Proff. S. De Marchi e M. R. Russo 19 settembre 2011

Proff. S. De Marchi e M. R. Russo 19 settembre 2011

• L’esame consiste di 4 domande aperte e 10 esercizi a risposta multipla.

• Per gli esercizi ci sono tre risposte etichettate con le lettere A, B, C. Riportare la correspondente lettera nella griglia finale. Non sono ammesse cancellazioni o correzioni alle risposte della griglia .

• Non `e ammesso l’uso di appunti, libri e qualsiasi tipo di calcolatrice e/o pc (incluso i cellulari che devono essere spenti e riposti sopra il tavolo).

• Tempo: 2 ore e 30 minuti.

1 Si consideri un metodo di punto fisso xk = g(xk−1), k ≥ 1. Quale condizione deve essere verificata affinch`e il metodo ammetta un’unico punto fisso? Si dia un esempio di funzione d’iterazione avente un unico punto fisso.

Risposta. Si richiede che la funzione g sia una contrazione. Ovvero esiste L < 1 tale che |g(x)−g(y)| < L|x−y|, ∀x, y.

Una funzione, banale, che ammette un unico punto fisso `e g(x) = ax + b con a 6= 1 il cui punto fisso `e b/(1 − a) per ogni scelta di b.

2 Cos’`e il numero di condizionamento in norma 2 di una matrice? Si faccia vedere inoltre che, se la matrice A `e simmetrica, vale kAk₂= ρ(A).

Risposta. κ2(A) = kAk2kA⁻¹k2. Sappiamo inoltre che kAk2 =pρ(A^TA). Se A `e simmetrica, `e facile osservare che ρ(A²) = ρ²(A) e quindi concludere che kAk2= ρ(A).

3 Il polinomio di Taylor

t_n(x) = f (x₀) + (x − x₀)f⁰(x₀) + · · · + (x − x₀)ⁿ

n! f⁽ⁿ⁾(x₀)

corrisponde al polinomio d’interpolazione in forma di Newton di una funzione f , quando i punti d’interpolazione collassano nel punto x₀. Ma chi `e il polinomio d’interpolazione in forma di Newton di una funzione f ? Risposta. Il polinomio d’interpolazione in forma di Newton `e pn(x) = f (x0) + (x − x0)f [x0, x1] + · · · + (x − x0) · · · (x − xn−1)f [x0, . . . , xn] con f [x0, . . . , xk], k = 0, ..., n − 1 la differenza divisa di ordine k della funzione f .

4 Si scriva una function Matlab per implementare il metodo d’iterazione di punto fisso x = g(x) che, richiedendo in ingresso la funzione g, il valore iniziale x0, una tolleranza prefissata tol e un numero massimo di iterazioni maxit, restituisca il valore del punto fisso x e il numero di iterazioni effettuate iter.

function [x, iter]=MetIterazioneFunz(g, x0, tol, maxit)

%---

% Metodo d’iterazione funzionale

%---

% Inputs

% g: funzione d’iterazione

% x0: guess iniziale

% tol: tolleranza

% maxit: numero massimo d’iterazioni

%

% Outputs

% x: soluzione

% iter: iterazioni fatte

%--- x1=g(x0); k=1;

while abs(x1-x0) > tol*abs(x1) & k <= maxit x0=x1;

x1=g(x0);

k=k+1;

end

% Se converge, x0 oppure x1 contengono il valore

% dello zero cercato.

iter=k-1;

x=x1;

return



1. Si consideri la serie del coseno

cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − x⁶/6! + x⁸/8! − · · · .

Valutare cos( 1) il cui valore, arrotondato a 2 decimali, `e 0.540. Quanti termini della serie sono necessari per approssimare cos(1) con errore assoluto ≈ 1.7 · 10⁻³?

A 3 B 4 C 5

Risposta A. Infatti, 1 − 1/2 + 1/24 ≈ 0.54

2. Il polinomio cubico p₃(x) = x³− 3x²+ 3 ha una radice reale α > 0. Qual `e l’intervallo separatore di tale radice?

Si dia anche una stima di α con una una cifra decimale usando come iterazione il metodo di Newton.

A [-0.5, 0], α ≈ −0.3 B [1, 1.5], α ≈ 1.3 C [1, 1.5], α ≈ 1.6.

Risposta B. p3(1) = 1 > 0 e p3(3/2) = −3/8 < 0. Usando Newton partendo da x0= 1 si ha x1= 1−1/(−3) = 4/3 ≈ 1.3.

3. Data la funzione f (x) = 1 − e^x−1. Per calcolare la radice x^∗= 1, quale tra le seguenti 3 funzioni d’iterazione converge con ordine almeno quadratico?

A g1(x) = xe^x−1 B g2(x) = x − 1 + e^1−x C g3(x) = 1 + log(x + 1)

Risposta B. Basta verificare quale g_i⁰(1) = 0, i = 1, 2, 3. Ma g2(x) altro non `e che la funzione d’iterazione del metodo di Newton. Infatti, g⁰₂(x) = 1 − e^1−x che per x = 1 si annulla.

4. Si consideri, al variare del parametro a > 1, la matrice A =

 1 1 + a

−2 −1

 .

Calcolare kA⁻¹k∞ (che dipender`a da a).

A kA⁻¹k∞= (a + 2)/(2a + 1) B kA⁻¹k∞= 3/(2a + 1) C kA⁻¹k∞= a/(2a + 1) Risposta A. Infatti

A⁻¹= 1 2a + 1

 −1 −(1 + a)

2 1

 . 5. Data la matrice

A =





α 0 β

0 β − α 0

β 0 α



, α < 0, β > 0 .

Dire, testando una condizione sufficiente, quando l’associata matrice del metodo iterativo di Jacobi risulta convergente.

A |α| < 1 B α/β < −1 C β > −α Risposta C. L’associata matrice di Jacobi `e

J =





0 0 −^β_α

0 0 0

−_α^β 0 0



 ,

Guardando alla norma infinito si conclude. Si possono anche calcolare gli autovalori di J e il risultato `e (ovviamente) lo stesso.

6. Sia p₂(x) il polinomio d’interpolazione di grado 2 della funzione f (x) = 1 + sin (x − π/2) costruito su nodi equispaziati di [0, π/2]. Si fornisca una maggiorazione dell’errore assoluto |f (x) − p₂(x)|, ∀ x ∈ [0, π/2] (il risultato sia arrotondato a 2 cifre decimali, usando l’approssimazione π/2 ≈ 1.57).

A 0.32 B 0.03 C 0.59

Risposta B. Quando i nodi sono equispaziati vale la maggiorazione

|f (x) − p2(x)| ≤ h³

4 ∗ 3 max

x∈[0,π/2]|f³(x)|, ∀ x ∈ [0, π/2]

con h = π/4 ≈ 0.7. Essendo maxx∈[0,π/2]|f³(x)| = 1 si conclude che la risposta voluta `e la B.

7. I polinomi ortogonali di Chebyshev di primo tipo soddisfano la ricorrenza

T₀(x) = 1, T₁(x) = x, T_n(x) = 2xT_n−1(x) − T_n−2(x), n ≥ 2 .

Qual `e il coefficiente del monomio di grado massimo per n = 20 e qual `e il grado del terzo monomio di T20(x)?

A 2²¹, 17 B exp(19 log(2)), 16 C 262144, 20

Risposta B. Infatti, il coefficiente del monomio di grado massimo `e della forma 2<sup>n−1</sup>. Per n = 20 si ottiene 2<sup>19</sup>= exp(19 log(2)). Il grado del terzo monomio `e pertanto 16.

8. Usando la formula dell’errore di quadratura per la regola dei trapezi R₁(f ) = −(b − a)³

12N² f 00(ξ)

trovare il valore minimo di sottointervalli N in modo da avere un errore di approssimazione minore di 10⁻⁴ per il calcolo diR1

0 e^−x2dx.

A 41 B 100 C 11 Risposta A.

|R1(f )| =  

(b − a)³ 12N² f⁰⁰(ξ)

 ≤ 1

12N²max

[1,2]|f⁰⁰(x)|

f⁰(x) = −2xe^−x2, f⁰⁰(x) = (−2 + 4x²)e^−x2 ⇒ max

[0,1]

|f⁰⁰(x)| = 2

|R1(f )| ≤ 2

12N² < 10⁻⁴ per N²>10⁴

6 , N > 10²

√6 ≈ 40.8

9. Si consideri la seguente formula di quadratura Z 2

−2

f (x)dx ≈ α₁f (0) +2

3α₂f (−c) + f (c) .

Valutare i parametri reali α1, α2 e c > 0 in modo che la formula di quadratura abbia ordine di precisione almeno 2.

A ²₃, ³₂, ¹₂ B 2, ³₂, q8

3 C ¹₃, ²₉, ⁴₉

Risposta B. Si determinano i parametri α1, α2, c imponendo che la formula sia esatta per i polinomi 1, x, x². Si ottengono allora le seguenti equazioni







α1+²₃α2− 3 = 0

−²₃α2c + c = 0

2

3α2c²+ c²−¹⁶₃ = 0

dalle quali, dovendo essere c > 0, si ottengono i seguenti valori delle soluzioni:

α1= 2, α2=3

2, α3= r8

3.

10. Trovare i coefficienti a e c in modo che la funzione y(x) = a x²+ c approssimi i punti (√

7, 1) (√

2, 0) (√ 3, −1) nel senso dei minimi quadrati.

A ¹₈, ²₃ B ²₃, ¹₃ C ²₇, −⁸₇ Risposta C.

Si deve determinare la funzione polinomiale di grado n = 2, g(x) = a0+ a1x + a2x² dove a1 = 0 e a0 ed a2

sono le componenti della soluzione x = (a0, a2)^T del sistema ai minimi quadrati A^TA a = A^Tb

con

A =



 1 7 1 2 1 3



, b =



 1 0

−1



 da cui

A^TA =

 3 12 12 62



, A^Tb =

 0 4



Si ottiene pertanto il sistema lineare di ordine 2

 3 12 12 62

  a0

a2



=

 0 4



che risolto fornisce a0= −⁸₇, a2=²₇, quindi

y(x) =2 7x²−8

7

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

A B B A C B B A B C