n n a = O ( b ) C> 0 | a | ≤ C | b | a b b ￿ =0 n n n n 1+2 + O = 1+2 1+ O n → + ∞ . 1 1 n 2+ n +12 ( n +1)= n +3 o (1) n → + ∞ . n k k √ e k log k 10.7Esercizi 24 . 62 Q (365) ≈ 2 Q (365) ≈ ≈ 23 . 94 365 π Q (365)

2. Il numero medio di persone da fare entrare ad una festa affinch´e vi siano al- meno due persone nate lo stesso giorno `e uguale a Q(365). La (10.84) del Teorema 10.111, supponendo che 365 sia un numero “ragionevolmente alto”, porge

Q(365)≈

�365π

2 ≈ 23.94

Il risultato non approssimato, arrotondato al secondo decimale, `e Q(365) ≈ 24.62.

10.7 Esercizi

Esercizio 10.1 Usando lo sviluppo di Eulero-Maclaurin al primo ordine stimare le somme seguenti e l’errore commesso:

1. �

1≤k<10

log k;

2. �

1≤k<10

k⁻²;

3. �

0≤k<10

e^−k(confrontare qui anche con la somma esatta);

4. �

1≤k<10

√k;

5. �

0≤k<10

k^3/2.

Esercizio 10.2 Usando lo sviluppo di Eulero-Maclaurin al secondo ordine stimare le somme e l’errore commesso nelle sommatorie dell’Esercizio 10.1.

Esercizio 10.3 Provare che

� n + 1

2n

�

(n²+ 1) = n³+3n

2 + o(1)pern→ +∞.

Esercizio 10.4 Mostrare che 1 + 2

n+ O

� 1 n²

�

=

� 1 + 2

n

� � 1 + O

�1 n²

��

n→ +∞.

Esercizio 10.5 Sianoan ebndue successioni, si supponga inoltre chebn �= 0^per ognin. Provare chea_n= O(b_n)se e solo se esisteC > 0tale che|an| ≤ C|bn|^per ognin.

Esercizio 10.6 In ogni riga, quale delle due affermazioni implica l’altra, pern → +∞^?

1.i)an= n²+ O(n log n) 1.ii)an= n²+ 2n log n + O(n);

2.i)a_n= n²+ o(n²) 2.ii)a_n= n²+ 2n log n− 6n + O(n).

Esercizio 10.7 Sianoα, β∈ R,a > 0ea_n∼ αn^apern→ +∞^eb_n∼ βn^aper n→ +∞^{, con}α + β �= 0. Provare chea_n+ b_n∼ (α + β)n^apern→ +∞^. Esercizio 10.8 Siaa_nuna successione tale che lim

n→+∞a_n = � ∈ R. Alloraa_n =

� + O(1)pern→ +∞^.

Esercizio 10.9 Fornire una stima asintotica al primo ordine per

1. �

1≤k<n

log k;

2. �

1≤k<n

k⁻²;

3. �

0≤k<n

e^−k;

4. �

0≤k<n

√k;

5. �

0≤k<n

k^3/2.

Esercizio 10.10 Usando le versioni asintotiche della formula di Eulero-Maclaurin (Teorema 10.32) fornire delle approssimazioni per �

1≤k<n

k log k.

Esercizio 10.11 Fornire delle stime asintotiche per le seguenti somme di Cauchy

1. �

1≤k<n

e^−k/n2;

2. �

1≤k<n

e^−k/√n;

3. �

1≤k<n

n

(k + n^1/2)(k + 2n^1/2)^;

4. �

1≤k<n

n⁴

(k + n²)(k + 2n²)^.

Esercizio 10.12 Fornire delle stime asintotiche al primo ordine e secondo ordine per le seguenti somme di Riemann:

1. �

1≤k<n

e^−k/n;

2. �

1≤k<n

n² (k + n)(k + 2n)^.

Esercizio 10.13 Stimare le seguenti somme a meno diO(1/n).

1. �

0≤k<n

1 1 +_n^k22

; 2. K �

0≤k<n

1 1 +_n^k33

.

Esercizio 10.14 Provare che i polinomi di Bernoulli B_m(x)conm ≥ 2 ^{hanno le} seguenti propriet`a.

1. Sem`e divisibile per 4 allora esistea < 1/2tale che





B_m(x) < 0su[0, a[, B_m(x) > 0su]a, 1− a[, B_m(x) < 0su]1− a, 1];

2. Sem− 1`e divisibile per 4 allora

� B_m(x) < 0su]0, 1/2[, B_m(x) > 0su]1/2, 1[;

3. Sem− 2`e divisibile per 4 allora esistea < 1/2tale che





B_m(x) > 0su[0, a[, B_m(x) < 0su]a, 1− a[, B_m(x) > 0su]1− a, 1];

4. Sem− 3`e divisibile per 4 allora

� B_m(x) > 0su]0, 1/2[, B_m(x < 0su]1/2, 1[. .

Esercizio 10.15 Sianoan,k, bn,k due successioni a due indici, con bn,k mai nulla, tali che lim

n→+∞

an,k

bn,k

= 0uniformemente perk ≤ kn, dovek_n `e una successione a termini positivi. Provare cheO(an,k) = O(bn,k)pern→ +∞uniformemente per k≤ kn, cio`e che secn,k= O(an,k)pern→ +∞uniformemente perk≤ knallora cn,k= O(bn,k)pern→ +∞uniformemente perk≤ kn.

Esercizio 10.16 (DistribuzioneRdi Ramanujan) La distribuzioneRdi Ramanu- jan `e

∀n, k ∈N, k≤ n, R(n, k) = n!n^k (n + k)!. Mostrare che se0 < r < 2/3allora

n!n^k

(n + k)! = e^{−k2/(2n)�}1 + O(k/n) + O(k³/n²)^� pern→ +∞

uniformemente perk≤ n^r. Soluzioni degli esercizi

Soluzione es. 10.1. Le sommatorie sono del tipo �

a≤k<b

f (k) conf monotona: vale quindi la (10.1). Si ha:

1. �

1≤k<10

log k =

� 10 1

log x dx−1

2[log x]¹⁰₁ + R1

= [x log x− x]¹⁰1 −1

2[log x]¹⁰₁ + R1

=−9 +19 log 10

2 + R1≈ 12.8746 + R1, con |R1| ≤

��

�� 1

2[log x]¹⁰₁

��

�� = log 10

2 ≈ 1.15. Si noti che la somma vera vale all’incirca 12.8018.

2. �

1≤k<10

k⁻²=

� 10 1

x⁻²dx−1 2

�x^−2�10₁ + R₁

=^�−x^−1�10₁ −1 2

�x^−2�10₁ + R1

= 279

200+ R1≈ 1.395 + R1, con |R1| ≤

��

�� 1 2[x⁻²]¹⁰₁

��

�� = 99

200 ≈ 0.495. Si noti che la somma vera vale all’incirca1.53977.

3. �

0≤k<10

e^−k=

� 10 0

e^−xdx−1 2

�e^−x�10₀ + R₁

=^�−e^−x�10₀ −1 2

�e^−x�10₀ + R1

= 3 2

�1− e^−10�+ R1≈ 1.5 + R1,

con|R1| ≤

��

��1 2[e^−x]¹⁰₀

��

��= 1

2(1− e⁻¹⁰)≈ 0.5. La somma esatta vale 1 + e⁻¹+ ... + (e⁻¹)¹⁰= 1− e⁻¹¹

1− e⁻¹ ≈ 1.58.

4. �

1≤k<10

√k =

� 10 1

√x dx−1 2

�√

x^�10₁ + R1

=

�2 3x^3/2

�10 1

−1 2

�√

x^�10₁ + R1

= 1 6

�−1 + 37√

10^�+ R₁≈ 19.334 + R1, con |R1| ≤

��

��1 2[√

x]¹⁰₁

��

�� =

�5

2 ≈ 1.08. Si noti che la somma vale all’incirca 19.306.

5. �

0≤k<10

k^3/2=

� 10 0

x^3/2dx−1 2

�x^3/2�10

0 + R₁

=

�2 5x^5/2

�10 0

−1 2

� x^3/2�10

0 + R1

= 35√

10 + R₁≈ 110.68 + R1, con|R1| ≤

��

�� 1 2

�x^3/2�10₀

��

��= 5√

10≈ 15.81. Si noti che la somma vale all’incirca 111.05.

Soluzione es. 10.2. Le sommatorie sono del tipo �

a≤k<b

f (k)conf^� monotona: vale quindi la (10.2). Si ha:

1. �

1≤k<10

log k =

� 10 1

log x dx−1

2[log x]¹⁰₁ + 1 12

�1 x

�10 1

+ R2

= [x log x− x]¹⁰1 −1

2[log x]¹⁰₁ + 1 12

�1 x

�10 1

+ R2

=−363

40 +19 log 10

2 + R2≈ 12.7996 + R2, con|R2| ≤

��

��

� 1 12

�1 x

�10 1

��

��

�= 3

40 ≈ 0.075. Si noti che la somma vera vale all’incirca 12.8018.

2. �

1≤k<10

k⁻²=

� 10 1

x⁻²dx−1 2

�x^−2�10₁ + 1 12

�−2x^−3�10₁ + R2

=^�−x^−1�10₁ −1 2

�x^−2�10₁ + 1 12

�−2x^−3�10₁ + R2

= 3123

2000+ R2≈ 1.5615 + R², con|R²| ≤ 1

12[−2x⁻³]¹⁰₁ = 333

2000 ≈ 0.1665. Si noti che la somma vera vale all’incirca1.53977.

3. �

0≤k<10

e^−k=

� 10 0

e^−xdx−1 2

�e^−x�10₀ + 1 12

�−e^−x�10₁ + R2

=^�−e^−x�10₀ −1 2

�e^−x�10₀ + 1 12

�−e^−x�10₀ + R2

=19 (−1 + e¹⁰) 12e¹⁰ + R2, con|R²| ≤

��

��1

12[−e^−x]¹⁰₀

��

��= ₁₂¹

� 1− 1

e¹⁰

� .

4. �

1≤k<10

√k =

� 10 1

√x dx−1 2

�√

x^�10₁ + 1 12

�1 2x^−1/2

�10 1

+ R2

=

�2 3x^3/2

�10 1

−1 2

�√

x^�10₁ + 1 12

�1 2x^−1/2

�10 1

+ R₂

= 1/240(−50 + 1481√

10) + R2≈ 19.3056 + R2, con |R2| ≤

��

��

� 1 12

�1 2x^−1/2

�10 0

��

��

� = 1 240

�−10 +√

10^� ≈ 0.028. Si noti che la somma vale all’incirca19.306.

5. �

0≤k<10

k^3/2=

� 10 0

x^3/2dx−1 2

�x^3/2�10

0 + 1 12

�3 2x^1/2

�10 0

+ R2

=

�2 5x^5/2

�10 0

−1 2

�x^3/2�10

0 + 1 12

�3 2x^1/2

�10 0

+ R2

= 281

�5 2

4 + R2≈ 111.075 + R2, con|R2| ≤

��

��

� 1 12

�3 2x^1/2

�10 0

��

��

�=

√₅

2

4 ≈ 0.395. Si noti che la somma vale all’incirca 111.05.

Soluzione es. 10.3. Sviluppando si ha

� n + 1

2n

�

(n²+ 1) = n³+n

2+ n + 1

2n = n³+3n 2 + 1

2n

= n³+3n

2 + o(1)pern→ +∞

dato che1/n→ 0pern→ +∞. Soluzione es. 10.4. Si ha

� 1 + 2

n

� � 1 + O

� 1 n²

��

= 1 +2 n+ O

�1 n²

� + O

� 1 n³

�

= 1 +2 n+ O

�1 n²

�

n→ +∞

dato che 1 n³ ∈ O

�1 n²

� .

Soluzione es. 10.5. Se |an| ≤ C|bn| per ognin allora `e chiaro chean = O(bn). Viceversa, supponiamo chean= O(bn): esistonoM > 0en0∈N tali che|aⁿ| ≤ M|bⁿ|^{per ogni}n ≥ n⁰: posto oraC = max{M, |a¹|/|b¹|, ..., |aⁿ0−1|/|bⁿ0−1|}^si ottiene che|an| ≤ C|bn|^{per ogni}n.

Soluzione es. 10.6. Si ha 1.ii) ⇒ 1.i)^{, dato che} n = O(n log n) e n log n = O(n log n)pern → +∞^{; `e}2.ii)⇒ 2.i)^{, dato che}n log n = o(n²)en = o(n²) pern→ +∞^.

Soluzione es. 10.7. Si haa_n= αn^a+o(n^a), b_n= βn^a+o(n^a)pern→ +∞^{da cui} a_n+ b_n= (α + β)n^a+ o(n^a); essendoα + β�= 0si ottiene subito la conclusione.

Soluzione es. 10.8. Infattia_n− � = o(1) ⊂ O(1)^pern→ +∞^. Soluzione es. 10.9. Si tratta di somme del tipo �

a≤k<n

f (k)conf monotona: possiamo applicare la formula (10.12).

1. �

1≤k<n

log k =

� n 1

log x dx + C + O(log n) n→ +∞

= n log n− n + C^�+ O(log n) n→ +∞, doveCeC^�sono delle costanti che non dipendono dan.

2. �

1≤k<n

k⁻² =

� n 1

x⁻²dx + C + O(n⁻²) n→ +∞

=−1

n + C^�+ O(n⁻²) n→ +∞, doveCeC^�sono delle costanti che non dipendono dan.

3. �

0≤k<n

e^−k=

� n 0

e^−xdx + C + O(e⁻ⁿ) n→ +∞

=−e⁻ⁿ+ C^�+ O(e⁻ⁿ) = C^��+ O(e⁻ⁿ) n→ +∞, doveC, C^�, C^��sono delle costanti che non dipendono dan.

4. �

0≤k<n

√k =

� n 0

√x dx + C + O(√

n) n→ +∞

= 2

3n^3/2+ C + O(√

n) n→ +∞, doveC`e una costante che non dipende dan.

5. �

0≤k<n

k^3/2=

� n 0

x^3/2dx + C + O(n^3/2) n→ +∞

= 2

5n^5/2+ C + O(n^3/2) n→ +∞, doveC`e una costante che non dipende dan.

Soluzione es. 10.10. La formula di Eulero-Maclaurin (Teorema 10.32) con f (x) = x log xporge

�

1≤k<n

k log k =

� n 1

x log x dx + C−n log n

2 + O(log n)

=

�

−x² 4 +1

2x²log x

�n 1

−n log n

2 + O(log n)

=−n² 4 +1

2n²log n−n log n

2 + O(log n), n→ +∞.

Soluzione es. 10.11. 1. La somma coincide con �

1≤k<n

g^�k/n^2�con g(x) = e^−x; applicando la (10.45) si ottiene

�

1≤k<n

e^−k/n2 = ng(0) + O(n) = n + O(n) n→ +∞.

2. La somma coincide con �

1≤k<n

g^�k/n^1/2�cong(x) = e^−x: si noti chegeg^�sono integrabili in senso generalizzato su[0, +∞[: applicando la (10.28) si ottiene

�

1≤k<n

e^−k/√n= n^1/2

� +∞ 0

e^−tdt + o(n^1/2) =√

n + o(√

n) n→ +∞.

3. Dividendo numeratore e denominatore pernsi ha

�

1≤k<n

n

(k + n^1/2)(k + 2n^1/2) = ^�

1≤k<n

1

(k/n^1/2+ 1)(k/n^1/2+ 2) :

si tratta di �

1≤k<n

g^�k/n^1/2�con g(x) = 1

(x + 1)(x + 2): si noti cheg e|g^�| sono integrabili in senso generalizzato su[0, +∞[: applicando la (10.28) si ottiene

�

1≤k<n

1

(k/n^1/2+ 1)(k/n^1/2+ 2) = n^1/2

� _+∞

0

1

(t + 1)(t + 2)dt + o(n^1/2)

= n^1/2

�

log1 + t 2 + t

�+∞ 0

+ o(n^1/2)

= n^1/2log 2 + o(n^1/2) n→ +∞.

4. Dividendo numeratore e denominatore pern⁴si ha

�

1≤k<n

n⁴

(k + n²)(k + 2n²) = ^�

1≤k<n

1

(k/n²+ 1)(k/n²+ 2) :

si tratta di �

1≤k<n

g^�k/n^2�cong(x) = 1

(x + 1)(x + 2): applicando la (10.45) si ottiene

�

1≤k<n

1

(k/n²+ 1)(k/n²+ 2)= ng(0) + O(1) = n

2 + O(1), n→ +∞.

Soluzione es. 10.12. 1. La somma coincide con �

1≤k<n

g (k/n) con g(x) = e^−x; applicando la (10.45) si ottiene

�

1≤k<n

e^−k/n= n

� 1 0

g(x) dx + O(1) = n(1− e⁻¹) + O(1) n→ +∞.

Applicando la (10.41) si ottiene

�

1≤k<n

e^−k/n = n

� 1 0

g(x) dx−1

2[g]¹₀− g(0) + O(1/n)

= n(1− e⁻¹)−1

2(e⁻¹− 1) − 1 + O(1/n)

= n(1− e⁻¹)− 1 2e−1

2+ O(1/n) n→ +∞.

Si noti che la somma data vale esattamente (−1 + e)e⁻¹⁺¹ⁿ

−1 + e^{1n .} 2. La somma coincide con �

1≤k<n

g (k/n)cong(x) = 1

(1 + x)(2 + x); applicando la (10.45) si ottiene

�

1≤k<n

n²

(k + n)(k + 2n) = n

� 1 0

g(x) dx + O(1)

= n

�

log1 + x 2 + x

�1 0

+ O(1) = n log4

3+ O(1) n→ +∞.

Applicando la (10.41) si ottiene

�

1≤k<n

n²

(k + n)(k + 2n) = n

� 1 0

g(x) dx−1

2[g]¹₀− g(0) + O(1/n)

= n log4 3−1

2

�1 6−1

2

�

−1

2+ O(1/n)

= n log4 3−1

3+ O(1/n) n→ +∞.

Soluzione es. 10.13. 1. La somma coincide con �

1≤k<n

g (k/n)cong(x) = 1 1 + x^2; applicando la la (10.41) si ottiene

1 1 +^k_n²2

= n

� 1 0

g(x) dx−1

2[g]¹₀+ O(1/n)

= n arctan 1−1 2

�1 2− 1

�

+ O(1/n)

= nπ 4+1

4+ O(1/n) n→ +∞.

2. La somma coincide con �

1≤k<n

g (k/n) con g(x) = 1

1 + x³; applicando la la (10.41) si ottiene

1 1 +^k_n³3

= n

� 1 0

g(x) dx−1

2[g]¹₀+ O(1/n)

= n



arctan^�−1+2x√ 3

�

√3 +1

3log(1 + x)−1

6log^�1− x + x^2�





1

0

−

−1 2

�1 2− 1

�

+ O(1/n)

= n 18

�2√

3π + log 64^�+1

4+ O(1/n) n→ +∞.

Soluzione es. 10.14. Utilizziamo qui le propriet`a della Proposizione 10.67. Trattiamo prima il casom = 2. `EB2(x) = x²− x + 1/6il cui grafico `e simmetrico rispetto all’assex = 1/2, con derivataB^�₂(x) = 2x− 1^{nulla in}1/2, negativa su[0, 1/2[e positiva su]1/2, 1[, si ha poiB₂(1/2) < 0,B₂(0) = B₂(1) = 1/6:B₂si annulla in un puntoa ∈]0, 1/2[^{e in}1− a^{, sicch´e}B₂> 0su[0, a[,B₂< 0su]a, 1− a[^, B2> 0su]1− a, 1]^.

Proseguiamo per induzione sum, supponiamom ≥ 2e l’asserto valido fino adm. Dato cheB^�_m+1= (m + 2) Bmle propriet`a diBm+1si deducono da quelle diBm: 1. Supponiamo(m + 1)− 3divisibile per 4, quindim = 2om− 2 ≥ 2`e divisibile

per 4. Per quanto verificato nel casom = 2o per l’ipotesi induttiva vi `ea∈]0, 1/2[

tale che 





Bm(x) > 0su[0, a[, Bm(x) < 0su]a, 1− a[, B_m(x) > 0su]1− a, 1].

Dato cheBm+1(0) = 0si haBm+1> 0su]0, 1/2[eBm+1< 0su]1/2, 1[. 2. Supponiamom + 1divisibile per 4, pertantom = 3(trattato nel caso precedente)

om− 3 ≥ 2`e divisibile per 4. Per quanto visto sopra sem = 3, o per l’ipotesi induttiva sem≥ 5^{si ha che}

� B_m(x) > 0su]0, 1/2[, Bm(x) < 0su]1/2, 1[.

PertantoB_m+1cresce su[0, 1/2]e decresce simmetricamente su[1/2, 1]. Per la la Proposizione 10.67 sappiamo cheB_m+1si annulla in due puntia, 1− a^simmetrici rispetto a x = 1/2ed `e quindiB_m+1 < 0su[0, a[,B_m+1 > 0 su]a, 1− a[^, Bm+1< 0su]1− a, 1]^.

3. Supponiamo(m + 1)− 1 = mdivisibile per 4. Per l’ipotesi induttiva vi `ea ∈ ]0, 1/2[tale che 





B_m(x) < 0su[0, a[, B_m(x) > 0su]a, 1− a[, Bm(x) < 0su]1− a, 1].

Dato cheBm+1(0) = 0si haBm+1< 0su]0, 1/2[eBm+1> 0su]1/2, 1[. 4. Supponiamo(m + 1)− 2 = m − 1divisibile per 4. Per l’ipotesi induttiva si ha

che �

B_m(x) < 0su]0, 1/2[, B_m(x) > 0su]1/2, 1[.

PertantoBm+1decresce su[0, 1/2]e cresce simmetricamente su[1/2, 1]. Per la la Proposizione 10.67 sappiamo cheBm+1si annulla in due puntia, 1− a^simmetrici rispetto a x = 1/2ed `e quindiBm+1 > 0su[0, a[,Bm+1 < 0 su]a, 1− a[^, B_m+1> 0su]1− a, 1]^.

L’asserto `e quindi dimostrato.

Soluzione es. 10.15. Dato che in tal caso `e an,k = O(bn,k) uniformemente per k ≤ kn l’asserto segue subito dalla transitivit`a della relazione O vista nella Proposizione 10.93.

Soluzione es. 10.16. Si ha

R(n, k) = n^k

(n + k)(n + k− 1)...(n + 1) = 1

�1 +_n^k�...^�1 +_n^1�, da cui

log R(n, k) =−

� log

� 1 +k

n

�

+ ... + log

� 1 + 1

n

��

.

La dimostrazione procede poi in modo analogo a quella della Proposizione 10.111.