NOZIONI DI LOGICA PROPOSIZIONI.

(1)

NOZIONI DI LOGICA PROPOSIZIONI.

Una proposizione è un’affermazione che è vera o falsa, ma non può essere contemporaneamente vera e falsa.

ESEMPI

Sono proposizioni :

 7 è maggiore di 2

 Londra è la capitale della Francia

 Un triangolo ha 5 lati Non sono proposizioni :

 Che tempo fa ?

 Apri quella porta

 Che bella festa!

Poiché ogni proposizione può essere solo vera o falsa , è possibile associare ad ogni proposizione un valore di verità : vero o falso e si denota rispettivamente con V o F o anche rispettivamente con 1 o 0 .

Se una proposizione è vera diremo che ha valore di verità V oppure 1 ,se è falsa diremo che ha valore di verità F oppure 0 .

Ogni proposizione ha quindi un valore di verità.

Le proposizioni si denoteranno con le lettere minuscole dell’alfabeto latino, quali a,b,c,….

La logica delle proposizioni descrive come si possono combinare tra loro proposizioni in modo da ottenere altre proposizioni .

(2)

TAVOLE DI VERITA’

Data la proposizione a si può ottenere

La proposizione non a, detta la negazione di a . In simboli :



^a



a è vera quando a è falsa



a è falsa quando a è vera.

I valori di verità di



a sono quindi descritti dalla seguente tavola di verità

a



^a

V F

F V

ESEMPIO

 a : Bari è una città



a : Bari non è una città

 a : Oggi non abbiamo seguito le lezioni



a : Oggi abbiamo seguito le lezioni

(3)

Date due proposizioni a e b si possono ottenere :

a^b è vera se e solo se a è vera e b è vera .

I valori di verità di a^b sono quindi descritti dalla seguente tavola di verità

a b a^b

V V V

V F F

F V F

F F F

ESEMPI

 a : 12 è divisibile per 3 ( V ) b : 12 è divisibile per 2 ( V ) a ^b : 12 è divisibile per 3 e per 2 ( V )

 a : 24 è multiplo di 6 ( V ) b : 24 è multiplo di 7 ( F ) a ^b : 24 è multiplo di 6 e 7 ( F)

La proposizione a e b detta la congiunzione di a e b . In simboli : a b

In simboli : ab.

(4)

ESERCIZIO

 a : 3 è multiplo di 5 ( ) b : 8 è multiplo di 2 ( )

a ^b : ? ( )

 a : 3 è multiplo di 7 ( ) b : 25 è divisibile per 2 ( ) a ^b : ? ( )

(5)

a ^ b è vera se e solo se almeno una delle due proposizioni è vera.

I valori di verità di a ^ b sono allora descritti dalla seguente tavola di verità

a b a^ b

V V V

V F V

F V V

F F F

ESEMPI

 a : 7 - 4 = 3 ( V ) b : Bari è il capoluogo della Puglia ( V ) a ^ b : 7 - 4 = 3 o Bari è il capoluogo della Puglia ( V )

 a : Firenze è una città ( V ) b : l’Arno è un lago ( F ) a ^ b : Firenze è una città o l’Arno è un lago ( V )

OSSERVAZIONE

La ‘’ o ‘’ di ‘’ a o b ‘’ è intesa in senso inclusivo ( a è vero oppure b è vero oppure a e b sono entrambe vere ) e non in senso esclusivo (a è vera oppure b è vera, ma non sono entrambe vere) .

La proposizione a o b ,detta la disgiunzione di a e b In simboli : a b.

(6)

ESERCIZIO

 a : 5 - 4 = 8 ( ) b : Bari è una città ( ) a ^ b : ? ( )

 a : Bari è un lago ( ) b : 4 x 2 = 9 ( ) a ^ b : ? ( )

(7)

a^ b è falsa se e solo se a è vera e b è falsa, in tutti gli altri casi a^ b è vera

I valori di verità di a ^ b sono quindi descritti dalla seguente tavola di verità.

a b a^ b

V V V

V F F

F V V

F F V

ESEMPI

 a : 12 è un numero divisibile per 6 ( V ) b : 12 è un numero divisibile per 3 ( V ) a ^ b : se 12 è un numero divisibile per 6 allora è un numero divisibile per 3 ( V )

 a : l’uomo è un elefante ( F ) b : 11 è un numero primo ( V )

a ^ b : se l’uomo è un elefante allora 11 è un numero primo ( V) OSSERVAZIONE

La nozione di implicazione a ^ b si discosta dal significato usuale che si dà all’implicazione che esprime normalmente una correlazione di tipo causa-effetto tra a e b .

ESERCIZIO

La proposizione se a allora b o anche a implica b ,detta implicazione.

In simboli : a ^ b

(8)

 a : 10 + 2 = 12 ( ) b : ogni cane ha le ali ( ) a ^ b : ? ( )

 a : 11 - 4 = 8 ( ) b : 5 + 3 = 9 ( )

a ^ b : ? ( )

(9)

La proposizione : a se e solo se b o anche

condizione necessaria e sufficiente affinché a è anche b, detta doppia implicazione.

In simboli a ^ b

a^ b è vera se e solo se a e b hanno lo stesso valore di verità .

I valori di verità di a ^ b sono allora descritti dalla seguente tavola di verità.

a b a^ b

V V V

V F F

F V F

F F V

.

ESEMPI

 a : Verdi è un compositore italiano ( V ) b : 2² = 4 ( V ) a^ b : Verdi è un compositore italiano se e solo

se 2² = 4 ( V )

 a : il merluzzo è un mammifero ( F ) b : 4 è un numero dispari ( F )

a ^ b : il merluzzo è un mammifero se e solo se 4 è un

numero dispari ( V )

OSSERVAZIONE

(10)

Anche la doppia implicazione si discosta dal significato usuale di se e solo se.

ESERCIZIO

 a : 3 – 2 = 1 ( ) b : Il Mediterraneo è un deserto ( ) a^ b : ? ( )

 a : ( 2²)³ = 2⁵ ( ) b : ( 2²- 1)² = 9 ( )

a ^ b : ? ( )

CONNETTIVI LOGICI

(11)

I simboli

sono detti connettivi logici

A partire da proposizioni molto semplici è possibile, utilizzando i connettivi logici , ottenere proposizioni composte sempre più complesse

 Il valore di verità di tali proposizioni è univocamente determinato dalle tavole di verità una volta che si sia stabilito il valore di verità delle singole proposizioni di cui sono composte.





, viene posto prima di una proposizione.

 ^^,^^,^^,^ , sono posti tra due proposizioni.

FORMULE

, , , ,

(12)

Si considerino ‘’n’’ simboli a¹ ,…, aⁿ , detti variabili proposizionali Si dicono formule o forme proposizionali ( nelle variabili a¹ ,…, aⁿ ) le espressioni definite da

1. a¹ ,…, aⁿ sono formule 2. se a e b sono formule allora:

a ^ b a ^ b



^a

a ^ b a^ b

sono formule

3. sono formule (nelle variabili a¹ ,…, aⁿ) solo le espressioni ottenute tramite le 1 e 2

ESEMPIO

 a , b variabili

a ^ b è una formula



^(a^ b) è una formula a ^ b ^ (



^(a^ b )) è una formula

Per semplificare la scrittura:

 Si eliminano le parentesi più esterne

 L’ordine in cui si considerano i connettivi logici è il seguente:

prima la negazione



^{, poi}^^e^ , infine ^ e ^.

(13)

ESEMPIO

 (( a ^ b ) ^ ( (



^{a )}^^b))

si scrive

( a ^ b ) ^ (



^a^^{b )}

Per ogni forma proposizionale nelle variabili a¹ ,…, aⁿ si può costruire una tavola di verità

ESEMPIO

a ^ b ^ c

Le variabili sono a , b , c .

Le righe della sua tavola di verità sono 2³ = 8

a b c a^ b a^ b^c

V V V V V

V V F V F

V F V V V

V F F V F

F V V V V

F V F V F

F F V F V

F F F F V

OSSERVAZIONE

La tavola di verità di una formula in ‘’n’’ variabili ha 2ⁿ righe.

(14)

TAUTOLOGIE E CONTRADDIZIONI

Una formula nelle variabili a¹ , …,aⁿ che sia sempre vera qualunque siano i valori di verità assegnati ad a¹ , …,aⁿ si dice tautologia.

ESEMPIO

La formula a ^ ( a ^ b ) ^ b è una tautologia

a b a ^ b a ^(a^b) a ^(a^b) ^b

V V V V V

V F F F V

F V V F V

F F V F V

Una formula nelle variabili a¹ , …,aⁿ che sia sempre falsa qualunque siano i valori di verità assegnati ad a¹ , …,aⁿ si dice contraddizione.

ESEMPIO

La formula a

 

a è una contraddizione

a



^a ^a

 

^a

V F F

F V F

OSSERVAZIONE

a è una contraddizione se e solo se



a è una tautologia .

(15)

ESERCIZI

Siano a e b variabili proposizionali.

Si verifichi che sono tautologie le seguenti:

a ^ b ^



^a^^{b ;}

a ^ ( b ^ a ^ b ) ; a ^ a ^ b ;

(16)

CONSEGUENZA LOGICA Siano a e b due formule della logica proposizionale.

Si dice che b è conseguenza logica di a, se b è vera ogni volta che a è vera e si scrive:

a ^ b.

Più in generale:

Siano a¹ ,…,aⁿ e b formule .

Si dice che b è conseguenza logica di a¹ ,…,a ⁿ , se b è vera ogni volta che a¹ ,…,a ⁿ sono vere e si scrive

a¹ ,…,a ⁿ ^ b .

ESEMPIO

a , b , a ^ b sono formule.

La formula b è conseguenza logica di a , a ^ b ossia a , a ^ b ^ b

Infatti : dalla tavola di verità di a ^ b si vede che nell’unico caso in cui a ed a ^ b sono entrambe vere, il che corrisponde solo alla prima riga, anche b è vero .

a b a^ b

V V V

V F F

F V V

F F V

(17)

ESEMPIO

a , b , a ^ b sono formule.

La formula a non è conseguenza logica di b , a ^ b ossia non è vero che b , a ^ b ^ a

Infatti : dalla tavola di verità di a ^ b si vede che b ed a ^ b sono entrambe vere sia in corrispondenza della prima riga. sia in corrispondenza della terza riga.

Ma mentre in corrispondenza della prima riga anche a è vera , in corrispondenza della terza riga a è falsa.

a b a^ b

V V V

V F F

F V V

F F V

Siano a e b due formule

Si dice che a e b sono semanticamente equivalenti se hanno gli stessi valori di verità, cioè se hanno le stesse tavole di verità e si scrive

a ^ b.

Quindi se a e b sono semanticamente equivalenti si ha:

 a è vera se e solo se b è vera ;

 a è falsa se e solo se b è falsa.

ESEMPIO

(18)

Date le formule a e b, sono semanticamente equivalenti le formule : a^ b e



^a^^b

Infatti : la tavola di verità di a^ b è

a b a^ b

V V V

V F F

F V V

F F V

La tavola di verità di



^a^^{b è}

a b



^a



^a^

b

V V F V

V F F F

F V V V

F F V V

ESERCIZIO

Verificare che se a e b sono formule , allora sono semanticamente equivalenti le formule

a^ b ;



^b^



a ;



^{( a}

 

^{b ).}

(19)

L’equivalenza semantica delle formule

a^ b ;



^b^



a ;



^{( a}

 

^{b )}

si collega a tre diversi modi in cui è possibile dimostrare una implicazione.

Per dimostrare che

da a segue b si può procedere con una :

 dimostrazione diretta

si assume vero a e si deduce la verità di b;

 dimostrazione indiretta o per contrapposizione da



b segue



^a;

 dimostrazione per assurdo

si suppone a

 

b e si giunge ad una contrapposizione e ciò equivale a provare



^{( a}

 

^{b ).}

(20)

FUNZIONI PROPOSIZIONALI o PREDICATI

In matematica sono necessarie oltre alle proposizioni anche le funzioni proposizionali o predicati.

Sia D un insieme detto dominio.

Una funzione proposizionale su D è un’espressione P(x) tale che P(x) sia una proposizione quando al posto della variabile individuale x si sostituisce un arbitrario elemento a^D, ossia, per ogni a^D, si ha che P(a) è vera o P(a) è falsa

Se si considera :

a : Antonio è alto 1.60, a è una proposizione.

Chi conosce Antonio sa se a è vera o se a è falsa.

Se si considera:

P ( x ) : x è alto 1.60 ( dove x varia nell’insieme di tutti gli uomini ) P(x) è una funzione proposizionale.

P ( x ) è vera se x varia nell’insieme di tutti gli uomini alti 1.60.

P ( x ) è falsa se x non varia nell’insieme di tutti gli uomini alti 1.60.

In generale:

Se D1 , D2 ,…,Dn sono n insiemi una funzione proposizionale ( in n variabili)su D1 x D2 x…xDn è un’espressione P(x1 , x2 ,…,xn ) tale che

P(a1 , a2 ,…,an ) è una proposizione, per ogni (a1 , a2 ,…,an ) elemento di D1 x D2 x…xDn .

(21)

ESEMPI

1. x è minore di 3 e maggiore di -3 ( dove x varia in R );

è una funzione proposizionale nella variabile x ed il dominio è R:

2. y = 2x ( dove x e y variano in Z );

è una funzione proposizionale nelle variabili x ed y su Z x Z.

(22)

QUANTIFICATORI

Un predicato P(x1 , x2 ,…,xn ) non è né vero né falso , ma diventa vero o falso, cioè diventa una proposizione, se si vincolano le variabili .

Le variabili si vincolano se:

 Si sostituiscono le variabili x1 , x2 ,…,xn con deivalori particolari.

ESEMPIO

P( x ) : x è un numero pari ( x varia in N ) P( 4 ) è vera

P( 11 ) è falsa

 Quantificando le variabili

Sia P ( x ) un predicato con x variabile nel domino D. Si possono avere enunciati del tipo :

1. per ogni x in D, la proposizione P ( x ) è vera.

In simboli

^ x P ( x ) ^ si legge per ogni

^ è detto quantificatore universale

ESEMPIO

Per ogni numero intero x , x è maggiore di x-1.

(23)

2. esiste almeno un x in D per cui la proposizione P( x ) è vera.

In simboli

^ x P ( x )

 si legge esiste

 è detto quantificatore esistenziale.

ESEMPIO

Esiste almeno un numero intero pari minore di 20 divisibile per 4.

La negazione di :

^ x P ( x ) ossia:



⁽^ x P ( x ) ) è : ^ x



^{P ( x )}

ESEMPIO

P(x) : un cane è nero.

ogni cane è nero : in simboli ^ x P ( x ) Ha come negazione : in simboli ^ x



^{P ( x )}

che si legge :

esiste almeno un cane che non è nero.

Quindi per ogni funzione proposizionale P(x) su D le proposizioni :



⁽^ x P ( x ) ) e ^ x



^{P ( x ),}

sono equivalenti.

Analogamente sono equivalenti le proposizioni:

(24)



⁽^ x P ( x ) ) e ^ x



^{P ( x ).}

ESEMPIO

P(x , y) : x + y è un numero pari.

Allora:

per ogni x esiste y tale che x + y non è pari ossia in simboli

 x ^ y



P ( x , y ) è equivalente a

non esiste x tale che per ogni y , x + y è pari ossia in simboli



⁽^^x^ y P ( x , y ) )

(25)

LINGUAGGIO

Un linguaggio del primo ordine L con identità è formato da

 Le variabili individuali x¹ ,…, xⁿ,…

 I connettivi logici ^^,^^,^^,^^,^

 Il simbolo di uguaglianza =

 I quantificatori ^ , ^

 I simboli ausiliari ( , ) e ;

 I simboli predicativi

 I simboli funzionali

 Le costanti individuali .

* simboli predicativi sono quelli che denotano le relazioni

* simboli funzionali sono quelli che denotano le applicazioni e le operazioni

* le costanti individuali sono quelle che denotano particolari elementi

Si dicono simboli logici le variabili individuali , i connettivi logici , il simbolo di uguaglianza e i quantificatori .

 In ogni linguaggio si trovano sia i simboli logici sia i simboli ausiliari.

 I simboli funzionali, i simboli predicativi e le costanti individuali dipendono dal linguaggio che si sta considerando.

(26)