Polinomi ortogonali 1

Polinomi ortogonali ¹

A. Sommariva ²

Keywords:

Lo spazio L ² _w . Miglior approssimazione in L ² _w . Funzioni peso classiche. Polinomi ortogonali. Zeri di polinomi ortogonali (con dimostrazione). Formula di ricorrenza a tre termini.

Revisione: 11 maggio 2021

1. Il problema ai minimi quadrati

Definizione 1.1 (Spazio di Hilbert). Uno spazio di Hilbert `e uno spazio euclideo che

`e

• completo,

• separabile,

• infinito dimensionale (cf. [7, p.155]).

Nota 1.2. Al variare del testo la definizione di spazio di Hilbert pu`o essere leggermente diversa, ad esempio uno spazio di Hilbert `e uno spazio euclideo completo (cf. [2]).

Esempio 1.1. Consideriamo lo spazio normato delle funzioni reali misurabili (cf. [7, p.284]) quadrato integrabili (L ² (a, b), k · k ₂ ) dove (a, b) `e un intervallo della retta reale, non necessariamente limitato (cf. [7, p.386], ricordando [7, p.308]), e

kgk ² ₂ = (g, g), (f, g) 2 = Z b

a

f (x) · g(x) dx.

Si dimostra (non facile!) che questo spazio euclideo `e un esempio di spazio di Hilbert (cf. [7, p.388]).

Esempio 1.2. Pi`u in generale se w : (a, b) → R `e una funzione misurabile positiva allora lo spazio (L ² _w (a, b), k · k 2,w ) definito come

L ² _w (a, b) = (

f misurabili t.c.

Z b a

|f (x)| ² w(x) dx < ∞

)

`e uno spazio di Hilbert dotato del prodotto scalare

(f, g) _2,w = Z b

a

f (x) · g(x) w(x) dx

(cf. [2, p.23]).

1.1. Funzioni peso

Definizione 1.3 (Funzione peso). Supponiamo sia w : (a, b) → R una funzione tale che

• w `e nonnegativa, con (a, b) non necessariamente limitato,

• R b

a |x| ⁿ w(x) dx < +∞ per tutti gli n ∈ N;

• R b

a g(x) w(x) dx = 0 per qualche funzione continua e non negativa g implica g ≡ 0 in (a, b).

Una tal w si dice funzione peso.

Esempio 1.3. Le funzioni peso pi`u classiche sono (cf. [1, p.206]) 1. w(x) = 1 con x ∈ [−1, 1] (peso di Legendre);

2. w(x) = ^√ _1−x ¹

con x ∈ (−1, 1) (peso di Chebyshev));

3. w(x) = (1 − x ² ) ^γ−(1/2) con x ∈ (−1, 1), γ > (−1/2) (peso di Gegenbauer));

4. w(x) = (1 − x) ^α · (1 + x) ^β con x ∈ (−1, 1), α > −1, β > −1 (peso di Jacobi));

5. w(x) = exp (−x) con x ∈ (0, +∞) (peso di Laguerre));

6. w(x) = exp (−x ² ) con x ∈ (−∞, +∞) (peso di Hermite);

Teorema 1.4. Lo spazio vettoriale L ² _w (a, b) contiene lo spazio dei polinomi P n di grado n (con n ∈ N arbitrario).

Dimostrazione. Infatti, se p n (x) = P n

k=0 a k x ^k allora per la disuguaglianza triango- lare e il fatto che per ogni k si ha

kx ^k k ² _2,w = Z b

a

|x| ^2k w(x) dx < +∞

necessariamente

kp n k 2,w =

n

X

k=0

a k x ^k _2,w

≤

n

X

k=0

|a k |kx ^k k 2,w < +∞,

e quindi p n ∈ L ² _w (a, b).

Nota 1.5. Si osservi che se ”a” e ”b” sono finiti, dal teorema di Weierstrass kx ⁿ k ∞ = max

x∈[a,b] |x| ⁿ < +∞

ricordando che w ≥ 0, Z b a

|x| ⁿ w(x) dx ≤ kx ⁿ k _∞ Z b

a

w(x) dx da cui se

Z b a

w(x) dx < +∞

automaticamente, per tutti gli n ∈ N, Z b

a

|x| ⁿ w(x) dx < +∞.

Problema 1.6. Fissati

• f ∈ L ² _w ((a, b)),

• n ∈ N,

il problema ai minimi quadrati (nel continuo) consiste nel determinare il polinomio p ^∗ _n di grado n tale che sia minima la quantit`a (cf. [1, p.204-207])

kf − p n k ² _2,w = Z b

a

|f (x) − p n (x)| ² w(x) dx per p _n ∈ P n .

Nota 1.7. Si pu´o dimostrare che se a, b sono finiti e f ∈ C([a, b]), allora kf − p ^∗ _n k _2,w → 0 per n → +∞ (cf. [1, p.213]).

Essendo L ² _w ([a, b]) uno spazio euclideo, e (φ k ) k=0,...,n una base di P n , abbiamo visto che la soluzione del problema

kf − f ^∗ k 2,w = min

g∈ span {φ

,...,φ

} kf − gk 2,w

`e f ^∗ = P n

j=0 γ _j ^∗ φ _j dove i coefficienti γ _j ^∗ verificano le cosidette equazioni normali

n

X

k=0

(φ j , φ k ) 2,w γ _k ^∗ = (φ j , f ) 2,w , j = 0, . . . , n.

La soluzione `e caratterizzata dalla propriet`a di ortogonalit`a cio`e che f ^∗ −f `e ortogonale a tutti gli φ k , con k = 1, . . . , n, ovvero

(f, φ _k ) _2,w = (f ^∗ , φ _k ) _2,w , k = 0, . . . , n

Definizione 1.8 (Polinomi ortogonali). Una famiglia triangolare di polinomi {φ k } k=0,...,n

(cio`e tale che deg(φ k ) = k) si dice ortogonale rispetto alla funzione peso w nell’inter- vallo di riferimento se e solo se

(φ i , φ j ) 2,w = c i δ i,j , i, j = 0, . . . , n con

• δ _i,j il delta di Kronecker,

• c _i > 0, i = 0, . . . , n.

Nota 1.9. Storicamente:

• I polinomi ortogonali erano noti a Legendre, Laplace (1810) e a Jacobi (1826), che utilizzando questi ultimi mostr´o l’esistenza delle formule gaussiane in [−1, 1], per w(x) = 1 (peraltro gi´a nota a Gauss nel 1814).

• Il nome polinomi ortogonali fu probabilmente coniato da Schmidt nel 1905.

• Il peso di Jacobi w(x) = (1 − x) ^α · (1 + x) ^β con x ∈ (−1, 1), α > −1, β > −1 fu introdotto da Jacobi nel 1859 e successivamente studiato da Mehler nel 1864 in ambito di quadratura numerica.

• La funzione peso di Laguerre fu introdotta da quest’ultimo nel 1879, mentre quella di Hermite nel 1864, ma gi´a nota ad altri come Lagrange (1762), Abel (1826), Murphy (1835), Chebyshev (1859) e i polinomi di Hermite utilizzati da Laplace (1810).

Si pu`o dimostrare

• usando la procedura di Gram-Schmidt che una tal famiglia triangolare di polino- mi esiste e con la stessa procedura costruirla direttamente;

• inoltre `e immediato osservare che ogni polinomio di grado n si pu`o scrivere univocamente come combinazione lineare di φ 0 , . . . , φ n .

Di conseguenza se p m = P m

k=0 a k φ k , m < n, allora per la bilinearit`a del prodotto scalare (·, ·) 2,w

(φ m+1 , p m ) 2,w = (φ m+1 ,

m

X

k=0

a k φ k ) 2,w =

m

X

k=0

a k (φ m+1 , φ k ) 2,w = 0.

1.2. Zeri di polinomi ortogonali Inoltre (cf. [4, p.978], [1, p.213])

Teorema 1.10 (Zeri di polinomi ortogonali, Christoffel 1877). Sia {φ _k } _k=0,...,n una famiglia triangolare di polinomi ortogonali in (a, b) rispetto ad una funzione peso

”w”. Allora gli zeri del polinomio ortogonale φ n

• sono esattamente n,

• hanno molteplicit`a 1,

• appartengono all’intervallo aperto (a, b).

Dimostrazione 1.11. Siano x ₁ , . . . , x _m (con m ≤ n) tutti e soli gli zeri di φ _n interni ad (a, b) con molteplicit`a rispettivamente α ₁ , . . . , α _m .

Di conseguenza, per qualche numero a _n abbiamo

φ n (x) = a n m

Y

k=1

(x − x k ) ^α

! r(x)

avendo supposto Q m

k=1 (x − x k ) ^α

≡ 1 se non ci sono zeri interni ad (a, b).

Il polinomio r per costruzione non ha zeri in (a, b) e quindi non si annulla mai ed essendo una funzione continua ha segno costante.

Consideriamo il polinomio di grado al pi`u n

q(x) =

m

Y

k=1

(x − x _k )mod

^(α

⁾

! .

• Se uno zero di φ n ha molteplicit`a dispari ma maggiore di 1 allora il grado di q `e minore di n (causa il mod 2 (α k )).

• Se uno zero di φ n ha molteplicit`a pari allora il grado di q `e minore di n (causa il mod 2 (α k )).

• Se uno zero di φ n non `e in (a, b) allora il grado di q `e minore di n (visto che il grado di r sarebbe maggiore o uguale a 1).

• Qualsiasi sia un numero naturale, α _k + mod 2 (α _k ) `e un numero pari.

Se per assurdo q ∈ P n−1 , poich`e

• φ n (x) = a n ( Q m

k=1 (x − x k ) ^α

) r(x)

• q(x) =  Q m

k=1 (x − x k )mod

^(α

⁾  abbiamo

φ n (x)q(x) = a n m

Y

k=1

(x − x k ) ^α

⁺ mod

(α

)

! r(x)

• ha segno costante e grado almeno n,

• non coincide col polinomio nullo,

abbiamo una contraddizione in quanto

0 = (φ n , q) = Z b

a

φ n (x) q(x) w(x) dx

= Z b

a

a n m

Y

k=1

(x − x k ) ^α

⁺ mod

(α

)

!

r(x) w(x) dx 6= 0.

Nota 1.12. Potrebbe venire il dubbio su perch`e qualche zero non possa essere ”a” o

”b”.

Nella dimostrazione avrebbe quale unico effetto che r si annulla in ”a” o ”b”, rimanendo di segno costante in (a, b).

La conclusione `e che il polinomio ortogonale p n ha n radici distinte e semplici, interne ad (a, b).

1.3. Ricorsione a tre termini

Definizione 1.13 (Polinomio monico). Un polinomio p n (x) = P n

k=0 a k x ^k si dice monico se a n = 1.

Teorema 1.14 (Ricorsione a 3 termini (Christoffel 1877, Darboux 1878, Stieltjes 1884)).

Sia {φ k } k=0,...,n una famiglia triangolare di polinomi monici in (a, b) e ortogonali rispetto ad una funzione peso w.

Si supponga φ −1 (x) = 0, φ 0 (x) = 0, Allora per n ≥ 1 φ _n+1 (x) = (x − β _n )φ _n (x) − γ _n φ _n−1 (x)

dove si ha

β n = (xφ n , φ n ) 2,w

(φ _n , φ _n ) _2,w , γ n = (xφ n−1 , φ n ) 2,w

(φ _n−1 , φ _n−1 ) _2,w Nota 1.15. Notiamo che

• scelti i polinomi ortogonali φ 0 e φ 1 , la procedura determina la famiglia trian- golare di polinomi ortogonali di grado superiore, non appena sono disponibili i coefficienti α k , β k , γ k .

• Se φ n `e tale che (φ n , φ k )= 0 per k = 0, . . . , n − 1 allora per τ 6= 0 pure φ ˜ n = τ φ n `e tale che

( ˜ φ n , φ k ) = (τ φ n , φ k ) = τ (φ n , φ k ) = 0, k = 0, . . . , n − 1

e quindi potrebbe essere considerato quale polinomio ortogonale di grado n.

Nota 1.16. Il caso in cui il polinomio ˆ φ n+1 richiesto sia in forma ortonormale deriva da quello del caso monico.

Infatti se γ 0 = R b

a w(x)dx e il polinomio ortogonale monico `e φ n+1 (x) = (x − β n )φ n (x) − γ n φ n−1 (x) allora

kφ n+1 k ² _2,w = γ 0 · . . . · γ n

da cui `e possibile ottenere facilmente

φ ˆ _n+1 = φ _n+1 kφ n+1 k 2,w

e quindi una famiglia triangolare di polinomi ortonormali rispetto alla funzione peso w (cf.[6, p.11]).

Bibliografia

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