( a ) 4.3Esercizi n 1 /e n !+ e =1

(1)

dove S1(A1, ..., An) = C(n, 1)(n 1)! = n!,

S2(A1, ..., An) = C(n, 2)(n 2)! = n!

2!, ...

Sk(A1, ..., An) = C(n, k)(n k)! = n!

k!, ...

Sn(A1, ..., An) = C(n, n)(n n)! = n!

n! = 1.

Sommando i vari termini e raccogliendon!si ottiene il risultato. ⇤

Esempio 4.24 (Il problema dei cappelli) Ognuna dellenpersone che sono entrate in un locale ha lasciato il proprio cappello alla guardarobiera. In quanti modi si possono ridistribuire gli ncappelli in modo che tutti abbiano un cappello diverso dal proprio? Se la guardarobiera ubriaca distribuisce a caso i cappelli in uscita, qual `e la probabilit`a che nessuno riprenda il proprio cappello?

Soluzione. Etichettiamo persone e cappelli conIn, assumendo che il cappello iap- partenga alla personai. Indichiamo l’esito di una distribuzione di cappelli con una n-sequenza diIn, dove il termine all’i-esimo posto è il cappello ricevuto dalla i- esima persona. L’evento che nessuno riceva il proprio cappello è costituito da tutti gli scombussolamenti di(1, ..., n)che sono in tuttoDn. Se la distribuzione di cappelli avviene casualmente, ognin-sequenza diIn è ugualmente probabile: la probabilità di un tale evento vale quindi

Dn

n! = 1 1 1!+ 1

2!

1

3! + ... +( 1)ⁿ n! . Si noti che essendo

e ¹= 1 1 + 1 2!

1

3!+ ... + ( 1)ⁿ 1 n!+ ...

tale probabilit`a, perngrande, si avvicina a1/e.

4.3 Esercizi

Esercizio 4.1 Un pasticcere prepara dei cesti di 6 ovetti di cioccolato; questi possono avere la carta che li confeziona di 5 colori: Blu, Verde, Rossa, Bianca, Gialla. L’ordine con cui sono collocati gli ovetti nel cesto non conta.

(a) Qual `e il numero massimo di cesti distinti che pu`o formare?

(2)

(b) La pasticceria dispone di tutti i cesti che si possono formare in questo modo. Un signore compra tutti i cesti nei quali vi sia almeno un ovetto Blu o esattamente 2 ovetti Gialli. Quanti ne compra?

Esercizio 4.2 In quanti modi `e possibile dare 16 caramelle ad un bimbo, da un grande cesto contenente caramelle al limone, alla menta ed al rabarbaro, in modo che ne riceva esattamente 3 di almeno uno dei gusti?

Esercizio 4.3 Determinare il numero di mani di 13 carte da un mazzo di 52, che hanno 4 Re, o 4 Assi, o esattamente quattro picche.

Esercizio 4.4 Quante parole di 5 lettere si possono formare utilizzando un alfabeto di 26 lettere (con possibili ripetizioni) in modo che ogni parola cominci oppure finisca con una vocale?

Esercizio 4.5 In quanti modi possiamo formare una sequenza di lunghezza 5 utilizzando un alfabeto di 3 lettere in modo che almeno due lettere consecutive coincidano?

Esercizio 4.6 Supponiamo che in una libreria ci siano 200 libri, 70 in francese e 100 di argomento matematico. Quanti sono i libri non scritti in francese e di argomento diverso dalla matematica se ci sono 30 libri francesi di matematica?

Esercizio 4.7 200 studenti possono frequentare tre corsi di Matematica: Matematica Discreta, Analisi e Geometria. Ogni corso `e seguito da 80 studenti. Ogni coppia di discipline ha 30 studenti in comune; 15 studenti frequentano tutte e tre le materie.

(a) Quanti sono gli studenti che non frequentano nessuna delle tre discipline?

(b) Quanti sono gli studenti che frequentano solo il corso di Matematica Discreta?

Esercizio 4.8 Quanti sono i numeri tra1e30che sono primi con30?

Esercizio 4.9 Quante sono le 10 sequenze diI9nelle quali compaiono le cifre 1,2 e 3?

Esercizio 4.10 Quanti sono i modi di distribuire 20 persone diverse in 3 aule in modo che in ogni aula vi sia almeno una persona?

Esercizio 4.11 Quanti sono gli anagrammi di SALUMI dove si verifichi almeno una delle tre possibilit`a: (i) S precede A, (ii) A precede L, (iii) L precede U? Per precedere si intende che sia posizionata prima, non necessariamente immediatamente prima.

Esercizio 4.12 I Brusegan, i Visentin e i Casarin hanno ciascuno 5 figli. Se i 15 figli campeggiano in 5 tende differenti, 3 per ogni tenda, e sono assegnati in maniera ca- suale alle 5 tende, qual `e la probabilit`a che ogni famiglia abbia almeno due dei suoi figli nella stessa tenda?

(3)

Esercizio 4.13 Qual `e la probabilit`a che una mano di 13 carte prese da un mazzo di 52 abbia:

(a)almeno un seme mancante?

(b)almeno una carta di ogni seme?

(c)almeno una carta per ogni tipo di figura (cio`e almeno un asso, almeno un jack, almeno una regina ed almeno un re)?

Esercizio 4.14 Quante sono le 9-sequenze diI3nelle quali compaiono tre 1, tre 2 e tre 3, senza tre numeri uguali consecutivi?

Esercizio 4.15 Quante sono le permutazioni delle 21 lettere dell’alfabeto italiano che non contengono nessuna delle seguenti parole: ARCO, UVE, LUNA, GIN.

Esercizio 4.16 In quanti modi si possono distribuire 25 palline identiche in 6 contenitori distinti in modo che vi siano al massimo 6 palline in uno qualunque dei primi 3 contenitori?

Esercizio 4.17 Uno stregone ha 5 amici. Durante una lunga conferenza di stregoni,

`e andato a cena con ogni amico 10 volte, ogni data coppia di amici 5 volte, ogni data terna di amici 3 volte, ogni data quaterna di amici 2 volte ed una volta sola con tutti e 5 gli amici. Se inoltre lo stregone ha cenato 6 volte da solo, quanti giorni `e durata la conferenza?

Esercizio 4.18 Supponiamo che in un dipartimento di matematica vi siano 10 corsi che devono essere assegnati a 5 professori diversi. In quanti modi si possono assegnare a ciascuno dei 5 professori due corsi all’anno in due anni accademici successivi in modo che nessun professore insegni gli stessi 2 corsi entrambi gli anni?

Esercizio 4.19 Quante permutazioni di(1, 2, ..., n)ci sono, nelle qualiinon sia immediatamente seguito dai + 1, con1  i  n 1, ennon sia immediatamente seguito da1?

Esercizio 4.20 In quanti modi si possono distribuire 10 libri a 10 ragazzi (uno ad ogni ragazzo), ed in seguito raccogliere i libri e ridistribuirli in modo che tutti i ragazzi abbiano un nuovo libro?

Esercizio 4.21 In una citt`a vengono venduti 3 giornali: A,B e C. Da un’indagine risulta che il 47% degli abitanti legge il giornale A, il 34% il giornale B, il 12% il giornale C; l’8 % legge A e B, il 5% A e C, il 4% B e C; infine il 4% legge tutti e 3 i giornali. Se si sceglie a caso una persona, trovare la probabilit`a che

(a) non legga alcun giornale;

(b) legga un solo giornale;

(4)

Esercizio 4.22 Dobbiamo inserire in una tabella, di 4 righe e 6 colonne, 9 numeri distinti compresi tra 1 e 90 (estremi inclusi).

(a) Quante tabelle distinte si possono realizzare?

(b) Quante sono le tabelle che hanno una riga vuota oppure il 90 nella prima riga?

Esercizio 4.23 `E assegnato un alfabeto composto da 13 simboli distinti.

(a) Quante parole di 8 lettere contenenti almeno un simbolo ripetuto esattamente 3 volte `e possibile scrivere?

(b) Quante parole di 8 lettere contenenti almeno due simboli distinti ripetuti esattamente 3 volte `e possibile scrivere?

Esercizio 4.24 Si considerano le carte rosse di un mazzo da poker di 52 carte (13 di cuori, 13 di quadri). Distribuisco a 13 persone prima le carte di cuori e poi le carte di quadri (una carta ciascuno di ogni tipo).

(a) Quanti sono i possibili esiti di tale distribuzione?

(b) Qual `e la probabilit`a che almeno una persona riceva una coppia (due carte con lo stesso numero)?

Soluzioni degli esercizi

Soluzione es. 4.1. (a)Il numero massimo di cesti possibili `e uguale al numero di 5- risoluzioni di 6, ovveroC(6 + 4, 4) = 210.

(b)Indichiamo con B l’insieme dei cesti con almeno un ovetto blu e con G l’insieme dei cesti con esattamente 2 ovetti gialli. Si ha

|B [ G| = |B| + |G| |B \ G| = C(5 + 4, 4) + C(4 + 3, 3) C(3 + 3, 3) = 141 Soluzione es. 4.2. SianoAL,AM,ARle distribuzioni di caramelle nelle quali il bimbo riceve rispettivamente esattamente 3 caramelle al limone, alla menta, al rabarbaro.

Dobbiamo calcolare|AL[ AM \ AR|. Si ha

|A^L[A^M\A^R| = |A^L|+|A^M|+|A^R| |A^L\A^M| |A^L\A^R| |A^M\A^R|+|A^L\A^M\A^R| Ora|A^L| = |A^M| = |A^R| `e il numero di 2-risoluzioni di 16 3 = 13, ovvero

C(14, 1) = 14; analogamente|A^L \ A^M| = |A^L \ A^R| = |A^M \ A^R| = 1^e

|A^L\ A^M \ A^R| = 0^{. Pertanto}

|A^L[ A^M \ A^R| = 14 ⇥ 3 3 + 0 = 39

Soluzione es. 4.3. SianoAR,A1eAP le mani contenenti rispettivamente quattro Re, quattro assi, quattro picche. Si ha

|A^R[A¹[A^P| = 2

✓48 9

◆ +

✓13 4

◆ ✓39 9

◆ ✓44 5

◆ 2

✓12 3

◆

⇥

✓36 6

◆ +

✓11 2

◆

⇥

✓33 3

◆ .

(5)

Soluzione es. 4.4. Indichiamo conC edF rispettivamente l’insieme delle parole che cominciano con una vocale e che finiscono con una vocale. Dobbiamo calcolare|C [ F|. Si ha|C| = 5 ⇥ 26⁴=|F |,|C \ F | = 5²⇥ 26³. Pertanto

|C [ F | = |C| + |F | |C \ F | = 5 ⇥ 26⁴+ 5⇥ 26⁴ 5²⇥ 26³= 4 130 360 Soluzione es. 4.5. Indichiamo conXi le sequenze nelle quali lai-esima e lai + 1-

esima lettera coincidono,i = 1, ..., 4. Dobbiamo calcolare|X¹ [ ... [ X⁴|^{. Si ha}

|Xi| = 3^{5 1}; |Xi\ Xi+1| = 3^{5 2}; sei + 1 < j abbiamo |Xi \ Xj| = 3^{5 2};

|Xⁱ \ Xⁱ⁺¹ \ Xⁱ⁺²| = 3^{5 3}^; |X¹ \ X² \ X⁴| = |X¹ \ X³ \ X⁴| = 3^{5 3}^;

|X1\ X2\ X3\ X4| = 3. Si ha

|X¹[ ... [ X⁴| = 4 ⇥ 3^{5 1}

✓4 2

◆

⇥ 3^{5 2}+

✓4 3

◆

⇥ 3^{5 3}

✓4 4

◆

⇥ 3^{5 4}= 195 Soluzione es. 4.6. Indichiamo con F e M rispettivamente gli insiemi dei libri in francese e di quelli di carattere matematico. Dobbiamo calcolare|F^c\ M^c|^{. Si ha}

|F^c\ M^c| = |(F [ M)^c| = 200 |F [ M| = 200 [|F | + |M| |F \ M|] =

= 200 70 100 + 30 = 60

Soluzione es. 4.7. Indichiamo conD,AeGrispettivamente gli insiemi degli studenti di Matematica Discreta, Analisi e Geometria.

(a): Dobbiamo calcolare|D^c\ A^c\ G^c|^{. Si ha}

|D^c\ A^c\ G^c| = |(D [ A [ G)^c| = 200 |D [ A [ G| =

= 200 [|D| + |A| + |G| |D \ A| |D \ G| |G \ A| + |D \ A \ G|] =

= 200 3⇥ 80 + 3 ⇥ 30 15 = 35

(b): Dobbiamo calcolare la cardinalit`a diS = D\ A^c\ G^c^{. Si ha}

80 =|D| = |S| + |D \ S| = |S| + [|D \ A| + |D \ G| |D \ A \ G| =

=|S| + [30 + 30 15] =|S| + 45 Pertanto|S| = 35^.

Soluzione es. 4.8. Indichiamo con A2, A3 e A5 i numeri ra 1 e 30 divisibili rispettivamente per 2, 3, 5. Dobbiamo calcolare|A^c2\ A^c3\ A^c5|^{. Si ha}

|A^c2\ A^c3\ A^c5| = |(A²[ A³[ A⁵)^c| = 30 15 10 6 + 5 + 3 + 2 1 = 8

(6)

Soluzione es. 4.9. Indichiamo conAi,i = 1, 2, 3, le 10 sequenze diI9nelle quali non compare il numeroi. Dobbiamo calcolare|A^c1\ A^c2\ A^c3|^{. Si ha}

|A^c1\ A^c2\ A^c3| = |(A¹[ A²[ A³)^c| = 9¹⁰ |(A¹[ A²[ A³)| = 9¹⁰ [3⇥ 8¹⁰] + [

✓3 2

◆

⇥ 7¹⁰] [6¹⁰] = 1 052 518 500

Soluzione es. 4.10. Etichettate conI3le aule, ogni distribuzione delle persone corrisponde ad una 20-sequenza diI3. Indichiamo conXi,i = 1, 2, 3, le 20 sequenze di I3in cui non compare il numeroi. Dobbiamo calcolare|X1^c\ X2^c\ X3^c|^{. Si ha}

|X1^c\ X2^c\ X3^c| = |(X¹[ X²[ X³)^c| = 3²⁰ |X¹[ ... [ Xⁿ| =

= 3²⁰ 3⇥ 2²⁰+ 3 = 3 483 638 676

Soluzione es. 4.11. Indichiamo con XSA, XAL e XLU rispettivamente gli insiemi di parole dove S precede A, A precede L, L precede U. Dobbiamo calcolare

|X^SA[ X^AL[ X^LU|. Una parola in XSAsi costruisce decidendo quante lettere inserire prima della S, quante tra la S e la A e quante dopo la A, e poi negli spazi decisi inserendo una 4-sequenza senza ripetizioni di {L, U, M, I}. Pertanto prima calcoliamo le soluzioni dix1 + x2+ x3 = 4che sono

✓6 2

◆

, e poi le 4-sequenze senza ripetizioni di {L, U, M, I} ^{che sono} 4! Si ha dunque |X^SA| = |X^AL| =

|X^LU| =

✓6 2

◆

⇥ 4!Analogamente|X^SA\ X^AL| =

✓6 3

◆

⇥ 3! = |X^LU \ X^AL|^e

|XSA\XAL\XLU| =

✓6 4

◆

⇥2!Per quanto riguarda|XSA\XLU|si pu`o procedere cos`ı: siaPuna parola inXSAeP⁰la parola ottenuta daPscambiando le lettereLe U; una ed una sola traP ^eP⁰appartiene aXLU e quindi|X^SA\ X^LU| = 1

2|X^SA|^. Allora

|X^SA[X^AL[X^LU| =

✓6 2

◆

⇥4!⇥3

✓6 3

◆

⇥3!⇥2 1 2

✓6 2

◆

⇥4!+

✓6 4

◆

⇥2! = 690 Soluzione es. 4.12. Etichettiamo conI5le tende. Le possibili assegnazioni dei 15 figli nelle tende sonoS(5, 15; (3, 3, 3, 3, 3)). Vanno evitate le assegnazioni nelle quali c’`e una tenda nella quale `e stato alloggiato un figlio di ogni famiglia. Indichiamo conAi

le assegnazioni nelle quali nella tenda i c’`e un figlio di ogni famiglia. Si ha

|A¹[...[A⁵| = 5⇥[5³⇥S(4, 12; (3, 3, 3, 3))]

✓5 2

◆

⇥[5³⇥4³⇥S(3, 9; (3, 3, 3))]+

+

✓5 3

◆

⇥[5³⇥4³⇥3³⇥S(2, 6; (3, 3))]

✓5 4

◆

⇥[5³⇥4³⇥3³⇥2³⇥S(1, 3; (3))]+

(7)

+

✓5 5

◆

⇥ [5³⇥ 4³⇥ 3³⇥ 2³⇥ 1³] = 132 888 000

Infatti si ottiene un’assegnazione inAiscegliendo chi mettere nella tendai(5³modi) e poi riempiendo le altre 4 tende (S(4, 12; (3, 3, 3, 3)) modi); un’assegnazione in Ai\ A^j^,i < j, scegliendo chi mettere nella tendai(5³modi), chi nella tendaj(4³ modi) e poi riempiendo le altre 3 tende (S(3, 9; (3, 3, 3))modi); ... e cos`ı via.

La probabilit`a cercata `e dunque

1 132 888 000/15!

3!⁵ = 1 3!⁵⇥ 132 888 000

15! ⇡ 0.9753 = 97, 53%

Soluzione es. 4.13. Indichiamo conAC,AQ,AF,AP le mani di 13 carte rispettivamente prive di cuori, quadri, fiori e picche.

(a): dobbiamo calcolare|A^C[ A^Q[ A^F[ A^P| =

= 4⇥

✓39 13

◆ ✓

4 2

◆

⇥

✓26 13

◆ +

✓4 3

◆ ✓13 13

◆

= 32 427 298 180 (b): dobbiamo calcolare

|(A^C[ A^Q[ A^F[ A^P)^c| =

✓52 13

◆

|A^C[ A^Q[ A^F[ A^P| = 602 586 261 420 (c): SianoXA,XK,XQ,XJ le mani di 13 carte prive rispettivamente di assi, re, donne, jack. Si ha

|XA^c\XK^c\XQ^c\XJ^c| = |(X^A[X^K[X^Q[X^J)^c| =

✓52 13

◆

|X^A[X^K[X^Q[X^J| =

✓52 13

◆ [4⇥

✓48 13

◆ ✓4 2

◆

⇥

✓44 13

◆ +

✓4 3

◆

⇥

✓40 13

◆ ✓4 4

◆

⇥

✓36 13

◆

] = 128 971 619 088 Soluzione es. 4.14. Indichiamo con Ai,i = 1, 2, 3, le 9 sequenze diI3 in cui com-

paiono treiconsecutivi. Dobbiamo calcolare |A^c1 \ A^c2\ A^c3|. Tenendo conto che le sequenze inA1, ad esempio, possono essere viste come 7 sequenze di{111, 2, 3}

con occupancy(1, 3, 3), si ha

|A^c1\ A^c2\ A^c3| = |(A¹[ A²[ A³)^c| = S(3, 9; (3, 3, 3)) |A¹[ A²[ A³| =

= 9!

3!³ [3⇥ S(3, 7; (1, 3, 3)) 3 ⇥ S(3, 5; (1, 1, 3)) + S(3, 3; (1, 1, 1))] = 1 314 Soluzione es. 4.15. Siano XARCO, XU V E, XLU N A, XGIN le permutazioni di (A, B, C, ..., Z) che contengono rispettivamente le sottoparole ARCO, UVE, LUNA, GIN. Dobbiamo calcolare

|XARCO^c \XU V E^c \XLU N A^c \XGIN^c | = |(X^ARCO[X^{U V E}[X^{LU N A}[X^GIN)^c| =

(8)

21! |X^ARCO[ X^{U V E}[ X^{LU N A}[ X^GIN| =

= 21! [|X^ARCO| + |X^{U V E}| + |X^{LU N A}| + |X^GIN| ...]

Ora si osservi che ARCO, UVE, GIN non hanno lettere in comune, mentre LUNA ha una lettera in comune con ciascuna delle altre. Una permutazione inXARCO `e una permutazione della18-sequenza(ARCO, B, D, E, ..., N, P, Q, S, ..., Z); pertanto XARCO ha cardinalit`a18!. Analogamente si trova

|XU V E| = 19!, |XLU N A| = 18!, |XGIN| = 19!.

L’insieme XARCO \ X^{U V E} è costituito delle permutazioni della 16-sequenza (ARCO, U V E, B, D, F, ..., N, P, Q, S, T, Z)e quindi ha cardinalità 16!, analogamente si trova |XÂRCO \ X^GIN| = 16! ê |X^{U V E} \ X^GIN| = 17!^{. L’in-} tersezione XARCO \ XLU N A è l’insieme delle permutazioni della 15-sequenza (LU N ARCO, B, D, ..., I, M, P, Q, S, T, V Z)e quindi ha cardinalità15!. Le in- tersezioniXU V E\ X^{LU N A}^,XGIN\ X^{LU N A}sono vuote. Infine l’unica intersezione tre a tre non vuota èXARCO\X^{U V E}\X^GIN, che è l’insieme delle14!permutazioni della 14-sequenza(ARCO, U V E, GIN, B, D, ..., Z). Cos`ı procedendo si ottiene

21! |X^ARCO[ X^{U V E}[ X^{LU N A}[ X^GIN| =

= 21! [(18! + 19! + 18! + 19!) (16! + 16! + 15! + 17!) + 14!].

Soluzione es. 4.16. Indichiamo con Xi, i = 1, 2, 3, le distribuzioni di palline con rispettivamente almeno 7 palline nel contenitorei. Dobbiamo calcolare|X1^c\ X2^c\ X₃^c|^:

|X1^c\ X2^c\ X3^c| = |(X1[ X2[ X3)^c| =

✓30 5

◆

|X1[ X2[ X3| =

=

✓30 5

◆ [3⇥

✓23 5

◆ 3⇥

✓16 5

◆ +

✓9 5

◆

] = 54 537

Soluzione es. 4.17. La durata della conferenza corrisponde al numero di cene fatte dallo stregone. Etichettati conI5 gli amici dello stregone, rappresentiamo conXi, i 2 I⁵, l’insieme delle cene a cui ha partecipato l’amico i. Allora la durata della conferenza `e uguale a giorni

6 +|X¹[ ... [ X⁵| = 6 + 5 ⇥ 10

✓5 2

◆

⇥ 5 +

✓5 3

◆

⇥ 3

✓5 4

◆

⇥ 2 + 1 = 27 Soluzione es. 4.18. Etichettati conI10i corsi e conI5i docenti, l’assegnazione di due corsi per il primo anno pu`o essere fatta fissando una qualunque 10-sequenza di I5

con occupancy(2, 2, 2, 2, 2). Ora decisa l’assegnazione per il primo anno dobbiamo scegliere quella per il secondo. Se indichiamo conXi,i = 1, ..., 5, le assegnazioni

(9)

dei 10 corsi per il secondo anno che vedono il professoreiricevere gli stessi corsi dell’anno precedente, per il secondo anno abbiamo |X1^c \ ... \ X5^c|assegnazioni possibili. Si ha

|X1^c\ ... \ X5^c| = |(X1[ ... [ X5)^c| = S(5, 10; (2, 2, 2, 2, 2)) |X1[ ... [ X5| =

= S(5, 10; (2, 2, 2, 2, 2)) [5⇥ S(4, 8; (2, 2, 2, 2))

✓5 2

◆

⇥ S(3, 6; (2, 2, 2))+

+

✓5 3

◆

⇥ S(2, 4; (2, 2))

✓5 4

◆

⇥ S(1, 2; (2)) + 1] = 101 644

Pertanto le assegnazioni per i due anni possono essere assegnate in S(5, 10; (2, 2, 2, 2, 2))⇥ 101 644 = 11 526 429 600^modi.

Soluzione es. 4.19. Sia Xi, 1  i  n 1, l’insieme delle permutazioni di (1, 2, ..., n) nelle quali i sia seguito da i + 1 e Xn l’insieme delle permutazioni di(1, 2, ..., n)nelle qualin`e seguito da 1. Dobbiamo calcolare|X1^c\ ...Xn^c|^{. Si ha}

|X1^c\ ... \ Xn^c| = |(X¹[ ... [ Xⁿ)^c| = n! |X¹[ ... [ Xⁿ| =

= n! [n⇥ (n 1)!

✓n 2

◆

⇥ (n 2)! + ... + ( 1)^{n 1}

✓n n

◆ ] = Dn

doveDn `e il numero degli scombussolamenti di(1, 2, ..., n).

Soluzione es. 4.20. Etichettati conI10 sia i libri che i ragazzi, le distribuzioni di libri sono tante quante le permutazioni di(1, 2, ..., 10), ovvero10!Nella seconda distribuzione devo prendere uno scombussolamento della sequenza scelta nella prima distribuzione. Pertanto in tutto le due distribuzioni possono essere fatte in

10!⇥ D¹⁰= 10!⇥ 10!(1 1 1!+ 1

2!

1

3! + ... + 1

10!) = 4 844 306 476 800 Soluzione es. 4.21. Indichiamo conXA,XBeXCgli insiemi di persone che leggono

rispettivamente i giornali A,B e C e conXl’insieme degli abitanti della citt`a.

(a): Si ha

P (A^c\ B^c\ C^c) = |A^c\ B^c\ C^c|

|X| = 1 |A [ B [ C|

|X| =

= 1 [|A|

|X| + |B|

|X|+ |C|

|X|

|A \ B|

|X|

|A \ C|

|X|

|B \ C|

|X| +|A \ B \ C|

|X| =

= 1 0.47 0.34 0.12 + 0.08 + 0.05 + 0.04 0.04 = 0.2 = 20%

(10)

(b): Dal punto precedente sappiamo che il80%della popolazione legge almeno un giornale. La probabilit`a cercata `e

P (A[B[C) P ((A\B)[(A\C)[(B\C)) = 0.8 [|(A \ B) [ (A \ C) [ (B \ C)|

|X| =

= 0.8 [|A \ B| + |A \ C| + |B \ C|

|X|

|A \ B \ C|

|X| = 0.8 0.08 0.05 0.04+0.04 = 0.67 = 67%

Soluzione es. 4.22. (a)Ogni tabella pu`o essere realizzata nelle seguenti fasi: 1) scelta di 9 posizioni ove inserire i numeri; 2) scelta dei numeri da mettere nella prima, nella seconda, ..., nella nona posizione. In tutto abbiamo un numero di scelte pari a

24 8

!

⇥ S(90, 9) = 188 490 124 624 286 522 822 400

(b)SiaA_;l’insieme delle tabelle con una riga vuota eA90 quello delle tabelle con il 90 nella prima riga.

|A;[ A⁹⁰| = |A;| + |A⁹⁰| |A;\ A⁹⁰| =

= 4⇥

✓18 9

◆

⇥ S(90, 9) + 6 ⇥

✓23 8

◆

⇥ S(89, 8) 3⇥ 6 ⇥

✓17 8

◆

⇥ S(89, 8) =

= 56 973 572 375 629 752 944 640

Soluzione es. 4.23. Etichettiamo conI13l’alfabeto. Ogni parola di 8 lettere corrisponde ad una 8-sequenza diI13. Sia Xi, i 2 I¹³, l’insieme delle parole nelle quali il simboloi`e ripetuto esattamente tre volte.

(a): dobbiamo calcolare

|X¹[ ... [ X¹³| = 13 ⇥

✓8 3

◆

⇥ 12⁵

✓13 2

◆

⇥

✓8 3

◆ ✓5 3

◆

⇥ 11²= 175 864 416.

(b): dobbiamo calcolare

| [^i<j(Xi[ X^j)| =

✓13 2

◆

⇥

✓8 3

◆ ✓5 3

◆

⇥ 11²= 5 285 280

Soluzione es. 4.24. Ogni distribuzione corrisponde ad assegnare due permutazioni della sequenza(1, 2, 3, ..., 13).

(a): vi sono13!²= 38 775 788 043 632 640 000possibili distribuzioni.

(b): Nessuna persona riceve una coppia se e solo se la seconda permutazione è uno scombussolamento della prima. La probabilità cercata è pertanto

1 13!⇥ D¹³

13!² = 1 (1 1 1!+ 1

2! ... 1

13!)⇡ 0.632 = 63.2%