂

z}. Una base di W ´ e {a, b} e la si pu´ o estendere alla base {a, b, (1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0)} di R

⁴

.

6) W

1

= {M = x y z t



∈ M(2; R) : x + 2t = 0, y + 4t = 0} = { −2t −4t

z t



∈ M(2; R) : z, t ∈ R}.

dim(W

₁

) = 2 e una base per W

₁

´ e B

₁

= { −2 −4

0 1



, 0 0 1 0

 }.

W

₂

= Span{A, B} = {M = x y z t



∈ M(2; R) : x = 8z−2t, y = 13z−4t}.

1

dim(W

2

) = 2 e una base per W

2

´ e B

2

= {A, B}.

W

1

+ W

2

= Span{A, B, D = −2 −4

0 1



, E = 0 0 1 0



} = Span{A, B, E}.

dim(W

1

+W

2

) = 3, dunque, per la formula di Grassman, dim(W

1

∩W

₂

) = 1.

Le equazioni di W

₁

+ W

₂

si ottengono determinando Span{A, B, E}, mentre le equazioni di W

₁

∩ W

₂

sono l’unione delle equazioni di W

₁

e di quelle di W

2

, cio´ e: x + 2t = 0, y + 4t = 0, x = 8z − 2t, y = 13z − 4t, riducibili a x = −2t, y = −4t, z = 0.

7) Suggerimento e soluzione Lo spazio R[x]

_deg≤3

´ e isomorfo a R

⁴

, cio´ e ad ogni polinomio a(x) = a

0

+a

1

x+a

2

x

²

+a

3

x

³

si pu´ o far corrispondere secondo un’applicazione biunivoca la quaterna (a

0

, a

1

, a

2

, a

3

), dunque l’esercizio pu´ o essere risolto in R

⁴

. a(x), b(x), c(x), d(x) sono linearmente indipendenti se e solo se lo sono le quaterne a = (−4, 3, 0, 0), b = (2, 0, −1, 2), c = (0, −3, 1, 0), d = (−1, 0, 0, 1). Si ottiene dim(W ) = 3; una base di W ´ e, ad esempio B = {a(x), b(x), c(x)}. Le equazioni di W si ottengono determi- nando Span{a, b, c} = {(x, y, z, t) ∈ R

⁴

: x = (−4/3)y −4z −t} e deducendo W = {a(x) = a

0

+ a

1

x + a

2

x

²

+ a

3

x

³

: a

0

= (−4/3)a

1

− 4a

₃

− a

₄

}.

8) B e C sono linearmente indipendenti, mentre A ´ e linearmente dipendente.

10) dim(W

₁

)=3 e una base per W

₁

´ e B

₁

= {(1, 0, 0, 1), (0, 1, 0, 1), (0, 0, 1, −1)}.

dim(W

2

)=3 e una base per W

2

´ e B

2

= {(1, 0, 0, −1), (0, 1, 0, 1), (0, 0, 1, 1)}.

W

₁

∩ W

₂

= {(x, y, z, t) ∈ R

⁴

: x + y − z − t = 0, x − y − z + t = 0}, ovvero W

₁

∩ W

₂

= {(x, y, z, t) ∈ R

⁴

: x = z, y = t}. dim(W

₁

∩ W

₂

) = 2 e una base per W

1

∩ W

₂

´ e B = {(1, 0, 1, 0), (0, 1, 0, 1)}. Per la formula di Grassman dim(W

₁

+ W

₂

) = 4, cio´ e W

₁

+ W

₂

≡ R

⁴

. Una base per W

₁

+ W

₂

´ e la base canonica di R

⁴

.

11) I vettori di W

1

sono linearmente indipendenti, quindi W

1

≡ R

³

. Il terzo vettore di W

2

´ e la differenza fra il secondo ed il primo, dunque W

2

= Span{(3, 7, −1), (8, 0, 2)} = {(x, y, z) : y + 4z = x}. Il vettore u = (1, 1, 0) appartiene sia a W

1

che a W

2

.

12) W

1

= {(x, y, z, t) : y = 3x, z = −2x, t = 4x}, dim(W

1

) = 1 e una base per W

₁

´ e B

₁

= {(1, 3, −2, 4)}. dim(W

₂

) = 2 e e una base per W

₂

´ e B

₂

= {(1, 0, 1, 4), (0, 1, −1, 0)}. W

₁

∩ W

₂

= {(x, y, z, t) : y = 3x, z = −2x, y + z − x = 0, t = 4x} = W

1

. Dunque dim(W

1

∩ W

₂

) = 1, dim(W

₁

+ W

₂

) = 2 e W

₁

+ W

₂

≡ W

₂

. Lo spazio somma non ´ e una somma diretta, perch´ e W

₁

∩ W

₂

6= ∅.

2