Meccanica 1 1 marzo 2011

Meccanica 1

1 marzo 2011

Grandezze fisiche. Unita` di misura Grandezze fondamentali e derivate Dimensioni fisiche

Equazioni dimensionali. Principio di omogeneita`

Grandezze scalari e vettoriali. Proprieta` dei vettori Sistemi di riferimento in 2 e 3 dimensioni

Grandezze fisiche

• Nello studio della fisica si introducono concetti che permettono di descrivere i fenomeni naturali

• Tra questi concetti c’e` quello di grandezza fisica

• Esempi: spazio, tempo, massa, forza, energia,

momento angolare, …

Grandezze fisiche

• Nell’insieme delle grandezze fisiche se ne individuano alcune come fondamentali, e tutte le altre possono

essere definite in termini di esse

• La scelta delle grandezze fondamentali e` in gran parte arbitraria: alcune vengono scelte come tali per ragioni di immediata intuizione, come lo spazio e il tempo

• Altre sono invece scelte per convenienza di definizione operativa, come la corrente elettrica, che e` preferita alla carica elettrica, benche’ questa sia concettualmente piu`

fondamentale

• Cio` e` dovuto al fatto che e` piu` semplice costruire una

unita` di misura riproducibile di corrente che di carica

Unita` di misura

• Affinche’ un concetto possa essere considerato una grandezza fisica, e` necessario poter effettuare su di esso una misura

quantitativa

• Per ogni grandezza fisica fondamentale si e` scelto un campione che funge da riferimento per le operazioni di misura

• Questi campioni sono le unita` di misura

• Per le grandezze derivate le unita` di misura sono definite in termini delle unita` delle grandezze fondamentali

• Tutte le possibili quantita` di una grandezza fisica vengono espresse come rapporto rispetto all’unita` scelta

Sistemi di unita` di misura

• Non solo le unita`, ma anche il tipo di grandezze fondamentali puo` variare da sistema a sistema

• Esempi:

– Sistema internazionale (SI, evoluzione dell’MKSA):

lunghezza, massa, tempo (corrente elettrica, …) – Sistema cgs: lunghezza, massa, tempo

– Sistema pratico: lunghezza, forza , tempo

• Noi useremo, per ragioni didattiche, una variante del

SI in cui la carica elettrica sostituisce la corrente

Sistemi di unita` di misura

• Ci possono essere diverse ragioni per scegliere un sistema piuttosto che un altro, ma una volta fatta la scelta, tutte le equazioni vanno espresse in quel

sistema in maniera coerente

Peso 72 kg

Grandezze derivate

• Partendo dalle grandezze fondamentali è possibile definire le grandezze derivate. Alcuni esempi:

– la velocità di un corpo è definita come rapporto tra spazio percorso dal corpo e tempo impiegato a percorrerlo: v=s/t;

– l’angolo piano è definito come rapporto tra la lunghezza dell’arco di cerchio sotteso dall’angolo e la lunghezza del raggio:  =l/R;

– l’energia cinetica di un corpo è un mezzo del prodotto della massa del corpo per la velocità (del suo centro di massa) elevata al quadrato: K = 1/2 m v²

– Il momento di una forza è definito come il prodotto



Dimensione fisica

• Ogni grandezza possiede una sua qualità intrinseca che la distingue dalle altre

• Questo fatto viene formalizzato introducendo il concetto di dimensione fisica

• Per le grandezze fondamentali essa viene indicata con il simbolo L per lo spazio, T per il tempo, M per la massa (Q per la carica e  per la temperatura)

• Per le grandezze derivate le dimensioni si ricavano dalla definizione di queste in termini delle grandezze

fondamentali sostituendo al simbolo di ogni grandezza

fondamentale il relativo simbolo dimensionale

Dimensione fisica

• Esse si indicano racchiudendo il simbolo della grandezza derivata tra parentesi quadre:

– Grandezza X

– Dimensione di X: [X]

• E’ importante non confondere il concetto di dimensione con quello di unità di misura

• Ad esempio:

– la densità può essere espressa sia in unità di kg/m³ che in quelle di g/cm³

– entrambe le scelte sono consistenti con le dimensioni fisiche di

Dimensione fisica

• Esempi:

– [v]=L/T=L T^-1=L T^-1 M⁰ – []=L/L=L⁰ =L⁰ T⁰ M⁰ – [K]=M[v²]

• Le espressioni precedenti sono esempi di equazioni dimensionali

• Dalla prima vediamo che è consentito usare sia il simbolo di frazione che quello di esponente negativo e che alcuni

esponenti possono essere nulli.

• Dalla seconda relazione vediamo che una grandezza può

avere dimensioni nulle, cioè tutti gli esponenti delle grandezze fondamentali nulli; grandezze adimensionali (non numeri

puri)

• Dalla terza, che nel membro di destra si possono usare anche dimensioni di grandezze derivate.

Principio di omogeneita`

• Due o piu` grandezze sono dette omogenee se sono dello stesso tipo

• Ogni equazione fisica deve rispettare il principio di omogeneità, che stabilisce che i due membri di

un’equazione devono essere omogenei e quindi devono avere le stesse dimensioni fisiche

• Non vale il viceversa

• Energia: [K]=[mv²]⁼L² T^-2 M¹

• Momento di forza: []=[rF]⁼L² T^-2 M¹

Principio di omogeneita`

• Questo principio deriva dal fatto che un’uguaglianza o una somma non hanno senso se non tra grandezze

della stessa specie: un’equazione che non rispetti questa regola è sicuramente errata

• Se un’equazione contiene più addendi, tutti quanti devono avere le stesse dimensioni fisiche

• L’analisi dimensionale di un’equazione, benché

fornisca soltanto una condizione necessaria, ma non sufficiente, è uno strumento molto efficace per

verificare la correttezza dei calcoli

Esercizio

• Verificare la correttezza dimensionale della seguente equazione:

• Ove s, s

sono lunghezze; v, v

velocita`; t tempo, a accelerazione

3 2

0

0

2

1 at t

v at

s

sv   

Tipi di grandezze

• Le grandezze fisiche sono di diversa natura: possono essere individuate da un solo numero oppure da piu`

numeri

• Esempi:

– la temperatura in un punto di una stanza e` definita da un solo numero

– La massa di un corpo e` definita da un solo numero

– La velocita` di un corpo ha bisogno in generale di tre numeri che ne indichino l’intensita`, la direzione e il verso

• Nei primi due casi la grandezza e` detta scalare, nel secondo vettoriale

• Esistono anche grandezze piu` complesse, dette tensori,

che richiedono un numero maggiore di numeri

Vettori

• In realta` una grandezza, per essere definita vettoriale, deve soddisfare a qualche richiesta uteriore:

– Dev’essere definita un’operazione di somma (+) fra le grandezze

– L’insieme delle grandezze dev’essere chiuso rispetto alla somma

– La somma dev’essere associativa

– Deve esistere l’elemento nullo (e` unico)

– Ogni elemento deve possedere un elemento opposto – La somma dev’essere commutativa

Vettori

• Matematicamente l’insieme deve cioe` avere la

struttura di gruppo commutativo rispetto alla somma

• Inoltre dev’essere definita la moltiplicazione (*) per un numero appartenente al campo reale (o

complesso) e devono valere le proprieta`:

• In tal caso l’insieme prende il nome di spazio vettoriale



 



*   

 









*  

   

u u  

* 1

Sistemi di riferimento

• I sistemi piu` usati in fisica per descrivere moti in 2-D sono:

– Sistema cartesiano: x, y

– Sistema polare:  (distanza radiale, azimut)

• E per descrivere moti in 3-D sono:

– Sistema cartesiano: x, y, z

– Sistema cilindrico:  , z (distanza radiale, azimut, z)

– Sistema sferico: r,  ,  (distanza radiale, angolo polare,

Sistemi di riferimento

• In ogni punto P del piano possiamo definire una coppia di assi coordinati mutuamente ortogonali

• Consideriamo un altro punto Q: gli assi relativi a Q saranno paralleli agli assi omonimi relativi al punto P solo per il sistema cartesiano

• Per il sistema polare questo in generale non accade

P x y

Q

 P

 Q

Terne destrorse e sinistrorse

• Nello spazio costruiamo una terna di assi coordinati mutuamente ortogonali

• Esistono due tipi di terne siffatte: destrorse (mano destra) e sinistrorse (mano sinistra)

• Noi useremo quelle destrorse

x y

z

x y

z

pollice – x

Sistemi di riferimento

• In ogni punto P dello spazio possiamo definire una terna di assi coordinati mutuamente ortogonali

• Anche ora gli assi relativi ad un diverso punto Q saranno paralleli agli assi omonimi relativi al punto P solo per il

sistema cartesiano e, limitatamente all’asse z, per il sistema cilindrico

P x y

z

 P

z 

r P





Versori

• Modulo di un vettore

• Tra i vettori ce ne sono di particolari, detti versori o vettori unitari, in

quanto hanno intensità unitaria (e dimensioni fisiche nulle)

P x y

 P

z 

r P





a a a

a  ˆ  

a

aˆ

a

a

a    ,

Esercizi

• Dato un sistema polare piano e un punto P diverso dall’origine. Trovare il luogo

geometrico dei punti del piano per cui gli assi coordinati associati a ciascun punto sono

paralleli agli assi relativi a P

• Idem per un sistema cilindrico e un sistema

sferico

Proiezioni e componenti di un vettore

• Etichettati genericamente gli assi coordinati con gli indici 1 e 2, troviamo le proiezioni del vettore lungo essi:

• Si procede in modo simile in 3 dimensioni, anche se e` un po’

piu` complicato

• Le componenti si trovano moltiplicando le proiezioni per



 cos

1 a cos a

a   

 P



 P

x

y 



 sin

2 a sin a

a   

Esercizio: versori del sistema sferico

• Esprimere il versore r in coordinate cartesiane

• Soluzione

 







 

















 cos

sin sin

cos sin

ˆr

Considero il meridiano passante per i punti P, N:

la proiezione z del versore r e` cos

Considero il piano equatoriale xy:

la proiezione del versore r sul piano e` sin

La proiezione x e` sincos

La proiezione y e` sinsin

r P



 O

N rˆ

x z

H y N

P

 O z



O y

H

Operazioni sui vettori

• Somma di due vettori

• Sottrazione di due vettori

v u   u

v

v u  

u

v u   u

v

v u  

Disuguaglianza triangolare

• Il modulo della somma (differenza) di due vettori non e`, in generale, uguale alla somma (differenza) dei

moduli

• Questa non e` altro che la ben nota disuguaglianza triangolare

• L’uguaglianza si ottiene per vettori paralleli

v u v

u    

v u   u

v u  v

u

v

u v v

u    

Operazioni sui vettori

• Moltiplicazione di un vettore per un numero reale (o divisione, in tal caso il numero dev’essere diverso da zero)

• Se il numero e` negativo, il vettore risultante ha verso opposto a quello iniziale

u 2.2u 1.2u 0.4u

Prodotto scalare

• E` definito per una qualunque coppia di vettori il simbolo dell’operazione e` un punto:

• E` uno scalare: dato dal prodotto dei moduli dei vettori per il coseno del minore degli angoli definiti dai vettori

• Si puo` interpretare come il prodotto del modulo di un vettore per la proiezione dell’altro vettore lungo la direzione del

primo

v u , v

u  

 cos uv v

u  

u

v



u

v





 u

 cos v





v v

u   ^{u v  u}





Prodotto scalare

• Il prodotto e` nullo quando uno dei due vettori e`

nullo oppure quando i vettori sono perpendicolari

• Dalla definizione segue che il prodotto scalare e`

commutativo:

• Gode della proprieta` distributiva:

• e associativa:

• Il prodotto scalare di un vettore con se stesso e`

2 0 cos

cos  



v uv  uv  u 

u v v

u   





 



  

u         

2 2

0

cos u u

u u u

u       







Prodotto vettoriale

• E` definito per una qualunque coppia di vettori il simbolo dell’operazione e` una croce:

• E` un vettore il cui modulo e` dato dal prodotto dei moduli dei vettori per il seno del minore dei due angoli definiti dai vettori

• Se uno dei due vettori e` nullo o se i vettori sono paralleli, il prodotto e` il vettore nullo

• Altrimenti la direzione e` perpendicolare al piano definito dai vettori

• Il verso e` tale che la terna di vettori e`

destrorsa

v u , v

u  

 sin uv v

u  

v u v

u, ,   u

v



 

Prodotto vettoriale

• Il prodotto e` nullo quando uno dei due vettori e` nullo oppure quando i due vettori sono paralleli

• Il vettore prodotto e` perpendicolare ad entrambi i vettori

• Dalla definizione segue che il prodotto vettoriale e`

anticommutativo

• Interpretazione geometrica: rappresenta la superficie

orientata del parallelogramma che ha per lati i due vettori; il suo modulo ne rappresenta l’area

0 0 sin

sin  



v uv uv

u^{ } 

u

u v v

u    

u

Prodotto vettoriale

• Gode della proprieta` distributiva:

• e associativa:

• Il prodotto vettoriale di due vettori uguali e` il vettore nullo:





 



  

u         

 0

u u 

Esercizio

• Mostrare che in generale

• Quindi il prodotto vettoriale non e` associativo e non si puo` usare, perche’ equivoca, la scrittura

 

^

^

a         

 

^

^

c        

b a

c     

Prodotto scalare in coordinate cartesiane

• Esprimendo i due vettori secondo le componenti cartesiane, otteniamo per il prodotto scalare:

• Dei nove addendi che si ottengono applicando la proprieta` distributiva, solo quelli omonimi

sopravvivono, poiche’ vale 1 se k=j, altrimenti vale 0, quindi



 



b

a             

j

k u

u  

z z y

y x

xb a b a b

a b

a    

Esercizio

• Dati due punti P, Q sulla sfera (di raggio R), trovarne la distanza lungo il circolo massimo passante per i punti _{ }





Q R

P  

P O

Q

Prodotto vettoriale in coordinate cartesiane

• Similmente:

• Dei nove addendi che si ottengono applicando la proprieta`

distributiva, quelli omonimi sono nulli, perche’ il prodotto vettoriale di due vettori uguali e` il vettore nullo:

• per gli altri

• Quindi

• Formalmente questo si puo` scrivere come determinante



 



b

a             

z x

y y

x u u u u

u ^x      

y z

z

y u u u u

u         u_z u_x  u_x u_z  u_y













b

a          

z y

x

z y

x

z y

x

b b

b

a a

a

u u

u b

a







  

 0

u u 

Prodotto misto

• E` uno scalare, risultato di un prodotto vettoriale, seguito (o preceduto) da un prodotto scalare:

• Non ci si lasci ingannare dalla successione delle moltiplicazioni: il prodotto vettoriale e` quello che dev’essere effettuato per primo

• Se si tentasse di eseguire prima il prodotto scalare, la seconda operazione non avrebbe senso

v u w   

Interpretazione geometrica

• I tre vettori definiscono un parallelepipedo. Il prodotto misto si puo` scrivere

• L’espressione entro il segno di modulo rappresenta l’area della base (u,v), mentre w cos rappresenta l’altezza del

parallelepipedo rispetto a tale base

• Il prodotto si puo` quindi interpretare come il volume del parallelepipedo

u

v

v u   w

 cos

v u v

u

w

        

 . w

w cos

Prodotto misto in coordinate cartesiane

• Formalmente si puo` scrivere come determinante













c b

a        

z y

x

z y

x

z y

x

c c

c

b b

b

a a

a c

b

a  

Due proprieta` del prodotto misto

• 1) Si possono permutare ciclicamente i tre vettori

• E` dimostrabile ricordando l’interpretazione geometria oppure mettendosi in un sistema cartesiano e usando il formalismo del determinante

• 2) Si possono scambiare di posto i segni di prodotto

• E` dimostrabile con la precedente e tenendo conto della commutativita` del prodotto scalare

• Esercizio: trovare

u w v w v u v u

w           

v u w v

u

w      

b a a   

Ulteriori operazioni

• Derivate di vettori

• Integrali di vettori

• Operazione che non useremo: rapporto fra vettori

 ^



I 

Esercizi

• Trovare gli eventuali errori nelle seguenti equazioni

  ^{a b d}

c      

  ^{a b d f e d g}

a            

  ^{a   b   c   d}

  ^{a   b   c   d }

    ^{a   b   a   b   d}

  ^{a b d f e}

a          

  ^{a b e b d}

c          