SISTEMI D’EQUAZIONI ED EQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI

(1)

SISTEMI

D’EQUAZIONI ED EQUAZIONI DIFFERENZIALI

LINEARI

(2)

Argomenti della lezione Argomenti della lezione

 Equazioni e sistemi Equazioni e sistemi

d’equazioni differenziali d’equazioni differenziali

ordinarie ordinarie

 Sistemi d’equazioni Sistemi d’equazioni differenziali ordinarie differenziali ordinarie

lineari a coefficienti lineari a coefficienti

(3)

EQUAZIONI E EQUAZIONI E

SISTEMI SISTEMI

D’EQUAZIONI

DIFFERENZIALI

(4)

Mostreremo, per iniziare, che Mostreremo, per iniziare, che

un’equazione differenziale d’ordine un’equazione differenziale d’ordine nn è equivalente a un sistema è equivalente a un sistema

d’equazioni differenziali del d’equazioni differenziali del

prim’ordine di

prim’ordine di nn equazioni equazioni in in nn funzioni incognite. funzioni incognite.

Sarà così plausibile la nostra Sarà così plausibile la nostra

affermazione che ogni sistema affermazione che ogni sistema

d’equazioni differenziali d’ordine d’equazioni differenziali d’ordine

qualsiasi è equivalente a un sistema qualsiasi è equivalente a un sistema

d’equazioni del prim’ordine in un d’equazioni del prim’ordine in un

(5)

Un sistema d’equazioni differenziali Un sistema d’equazioni differenziali

di due equazioni in due funzioni di due equazioni in due funzioni

incognite d’ordine 3 è per esempio incognite d’ordine 3 è per esempio

il seguente (di forma normale:

nel seguito per semplicità ci nel seguito per semplicità ci

riferiremo a sistemi di riferiremo a sistemi di

forma normale.) forma normale.)

(6)

Un’equazione d’ordine

Un’equazione d’ordine nn, si scrive, si scrive

y

⁽ⁿ⁾

 f (x, y,  y ,K,y

^(n1)

)

ed è in generale accompagnata da ed è in generale accompagnata da

opportune condizioni iniziali o al opportune condizioni iniziali o al

contorno contorno

Mostriamo come si possa trasformare Mostriamo come si possa trasformare

l’equazione data in un sistema l’equazione data in un sistema

(7)

Facciamo le seguenti posizioni Facciamo le seguenti posizioni

y

₁

 y

y

₂

 y 

y

₃

 y 

K K K K





 



  K

(8)

Allora l’equazione d’ordine Allora l’equazione d’ordine nn

equivale al sistema del prim’ordine equivale al sistema del prim’ordine

y

₁

  y

₂

y

₂

  y

₃

y

₃

  y

₄

K K K K





 



 

(9)

In generale, un sistema di In generale, un sistema di nn

equazioni, ciascuna d’ordine

equazioni, ciascuna d’ordine mm, è , è equivalente a un sistema di

equivalente a un sistema di nn



^m^m

equazioni del prim’ordine.

Useremo la notazione

Useremo la notazione YY per per

indicare un vettore colonna avente indicare un vettore colonna avente nn componenti componenti yy₁₁, … , y, … , y_n_n. In questo. In questo

(10)

in modo simile alla notazione in modo simile alla notazione

di una sola equazione di una sola equazione

differenziale, dove differenziale, dove



Y  F(x,Y )

(1)

(11)

Y 

y

₁

y

₂

M

 

 

 

 

ee

(12)

F(x,Y ) 

f

₁

(x, y

₁

,K,y

ⁿ

) f

₂

(x, y

₁

,K,y

ⁿ

) f

_n

(x, y KKK

₁

,K,y

ⁿ

)





 



 

(13)

In particolare, se si tratta di un In particolare, se si tratta di un

sistema d’equazioni lineari sistema d’equazioni lineari



Y  A(x) Y  B(x)

(14)

B(x) 

b

₁

(x) b

₂

(x) b

_n

(x) M





 







 



(15)

ee

A(x) 

a₁₁(x) a₁₂(x) K a¹ⁿ(x) a₂₁(x) a₂₂(x) K a^{2 n}(x)

K K K K

a (x) a (x) K a (x)

















(16)

Qui i coefficienti

Qui i coefficienti bb_i_i(x)(x) e e aa_ik_ik(x)(x)

sono funzioni continue definite su sono funzioni continue definite su

un intervallo

un intervallo II (che può coincidere (che può coincidere con tutto

con tutto RR) )

Il sistema

Il sistema (1)(1) è, in generale, è, in generale, accompagnato da opportune accompagnato da opportune

condizioni iniziali; si vuole condizioni iniziali; si vuole

(17)

Y = F (x,Y ) 

(1)

con le condizioni iniziali con le condizioni iniziali

(2) Y(x

₀

)=Y

₀

Notiamo che la soluzione del Notiamo che la soluzione del

(18)

Se la funzione

F(x,Y)

^è^è

continua, allora esiste una continua, allora esiste una

soluzione del pdC. Se soluzione del pdC. Se

inoltre sono continue le inoltre sono continue le

derivate parziali delle derivate parziali delle

componenti

f

_i rispetto alle rispetto alle

y

_kallora la soluzione allora la soluzione locale è unica.

locale è unica.

(19)

Si noti che se non sono soddisfatte Si noti che se non sono soddisfatte

le condizioni sulla continuità delle le condizioni sulla continuità delle

derivate parziali, la soluzione può derivate parziali, la soluzione può

non essere unica non essere unica

Esempio Esempio

y’ = |y|

y’ = |y|^1/2^1/2

(20)

Se Se yy₀₀ è è ≠ 0≠ 0, allora la derivata , allora la derivata parziale è continua in un

parziale è continua in un intorno

intorno

di di yy₀₀. Dunque la soluzione locale. Dunque la soluzione locale è unica. Ma se

è unica. Ma se yy₀₀ = 0= 0, non c’è , non c’è

continuità in alcun intorno di 0.

In questo caso l’unicità può In questo caso l’unicità può

(21)

y(x)   x  x

⁰

 2 y

⁰

 

 



2

Se Se yy₀₀ > 0> 0, allora la soluzione è , allora la soluzione è data da

data da

(22)

Se Se yy₀₀ < 0< 0, allora la soluzione è , allora la soluzione è data da

data da

y(x)  x  x

⁰

 2 -y

⁰

2 

 





 



2

-

(23)

Ma se

Ma se yy₀₀ = 0= 0, allora c’è una , allora c’è una

soluzione identicamente nulla, soluzione identicamente nulla,

accanto alla soluzione accanto alla soluzione

y(x)  x  x

⁰

2 

  

 

2

(24)

e alla soluzione e alla soluzione

y(x)   x  x

⁰

2 

  

 

2

(25)

xx₀₀ xx yy

(26)

SISTEMI D’EQUAZIONI SISTEMI D’EQUAZIONI

DIFFERENZIALI DIFFERENZIALI

ORDINARIE LINEARI ORDINARIE LINEARI

A COEFFICIENTI A COEFFICIENTI

CONTINUI

(27)

Ci occuperemo ora della Ci occuperemo ora della

soluzione del pdC relativo soluzione del pdC relativo

al sistema al sistema

Y  A(x) Y  B(x) 

(3)

Con le condizioni iniziali Con le condizioni iniziali

(28)

Se le funzioni

Se le funzioni bb_i_i(x)(x) e e aa_ik_ik(x)(x) sono continue e definite su sono continue e definite su

un intervallo

un intervallo II (che può essere (che può essere tutto

tutto RR) allora si può dimostrare) allora si può dimostrare che la soluzione esiste, è definita che la soluzione esiste, è definita

su tutto

su tutto II ed è unica. ed è unica.

(29)

Accanto al sistema (3), detto Accanto al sistema (3), detto

completo

completo, considereremo il , considereremo il sistema

sistema omogeneoomogeneo

Y  A(x) Y 

(5)

nel quale

nel quale B(x) B(x)  0 0..

(30)

sono funzioni di classe

sono funzioni di classe C¹(I,Rⁿ).

converrà considerare l’operatore differenziale associato a (3) o a (5)

Y  A(x) Y 

(6) L(Y)=

Che a ogni funzione

Che a ogni funzione Y(x): I Y(x): I RRⁿⁿ associa

associa Y’(x) - A(x) Y’(x) - A(x)



^Y^Y; questa è ; questa è una funzione continua su

una funzione continua su II a valori a valori

(31)

Le soluzioni di (5) danno dunque il Le soluzioni di (5) danno dunque il

nucleo

nucleo di L: di L: ker(L)ker(L)..

Teorema

ker(L)  C¹(I,Rⁿ) è un sottospazio di

(32)

Si fissi un punto

Si fissi un punto xx⁰⁰ in in II e sia e sia Y(x)Y(x) una soluzione di

una soluzione di (5)(5). Allora . Allora Y(xY(x⁰⁰)) è un vettore di

è un vettore di RRⁿⁿ. Se . Se YY₁₁(x) ≠ Y(x) ≠ Y₂₂(x)(x) allora

allora YY₁₁(x(x⁰⁰) ≠ Y) ≠ Y₂₂(x(x⁰⁰) ) per l’unicitàper l’unicità della soluzione del pdC

della soluzione del pdC (5) + (4)(5) + (4). . Se poi

Se poi YY⁰⁰ è un arbitrario vettore di è un arbitrario vettore di RRⁿⁿ esiste una soluzione di esiste una soluzione di (5) + (4)(5) + (4), ,

per l’esistenza della soluzione del per l’esistenza della soluzione del

pdC corrispondente. L’applicazione pdC corrispondente. L’applicazione

(33)

definita da definita da

N Y ( ⁽ x ⁾ )  Y ⁽ x

⁰

⁾

è un isomorfismo tra

è un isomorfismo tra ker(L)ker(L) e e RRⁿⁿ. . Infatti abbiamo verificato che è Infatti abbiamo verificato che è

biiettiva; inoltre è lineare. Ma biiettiva; inoltre è lineare. Ma

spazi vettoriali

spazi vettoriali isomorfiisomorfi hanno la hanno la stessa dimensione:

stessa dimensione: dim ker(L) = ndim ker(L) = n . .

(34)

Ogni soluzione di

Ogni soluzione di (5)(5) è perciò è perciò una combinazione lineare

una combinazione lineare delle precedenti funzioni delle precedenti funzioni YY₁₁(x), Y(x), Y₂₂(x), .. , Y(x), .. , Y_n_n(x)(x)..

Si noti che, date

Si noti che, date nn soluzioni di soluzioni di (5)(5),, se esse, calcolate in un punto

se esse, calcolate in un punto xx⁰⁰,, danno vettori lin. indipendenti danno vettori lin. indipendenti di di RRⁿⁿ, allora sono l.i. in ogni altro , allora sono l.i. in ogni altro

(35)

Mostriamo ora che tutte le soluzioni Mostriamo ora che tutte le soluzioni

del sistema completo (3) sono del del sistema completo (3) sono del tipotipo

Y(x)  Z(x)  Y(x)

dove

dove Z(x)Z(x) è una soluzione del è una soluzione del sistema omogeneo e

sistema omogeneo e Y(x) Y(x) è una è una

(36)

Infatti Infatti

L(Y )  L(Z)  L(Y)  0  B(x)  B(x)

Se poi abbiamo due soluzioni del Se poi abbiamo due soluzioni del

sistema completo

sistema completo Y(x)Y(x) e e Y(x)Y(x) la loro differenza soddisfa

la loro differenza soddisfa

L(Y  Y )  L(Y )  L(Y )  B(x)  B(x)  0

cioè

cioè Y(x) - Y(x) = Z(x)Y(x) - Y(x) = Z(x) è una è una

(37)

Se Se YY₁₁(x), Y(x), Y₂₂(x), .. , Y(x), .. , Y_n_n(x)(x) sono sono

soluzioni l.i. del sistema omogeneo, soluzioni l.i. del sistema omogeneo,

si dice che formano un

si dice che formano un insiemeinsieme (o (o sistemasistema) ) fondamentalefondamentale di di

soluzioni del sistema (5).

La matrice

La matrice U(x)U(x) le cui colonne le cui colonne sono date da

sono date da YY₁₁(x), Y(x), Y₂₂(x), .. ,(x), .. , YY (x)(x) l. i., si dice una l. i., si dice una matricematrice

(38)

Evidentemente per la matrice Evidentemente per la matrice

fondamentale

fondamentale U(x)U(x) vale l’equazione vale l’equazione U’(x) - A(x)

U’(x) - A(x)



^{U(x) = 0}^{U(x) = 0}

La soluzione generale del sistema La soluzione generale del sistema

omogeneo L(Y) = 0, è una omogeneo L(Y) = 0, è una

combinazione lineare dell’insieme combinazione lineare dell’insieme

fondamentale:

(39)

Y(x) = c

Y(x) = c₁₁YY₁₁(x)+c(x)+c₂₂YY₂₂(x)+ .. +c(x)+ .. +c_n_nYY_n_n(x) =(x) =

=U(x)



(c(c₁₁, c, c₂₂, .. , c, .. , c_n_n))^T^T Il metodo della

Il metodo della variazione dellevariazione delle costanti

costanti suggerisce di cercare per suggerisce di cercare per (3) una soluzione della forma

(3) una soluzione della forma

(40)

Si trova Si trova

U’(x)



Z(x) + U(x) Z(x) + U(x)



^{Z’(x) =}^{Z’(x) =}

= A(x)



U(x) U(x)



Z(x) + B(x) Z(x) + B(x) E quindi

E quindi

( (

U’(x) - A(x) U’(x) - A(x)



^U(x)^U(x)

) ) 

^Z(x)+^Z(x)+

+ U(x)



Z’(x) = B(x) Z’(x) = B(x)

(41)

Ossia Ossia

U(x)



Z’(x) = B(x) Z’(x) = B(x) E finalmente

E finalmente

Z’(x) = U(x)

Z’(x) = U(x)^-1^-1



^B(x)^B(x)

(42)

Integrando Integrando

Z(x)  U 

^1

(t) B(t)dt

E in conclusione E in conclusione

Y(x)  U(x) U 

^1

(t) B(t)dt

(43)

Il metodo per trovare un integrale Il metodo per trovare un integrale

particolare del sistema completo particolare del sistema completo

sarà utile anche nel caso di una sarà utile anche nel caso di una

singola equazione lineare completa singola equazione lineare completa

d’ordine n.