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Cognome e nome (stampatello): ...

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27 marzo 2009

ISTITUZIONI DI ANALISI MATEMATICA II (B) Compito A

Cognome e nome (stampatello): ...

Numero matricola: ... Corso di laurea: ...

Ordinamento: Nuovo (DM 270) Vecchio (ex DM 509)

Firma ...

Esercizio 1 Calcolare il seguente integrale definito:

Z

√ 3 0

(2x 2 − x) arctan x dx.

Esercizio 2 Stabilire per quali valori del parametro α ∈ R la serie

∞

X

n=1

1 n 3α

 log



1 + n + 1 n 5 + 2n 3

 α

2

risulta convergente.

Esercizio 3 Determinare massimi e minimi relativi della funzione f : R 2 → R definita da

f (x, y) := e xy − x(1 + y) + x 3 . Esercizio 4

a) Enunciare il teorema fondamentale del calcolo integrale.

b) Calcolare la derivata f 0 (x) della funzione f : R → R definita da f (x) :=

Z cos x 1

e t 2 + sin t dt.

Esercizio 5

a) Si enunci il criterio del confronto per integrali impropri.

b) Utilizzando tale criterio, si dica se l’integrale R +∞

1 x

3

x

5

+7 dx ` e convergente o meno.

Esercizio 6

a) Si dia la definizione di derivata parziale f y 0 (x 0 , y 0 ) di una funzione f : R 2 → R nel punto (x 0 , y 0 ).

b) Calcolare f y 0 (0, −1) nel caso in cui f (x, y) = e xy arctan(x − y).

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