n}, qual è la probabilità che il più grande valgak (con 2≤ k ≤ n)? Soluzione 1

(1)

Laurea Triennale in Matematica 2013/14 Nome:

6 febbraio 2014 Email:

Se non è espressamente indicato il contrario, per la soluzione degli esercizi è possibile usare tutti i risultati visti a lezione (compresi quelli di cui non è stata fornita la dimostrazione).

PARTE I (Esercizi 1, 2, 3)

Esercizio 1. Se estraggo casualmente due numeri distinti dall’insieme{1, 2, 3, 4, 5, 6}, qual è la probabilità che il più grande valga4?

Più in generale, se estraggo casualmente due numeri distinti dall’insieme{1, . . . , n}, qual è la probabilità che il più grande valgak (con 2≤ k ≤ n)?

Soluzione 1. Trattiamo direttamente il caso generale. Estrarre due numeri distinti in {1, . . . , n}

equivale a estrarre un sottoinsieme di {1, . . . , n} di cardinalità pari a due. Ci sono ⁿ₂ tali sottoinsiemi, mentre quelli in cuik è il più grande sono tanti quanti i sottoinsiemi di un elemento di{1, . . . , k − 1}, ossia k − 1. La risposta è dunque

k− 1

n 2

= 2(k− 1) n(n− 1).

(2)

Esercizio 2. Un’urna contienen palline bianche e k palline rosse. Pesco una pallina, ne osservo il colore, la reinserisco nell’urna insieme a un’altra dello stesso colore di quella estratta (ora nell’urna ci sono dunquen + k + 1 palline), dopodiché pesco una seconda pallina. Indicando con X il colore della prima pallina estratta e conY il colore della seconda pallina estratta, possiamo descrivere X eY come due variabili aleatorie a valori nell’insieme E :={r, b}.

(a) Si determini il valore di P(Y = y|X = x) per ogni scelta di x, y ∈ E.

(b) Si mostri che le variabili aleatorie X e Y hanno la stessa distribuzione.

(c) Si determini la distribuzione del numero totaleN di palline rosse estratte.

(d) Le variabili aleatorie (X, Y, N ) sono indipendenti?

Soluzione 2. (a) Si ha

P(Y = r|X = r) = k + 1

n + k + 1, P(Y = r|X = b) = k n + k + 1, da cui segue che

P(Y = b|X = r) = 1 − P(Y = r|X = r) = n n + k + 1, P(Y = b|X = b) = 1 − P(Y = r|X = b) = n + 1

n + k + 1. (b) La densità marginale diX è data da

P(X = r) = k

n + k , P(X = b) = n n + k. Di conseguenza la distribuzione congiunta di(X, Y ) è data da

P(X = r, Y = r) = P(X = r)P(Y = r|X = r) = k n + k

k + 1 n + k + 1, P(X = r, Y = b) = P(X = r)P(Y = b|X = r) = k

n + k n n + k + 1, P(X = b, Y = r) = P(X = b)P(Y = r|X = b) = n

n + k k n + k + 1, P(X = b, Y = b) = P(X = b)P(Y = b|X = b) = n

n + k

n + 1 n + k + 1. La distribuzione marginale diY si ricava facilmente:

P(Y = r) = P(Y = r, X = r) + P(Y = r, X = b)

= k

n + k

k + 1

n + k + 1 + n n + k

k

n + k + 1 = k n + k, P(Y = b) = 1− P(Y = r) = n

n + k . QuindiX e Y hanno la stessa distribuzione.

(c) Chiaramente N assume valori in{0, 1, 2} e

P(N = 0) = P(X = b, Y = b) = n(n + 1) (n + k)(n + k + 1), P(N = 2) = P(X = r, Y = r) = k(k + 1)

(n + k)(n + k + 1), da cuiP(N = 1) = 1− P(N = 0) − P(N = 2) = (n+k)(n+k+1)^2nk .

(d) Le variabili aleatorie non sono indipendenti perché si ha P(X = r) > 0, P(Y = r) > 0, P(N = 0) > 0 ma P(X = r, Y = r, N = 0) = 06= P(X = r)P(Y = r)P(N = 0).

(3)

Esercizio 3. Due particelle puntiformi, che indichiamo con le lettere α e β, si muovono lungo una retta, entrambe di moto (rettilineo) uniforme. All’istante inizialet = 0 la particella α si trova nell’originex = 0, mentre la particella β si trova nel punto x = 1. Le due particelle si muovono l’una in direzione dell’altra, con velocità rispettiveU e−V , dove U e V sono variabili aleatorie indipendenti con distribuzioneExp(1).

x = 1 x = 0

U −V

α β

DefiniamoT come l’istante in cui le due particelle si incontrano, e poniamo Y := 1

T . (a) Si mostri che Y ha distribuzione Gamma(2, 1), ossia

f_Y(y) = y e^−y1_(0,∞)(y) .

(b) Si deduca che T ha distribuzione assolutamente continua, con densità fT(t) = 1

t³ e^−1/t1_(0,∞)(t) .

(c) Si dica se T ∈ L¹ e/oT ∈ L². Si mostri che Cov(T, Y ) è ben definita, e la si calcoli.

(d) Si mostri che il vettore aleatorio (T, Y ) non è assolutamente continuo.

Soluzione 3. (a) All’istantet > 0 la posizione della particella A è data da U t, mentre quella della particella B è data da1− V t, pertanto l”istante T si ottiene dall’equazione

U T = 1− V T =⇒ T = 1

U + V ,

da cuiY = 1/T = U +V . Dato che U, V sono variabili aleatorie indipendenti con distribuzione Exp(1) = Gamma(1, 1), per un teorema visto a lezione la loro somma U + V = Y ha distribuzioneGamma(2, 1), ossia

fY(y) = y e^−y1_(0,∞)(y) .

(b) La funzione di ripartizione di T è data da F_T(t) = P(T ≤ t) = 0 se t ≤ 0, mentre per t > 0 F_T(t) = P(T ≤ t) = P(_Y¹ ≤ t) = P(Y ≥ ¹_t) =

Z ∞ 1 t

f_Y(y) dy = Z ∞

1 t

y e^−ydy

= [−y e^−y]^∞₁

t

+ Z ∞

1 t

e^−ydy = 1

te⁻¹^t + e⁻¹^t.

Dato cheF_T(·) è C¹ a tratti, la variabile aleatoria T è assolutamente continua, con densità fT(t) = F_T⁰(t) = 1

t³ e⁻¹^t 1_(0,∞)(t) .

In alternativa, dato cheϕ(y) := ¹_y è un diffeomorfismo di(0,∞) in sé, per un teorema visto a lezione si ha cheT = ϕ(Y ) è una variabile aleatoria assolutamente continua con densità

f_T(t) = f_Y(ϕ⁻¹(t))|(ϕ⁻¹)⁰(t)| = fY(¹_t) 1 t² = 1

t³e⁻¹^t 1_(0,∞)(t) .

(4)

(c) Per ognip∈ (0, ∞) si ha

E(|T |^p) = E(T^p) = Z

R

t^pf_T(t) dt = Z ∞

0

1

t^3−pe^−1/tdt .

La funzione t 7→ _t^3−p¹ e^−1/t è continua in (0,∞) e inoltre ha limite 0 per t ↓ 0, grazie all’esponenziale. I problemi di integrabilità possono pertanto arrivare solo dal comportamento all’infinito: dato che _t_3−p¹ e^−1/t ∼ _t^3−p¹ per t↑ ∞, si ha E(|T |^p) <∞, ossia T ∈ L^p, se e solo se3− p > 1, ossia p < 2. In particolare, T ∈ L¹ maT 6∈ L².

Affinché Cov(T, Y ) sia ben definita, occorre verificare che:

• T ∈ L¹: questo è stato appena mostrato;

• Y ∈ L¹: questo segue dal fatto cheY ∼ Gamma(2, 1);

• T Y ∈ L¹: questo segue dal fatto cheY := _T¹ per definizione, e dunqueY T = 1.

In particolareE(T Y ) = 1, perché Y T = 1, mentre E(Y ) = 2, perché E(Gamma(n, λ)) = ⁿ_λ. Resta da calcolare

E(T ) = Z ∞

0

1

t²e^−1/tdt =

e^−1/t

∞ 0

= 1 da cui segue che

Cov(T, Y ) = E(T Y )− E(T )E(Y ) = 1 − 1 · 2 = −1 .

(d) Dato che T Y = 1, introducendo il sottoinsieme A :={(t, y) ∈ R²: t > 0, y = ¹_t} si ha che P((T, Y )∈ A) = 1. Se (T, Y ) avesse distribuzione assolutamente continua, si dovrebbe avere

P((T, Y )∈ A) = Z

A

f_{T ,Y}(t, y) dt dy = 0 ,

perché l’insiemeA ha misura di Lebesgue bidimensionale nulla, ottenendo una contraddizione.

(5)

PARTE II (Esercizi 4, 5, 6)

Esercizio 4. Siano(Xn)_n∈N variabili aleatorie reali i.i.d., definite su uno spazio di probabilità (Ω,A, P), la cui distribuzione è assolutamente continua con densità f(x) > 0 per ogni x ∈ R.

Fissatia, b∈ R con a < b, introduciamo gli eventi

Dn= D_n^(a,b):={Xn∈ (a, b)} = {ω ∈ Ω : Xn(ω)∈ (a, b)} , pern∈ N , e la variabile aleatoriaN^(a,b), a valori in N0∪ {+∞}, definita da

N (ω) = N^(a,b)(ω) :=

{n ∈ N : Xn(ω)∈ (a, b)}

, dove| · | indica la cardinalità di un insieme.

In tutte le domande seguenti, i parametria, b∈ R con a < b sono arbitrari ma fissati.

(a) Si mostri che 0 < P(D_n) < 1.

(b) Si calcolinoP lim sup_n∈ND_n e P lim sup_n∈ND^c_n.

(c) Si mostri che P(N = ∞) = 1.

(d) Si mostri che la successione Y_n:= 1_D_n converge in legge, ma non q.c..

Definiamo infine, per ogniω∈ Ω, il sottoinsieme Z(ω) ⊆ R ponendo Z(ω) := Xn(ω) : n∈ N

= X1(ω), X₂(ω), X₃(ω), . . . .

In altri termini, il sottoinsieme Z(ω) è l’immagine della successione reale (Xn(ω))_n∈N. (e) Si mostri che, per q.o. ω∈ Ω, l’insieme Z(ω) è denso in R.

Soluzione 4. (a) Avendo le variabili aleatorieXn la stessa distribuzione, gli eventiDn hanno la stessa probabilitàp = p^(a,b)∈ (0, 1): infatti, per ogni a < b,

P(Dn) = P(Xn∈ (a, b)) = µXn((a, b)) = Z b

a

f (x) dx =: p∈ (0, 1) , perché per ipotesif (x) > 0 per ogni x∈ R, quindiR

(a,b)f (x) dx > 0 eR

R\(a,b)f (x) dx > 0.

(b) Per definizione di indipendenza delle variabili aleatorie X_n, gli eventi D_n sono indipendenti.

Dato cheP(Dn) = p > 0 per ogni n∈ N,P

n∈NP(Dn) =P

n∈Np =∞. Essendo gli eventi Dn

indipendenti, segue dal Lemma di Borel-Cantelli cheP lim sup_n∈NDn = 1. Analogamente, dato cheP(D_n^c) = 1− p > 0 per ogni n ∈ N, si haP

n∈NP(D^c_n) =P

n∈N(1− p) = ∞ e quindi P lim sup_n∈ND^c_n = 1 ancora per Borel-Cantelli.

(c) Basta notare che l’evento {N = ∞} coincide con l’evento lim supn∈ND_n: infatti

{N = ∞} = {ω ∈ Ω : N (ω) = ∞} = {ω ∈ Ω : Xn(ω)∈ (a, b) per infiniti valori di n ∈ N}

={ω ∈ Ω : ω ∈ Dⁿper infiniti valori di n∈ N} = lim sup

n∈N

Dn. Segue dunque cheP(N = ∞) = 1.

(d) Dato che P(D_n) = p∈ (0, 1), la variabile aleatoria Yn= 1_D_n ha distribuzioneBe(p) che non dipende dan, quindi banalmente converge in legge (verso la distribuzione Be(p)). Essa non converge q.c. perché, per i punti precedenti, q.o.ω ∈ Ω appartiene a infiniti degli eventi Dn e anche a infiniti degli eventiD^c_n, quindi si ha Yn(ω) = 0 per infiniti valori di n∈ N e Yn(ω) = 1 per infiniti valori di n∈ N, dunque la successione (Yⁿ(ω))_n∈N non ha limite.

In alternativa, per la legge 0-1 di Kolmogorov, se Y_n→ Y q.c. allora Y dovrebbe essere q.c. costante. Ma dato che la convergenza q.c. implica quella in legge, si dovrebbe allo stesso tempo avereY ∼ Be(p) con p ∈ (0, 1), dunque Y non può essere q.c. costante.

(6)

(e) Un insieme A⊆ R è denso se e solo se A ∩ (a, b) 6= ∅, per ogni a < b. Mostriamo dunque che P ω∈ Ω : Z(ω) ∩ (a, b) 6= ∅ ∀a < b = P \

a,b∈R a<b

{Z ∩ (a, b) 6= ∅}

!

= 1 ,

o equivalentemente, passando al complementare,

P [

a,b∈R a<b

{Z ∩ (a, b) = ∅}

!

= 0 . (1)

Notiamo che, se(a⁰, b⁰)⊆ (a, b), si ha A∩(a⁰, b⁰)⊆ A∩(a, b); in particolare, se A∩(a, b) = ∅, a maggior ragioneA∩ (a⁰, b⁰) =∅. Vale dunque l’inclusione di eventi

{Z ∩ (a, b) = ∅} ⊆ {Z ∩ (a⁰, b⁰) =∅} , se(a⁰, b⁰)⊆ (a, b) .

Per ogni a, b∈ R con a < b, è possibile scegliere a⁰, b⁰ ∈ Q (razionali) con a⁰ < b⁰ tali che (a⁰, b⁰)⊆ (a, b). Ciò mostra che vale l’inclusione

[

a,b∈R a<b

{Z ∩ (a, b) = ∅} ⊆ [

a⁰,b⁰∈Q a⁰<b⁰

{Z ∩ (a⁰, b⁰) =∅} .

(Vale in realtà l’uguaglianza, essendo l’inclusione inversa banalmente vera.) In (1) è dunque sufficiente restringere l’unione a valori razionalia, b∈ Q, ossia basta mostrare che

P [

a,b∈Q a<b

{Z ∩ (a, b) = ∅}

!

= 0 .

Essendoci ricondotti all’unione di una famiglia numerabile di eventi, per subadditività

P [

a,b∈Q a<b

{Z ∩ (a, b) = ∅}

!

≤ X

a,b∈Q a<b

P Z∩ (a, b) = ∅ ,

e ci basta mostrare che P Z∩ (a, b) = ∅ = 0, ossia P Z ∩ (a, b) 6= ∅ = 1, per ogni a < b.

Ma già sappiamo cheP(N^(a,b)=∞) = 1, e chiaramente {N^(a,b)=∞} ⊆ {Z ∩ (a, b) 6= ∅} , da cui la conclusione segue.

(7)

Esercizio 5. Nella città di Babilonia, alla fine di ogni anno, il governo distribuisce un premio in denaro (euro) ai suoi N = 40 000 cittadini, con la seguente modalità: per ciascun cittadino vengono estratti tre numeri reali, i primi due uniformemente in (10, 20) e il terzo uniformemente in (0, 10); l’ammontare del premio è quindi determinato sommando i primi due numeri e sottraendo il

terzo. Tutti i numeri vengono estratti indipendentemente l’uno dall’altro.

(a) Si mostri che, fissato un cittadino qualunque, il premio X da lui ricevuto è una variabile aleatoria con valor medioµ = E(X) = 25 euro. Quanto vale la varianza σ² = Var(X)?

(b) Un’associazione di consumatori svolge un’indagine, scoprendo che la somma dei premi ricevuti da tutti i cittadini ammonta a meno di997 000 euro. Osservando che tale valore è minore di quanto ci si sarebbe potuti aspettare, ossiaN · µ = 1 000 000 di euro, l’associazione sostiene che non è ragionevole credere alle modalità descritte dal governo per l’attribuzione del premio.

Il portavoce del governo ribatte che una discrepanza di soli 3 000 euro è perfettamente plausibile, data la natura casuale del meccanismo di attribuzione dei premi, e dunque i sospetti di manipolazione non sono giustificati. Chi pensate che abbia ragione?

[Sugg. Si usi l’approssimazione normale fornita dal Teorema Limite Centrale. La tavola della distribuzione normale è riportata in fondo a questo plico.]

Soluzione 5. (a) SianoU , V , W variabili aleatorie indipendenti, tali che U ∼ V ∼ U(10, 20) e W ∼ U(0, 10). Dato che il valor medio di una variabile aleatoria U(a, b) vale ^a+b₂ e la sua varianza vale ^(b−a)₁₂ ², si ha

E(U ) = E(V ) = 15, E(W ) = 5, Var(U ) = Var(V ) = Var(W ) = 100 12 = 25

3 . Il premio ricevuto da un cittadino può essere espresso comeX := U + V − W . Per la linearità del valor medio e le proprietà della varianza (osservando cheU , V e W sono variabili aleatorie indipendenti), si ha dunque

µ = E(X) = E(U ) + E(V )− E(W ) = 25 ,

σ² = Var(X) = Var(U ) + Var(V ) + Var(−W ) = Var(U) + Var(V ) + Var(W ) = 25 . (b) SiaSN := X1+ . . . + XN la somma totale dei premi ricevuti da tutti i cittadini. Calcoliamo

la probabilità che si verifichi l’evento osservato, ossia P(S_N < 997 000) = P SN − Nµ

σ√

N < 997 000− 40 000 · 25 5√

40 000

= P(Z_N <−3) ,

e applicando il Teorema Limite Centrale possiamo sostituireZ_N ≈ Z ∼ N(0, 1), ottenendo P(ZN <−3) ≈ P(Z < −3) = Φ(−3) = 1 − Φ(3) ' 1 − 0.9987 = 0.0013 = 0.13% .

Essendo la probabilità in questione piuttosto bassa (poco più di una su mille), è poco verosimile che le modalità descritte per l’attribuzione del premio siano state rispettate.

(8)

Esercizio 6. Paolo si accinge a salire una scalinata (infinita), in cui i gradini sono etichettati (dal basso verso l’alto) con i numeri0, 1, 2, . . .. A ogni istante, Paolo lancia una moneta equilibrata:

se esce testa, sale di un gradino, mentre se esce croce resta sul gradino in cui si trova. Indicando conX_n la posizione di Paolo nell’istanten, il processo (X_n)_n≥0 è un’opportuna catena di Markov sull’insiemeE ={0, 1, 2, . . .} (con X0 = 0).

(a) Si scriva il valorep_ij della matrice di transizione della catena di Markov, per ognii, j∈ E. Si disegni quindi il grafo corrispondente, completando la figura seguente con frecce e numeri, e si determinino le classi di comunicazione, classificando gli stati (transitori, ricorrenti positivi, ricorrenti nulli).

1 2

0 3 4

(b) Si determini una misura invariante. Si mostri che non esiste alcuna probabilità invariante.

Quanto valelimn→∞(pⁿ)ij?

Soluzione 6. (a) La matrice di transizione è data da p_ij = 1

2(δ_ii+ δ_{i i+1}) = (1

2 sej = i oppure j = i + 1

0 altrimenti ,

e il grafo corrispondente è

1 2

0 3 4

1 2

È chiaro chei→ j se e solo se i ≤ j, pertanto si ha i ↔ j se e solo se i = j. In altri termini, ogni singoletto Ti :={i}, per i ∈ E, è una classe di comunicazione. Chiaramente nessuna di tali classi è chiusa: infattii→ i + 1 ma i + 1 6→ i, per ogni i ∈ E. Dato che una classe ricorrente è necessariamente chiusa, segue che tutte le classiT_i sono transitorie e dunque tutti gli stati sono transitori.

(b) In generale, per quanto visto a lezione, una probabilità invariante (πi)i∈E è tale cheπi = 0 per ogni statoi∈ E transitorio. Dato che ogni stato è transitorio in questo caso, si dovrebbe avereπi= 0 per ogni i∈ E, il che è chiaramente impossibile, dovendo essereP

i∈Eπi = 1.

Quindi non possono esistere probabilità invarianti.

Cerchiamo ora misure invarianti (xi)i∈E, ossia soluzioni del sistema xi = P

j∈Exkpki, con x_i <∞, per ogni i ∈ E. Per i = 0, essendo p00 = ¹₂ e p_k0 = 0 per k 6= 0, otteniamo x0 = ¹₂x0, che ha come unica soluzione x0 = 0. Per i ≥ 1, essendo pi−1 i = pii = ¹₂ e p_ki= 0 per k6∈ {i − 1, i}, si ottiene xi = ¹₂(xi−1+ xi), ossia xi = xi−1. Quindi(xi)i∈E è una misura invariante se e solo sex_i = x_i−1 per ogni i∈ E, ossia xi = x₀ = 0 per ogni i∈ E.

L’unica misura invariante è dunque quella banale identicamente nulla. Ciò fornisce un’altra dimostrazione del fatto che non ci sono probabilità invarianti. [Nella precedente correzione c’era un errore.] Infinelimn→∞(pⁿ)ij = 0 per ogni i, j ∈ E, perché ogni j ∈ E è transitorio.

(9)

Tavola della distribuzione normale La tabella seguente riporta i valori diΦ(z) :=Rz

−∞e^{− 1}√²^x2

2π dx, la funzione di ripartizione della distribuzione normale standardN (0, 1), per 0≤ z ≤ 3.5. Ricordiamo che I valori di Φ(z) per z < 0 possono essere ricavati grazie alla formula

Φ(z) = 1− Φ(−z) .

z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

0.0 0.5000 0.5040 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.5359 0.1 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.5753 0.2 0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.6141 0.3 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6406 0.6443 0.6480 0.6517 0.4 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.6700 0.6736 0.6772 0.6808 0.6844 0.6879 0.5 0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157 0.7190 0.7224 0.6 0.7257 0.7291 0.7324 0.7357 0.7389 0.7422 0.7454 0.7486 0.7517 0.7549 0.7 0.7580 0.7611 0.7642 0.7673 0.7704 0.7734 0.7764 0.7794 0.7823 0.7852 0.8 0.7881 0.7910 0.7939 0.7967 0.7995 0.8023 0.8051 0.8078 0.8106 0.8133 0.9 0.8159 0.8186 0.8212 0.8238 0.8264 0.8289 0.8315 0.8340 0.8365 0.8389 1.0 0.8413 0.8438 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531 0.8554 0.8577 0.8599 0.8621 1.1 0.8643 0.8665 0.8686 0.8708 0.8729 0.8749 0.8770 0.8790 0.8810 0.8830 1.2 0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.8980 0.8997 0.9015 1.3 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.9177 1.4 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9279 0.9292 0.9306 0.9319 1.5 0.9332 0.9345 0.9357 0.9370 0.9382 0.9394 0.9406 0.9418 0.9429 0.9441 1.6 0.9452 0.9463 0.9474 0.9484 0.9495 0.9505 0.9515 0.9525 0.9535 0.9545 1.7 0.9554 0.9564 0.9573 0.9582 0.9591 0.9599 0.9608 0.9616 0.9625 0.9633 1.8 0.9641 0.9649 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693 0.9699 0.9706 1.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9761 0.9767 2.0 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.9817 2.1 0.9821 0.9826 0.9830 0.9834 0.9838 0.9842 0.9846 0.9850 0.9854 0.9857 2.2 0.9861 0.9864 0.9868 0.9871 0.9875 0.9878 0.9881 0.9884 0.9887 0.9890 2.3 0.9893 0.9896 0.9898 0.9901 0.9904 0.9906 0.9909 0.9911 0.9913 0.9916 2.4 0.9918 0.9920 0.9922 0.9925 0.9927 0.9929 0.9931 0.9932 0.9934 0.9936 2.5 0.9938 0.9940 0.9941 0.9943 0.9945 0.9946 0.9948 0.9949 0.9951 0.9952 2.6 0.9953 0.9955 0.9956 0.9957 0.9959 0.9960 0.9961 0.9962 0.9963 0.9964 2.7 0.9965 0.9966 0.9967 0.9968 0.9969 0.9970 0.9971 0.9972 0.9973 0.9974 2.8 0.9974 0.9975 0.9976 0.9977 0.9977 0.9978 0.9979 0.9979 0.9980 0.9981 2.9 0.9981 0.9982 0.9982 0.9983 0.9984 0.9984 0.9985 0.9985 0.9986 0.9986 3.0 0.9987 0.9987 0.9987 0.9988 0.9988 0.9989 0.9989 0.9989 0.9990 0.9990 3.1 0.9990 0.9991 0.9991 0.9991 0.9992 0.9992 0.9992 0.9992 0.9993 0.9993 3.2 0.9993 0.9993 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9995 0.9995 0.9995 3.3 0.9995 0.9995 0.9995 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9997 3.4 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9998