EQUAZIONI E SISTEMI D’EQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI A COEFFICIENTI COSTANTI

(1)

EQUAZIONI E SISTEMI

D’EQUAZIONI DIFFERENZIALI

LINEARI A

COEFFICIENTI

COSTANTI

(2)

Argomenti della lezione Argomenti della lezione

 Termini noti di tipo Termini noti di tipo particolare

particolare

 Accenno ai sistemi Accenno ai sistemi

con coefficienti costanti con coefficienti costanti

 Oscillazioni forzate Oscillazioni forzate

(3)

TERMINI NOTI TERMINI NOTI

DI TIPO DI TIPO

PARTICOLARE

(4)

Se l’equazione ha coefficienti Se l’equazione ha coefficienti

costanti e il termine noto è dei costanti e il termine noto è dei

seguenti tipi seguenti tipi

a) a) b(x) = P(x), grado P(x) = pb(x) = P(x), grado P(x) = p Allora una soluzione è del tipo Allora una soluzione è del tipo

polinomio

polinomio xx^k^kQ(x)Q(x), con , con gradogrado Q(x)Q(x)

= p= p, se , se aa_n_n =…= a =…= a_n-k+1_n-k+1 = 0 = 0

(5)

Esempio Esempio

––2y’” + 2y” = x+12y’” + 2y” = x+1

Soluzione particolare Soluzione particolare

xx²²(a x + b) = a x(a x + b) = a x³³ + b x + b x²² Si trova

Si trova

a = 1/12, b =1/2 a = 1/12, b =1/2

(6)

b)b) b(x) = eb(x) = e^x^^x P(x), grado P(x) = p P(x), grado P(x) = p ee  numero reale, radice dell’numero reale, radice dell’

equazione caratteristica

equazione caratteristica di di molteplicità

molteplicità r r ((r=0 r=0 se se  non è non è radice).

radice).

Allora

Allora y(x) = e y(x) = e^x^^x x x^r^r Q(x) Q(x), con, con grado Q(x) = p = grado P(x) grado Q(x) = p = grado P(x)

(7)

y”–2y’ + y = e

y”–2y’ + y = e^x^x(x+1)(x+1) z = 1

z = 1 è radice doppia è radice doppia

dell’equazione caratteristica;

dell’equazione caratteristica; ee^x^x e e xexe^x^x sono le soluzioni l.i. sono le soluzioni l.i.

dell’omogenea. Una soluzione dell’omogenea. Una soluzione

particolare ha la forma particolare ha la forma

u(x) = x

u(x) = x²²ee^x^x(ax+b)(ax+b)

(8)

Si trova Si trova

a = 1/6, b = 1/2.

Una soluzione particolare della Una soluzione particolare della

completa è completa è

u(x) = x

u(x) = x²²ee^x^x(x/6+1/2)(x/6+1/2)

(9)

c)c) b(x) = eb(x) = e^ax^ax [P [P₁₁(x) cos(bx) + (x) cos(bx) + PP₂₂(x) sen(bx)](x) sen(bx)]

È il caso più generale del quale È il caso più generale del quale

ci occuperemo. Ha come casi ci occuperemo. Ha come casi

particolari i due casi precedenti.

Se Se p = max(grado Pp = max(grado P₁₁(x),(x), grado P

grado P₂₂(x) )(x) )e e a + i ba + i b è radice è radice di molteplicità

di molteplicità rr dell’equazione dell’equazione caratteristica, una soluzione

caratteristica, una soluzione particolare ha la forma

particolare ha la forma

(10)

u(x) = e

u(x) = e^ax^ax x x^r^r [Q [Q₁₁(x) cos(b x) +(x) cos(b x) +

+ Q+ Q₂₂(x) sen(b x)], grado Q(x) sen(b x)], grado Q₁₁(x) =(x) = grado Q

grado Q₂₂(x) = p(x) = p

Si noti che la combinazione Si noti che la combinazione QQ₁₁(x) cos(b x) +(x) cos(b x) +

+ Q+ Q₂₂(x) sen(b x)(x) sen(b x) deve sempre deve sempre

comparire anche se può mancare comparire anche se può mancare

in b(x).

(11)

y”–2y’ + y = (x+1) sen x y”–2y’ + y = (x+1) sen x z = i

z = i non è radice dell’equazionenon è radice dell’equazione caratteristica:

caratteristica: r = 0r = 0. Le soluzioni. Le soluzioni sono da ricercare nella forma

sono da ricercare nella forma u(x) = (a x + b) sen x +

u(x) = (a x + b) sen x + (c x + d) cos x,

(c x + d) cos x, concon a, b, c, d a, b, c, d dada determinare. Si trova

determinare. Si trova

(12)

a = -1/3, b = -17/9, a = -1/3, b = -17/9,

c = 2/3, d = 19/9.

u(x) = (- x/3 - 17/9) sen x + u(x) = (- x/3 - 17/9) sen x +

(2 x/3 + 19/9) cos x (2 x/3 + 19/9) cos x

Se b(t) è somma di funzioni dei Se b(t) è somma di funzioni dei

tipi precedenti, si considererà la tipi precedenti, si considererà la

somma delle corrispondenti somma delle corrispondenti

soluzioni particolari.

(13)

OSCILLAZIONI OSCILLAZIONI

FORZATE

(14)

Se un punto materiale è soggetto Se un punto materiale è soggetto ad una forza di tipo elastico ed il ad una forza di tipo elastico ed il

suo moto è frenato da una forza suo moto è frenato da una forza

d’attrito proporzionale alla velocità, d’attrito proporzionale alla velocità,

situazione che spesso si può situazione che spesso si può ipotizzare in problemi di tipo ipotizzare in problemi di tipo

meccanico, l’equazione del moto, meccanico, l’equazione del moto,

supposto un solo grado di libertà, è supposto un solo grado di libertà, è

m y” = - k y - h y’

(15)

CioèCioè

y” + (h/m) y’ + (k/m) y = 0 y” + (h/m) y’ + (k/m) y = 0 O anche

O anche

y” + 2

y” + 2  y’ + y’ + ²² y = 0 y = 0 QuiQui

  h

2m   k

e

m

e

(16)

Se Se  = 0 = 0, si ottengono oscillazioni, si ottengono oscillazioni dette “libere” descritte dalla

dette “libere” descritte dalla soluzione generale

soluzione generale y(t) = c

y(t) = c₁₁cos(cos( t) + c t) + c₂₂sen(sen( t) t) o anche, equivalentemente,

o anche, equivalentemente, y(t) = A sen(

y(t) = A sen( t+ t+)) dove

dove AA è l’ è l’ampiezzaampiezza dell’ dell’

(17)

L’andamento della soluzione è di L’andamento della soluzione è di

tipo oscillatorio, detto

tipo oscillatorio, detto motomoto armonico

armonico. La frequenza . La frequenza  è è detta la

detta la frequenza caratteristicafrequenza caratteristica dell’oscillatore

dell’oscillatore

0 2 4 t 6 8 10

0

-2 0

4

2

0

-2

-4

(18)

Se Se  ≠ 0 ≠ 0, l’equazione caratteristica, l’equazione caratteristica ha soluzioni

ha soluzioni



¹

   

²

 

²



²

   

²

 

²

Se Se  > >  si ha un moto smorzato. si ha un moto smorzato.

La soluzione è combinazione La soluzione è combinazione lineare di due esponenziali

(19)

Se Se  = =  ,, __  __ ee la soluzione non èla soluzione non è oscillatoria; si ha

oscillatoria; si ha y(t) = (c

y(t) = (c__ + c + c₂₂ t) e t) e^{- }^-^^t^t

Anche in questo caso

Anche in questo caso y(t)y(t) tende a tende a 00 per per t t  ..

(20)

Infine, se

Infine, se  < <  si hasi ha



¹

    i 



²

    i 

dove

  

²

 

²

La soluzione si può scrivere nella La soluzione si può scrivere nella

forma forma

(21)

y(t) = A e

y(t) = A e^-^-^^^t^tsen(sen( t+ t+))

Si trovano infinite oscillazioni Si trovano infinite oscillazioni

dette

dette “smorzate”“smorzate”, di frequenza , di frequenza  e di ampiezza

e di ampiezza A e A e^-^-^{ t}^^t

0 2 4 t 6 8 10

00 4 3 2 1 0 -1

(22)

Supponiamo ora che una forza Supponiamo ora che una forza

esterna sia impressa al punto esterna sia impressa al punto

materiale. L’equazione diviene materiale. L’equazione diviene

allora allora

y” + 2

y” + 2  y’ + y’ + ²² y = f(t) y = f(t)

Ci interessa in particolare il caso Ci interessa in particolare il caso che che f(t) = B cos(f(t) = B cos( t) t)

(23)

Al moto armonico libero Al moto armonico libero

di frequenza

di frequenza  si sovrappone si sovrappone

un’un’oscillazioneoscillazione forzataforzata di frequenza di frequenza

 se se  ≠ ≠ ;; se se  = =  si assiste al si assiste al fenomeno della

fenomeno della “risonanza”“risonanza” . .

L’ampiezza dell’oscillazione forzata L’ampiezza dell’oscillazione forzata

cresce nel tempo come

cresce nel tempo come B t/(2 B t/(2 )). . L’ampiezza tende a

L’ampiezza tende a  per per t t  ..

(24)

Se Se  = 0 = 0, la soluzione è del tipo, la soluzione è del tipo y(t) = z(t) + u(t)

y(t) = z(t) + u(t)

con con z(t) = A sen(z(t) = A sen( t+ t+), ),

soluzione dell’omogenea; una soluzione dell’omogenea; una

soluzione particolare della soluzione particolare della

completa è data da completa è data da

(25)

u(t)  B



²

 

²

^cos(  ^t)

se se  ≠ ≠ .. Se invece

Se invece  = = , si trova, si trova

u(t)  B

2  ^{t sen(}  ^t)

(26)

0 2 4 t 6 8 10 00

6 4 2 0 -2 -4 -6

Oscillazioni forzate Oscillazioni forzate

y(t) = 5 sen(t+

y(t) = 5 sen(t+/10)+4 cos(3 t)/10)+4 cos(3 t)

(27)

Risonanza Risonanza

0 2 4 t 6 8 10

00 150

100 50

0

-50 -100

-150

y(t) = 5 sen(t+

y(t) = 5 sen(t+/10)- 16 t cos(4 t)/10)- 16 t cos(4 t)

(28)

Se Se  ≠ 0 ≠ 0, una soluzione particolare, una soluzione particolare della completa si trova con semplici della completa si trova con semplici

calcoli calcoli

u(t)  B

(²   ²⁾²  4 ² ² ^sen( t ⁾

dove dove

(29)

sen   

²

 

²

( 

²

 

²

⁾

²

 4 

^2 ²

cos  _ ² 

( 

²

 

²

⁾

²

 4 

²



²

(30)

B

(²   ²⁾²  4 ² ²

L’ampiezza dell’oscillazione L’ampiezza dell’oscillazione

forzata è forzata è

Se Se  < < // l’ampiezza ha un l’ampiezza ha un massimo per

massimo per   = ( = (^² -2  ²))^1/2^1/2 Anche in questo caso c’è Anche in questo caso c’è

(31)

0 1 t2 3 4 0

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

Andamento dell’ampiezza, per Andamento dell’ampiezza, per

 = 2, = 2,  = 1/2 = 1/2

(32)

Gli effetti della risonanza Gli effetti della risonanza

possono essere catastrofici possono essere catastrofici

Il crollo del ponte di

Il crollo del ponte di TacomaTacoma (Wa - USA) 7 novembre 1940 (Wa - USA) 7 novembre 1940

QuickTime™ and a Cinepak decompressor are needed to see this picture.

(33)

ACCENNO AI SISTEMI ACCENNO AI SISTEMI

CON COEFFICIENTI CON COEFFICIENTI

COSTANTI

(34)

Un sistema completo con Un sistema completo con

coefficienti costanti si scrive coefficienti costanti si scrive

Y’ = A Y + B(x) Y’ = A Y + B(x)

Il sistema omogeneo è Il sistema omogeneo è

Y’ = A Y Y’ = A Y

A A è una matrice con coefficientiè una matrice con coefficienti

(35)

Ricordando che lo sviluppo in Ricordando che lo sviluppo in

serie per l’esponenziale è serie per l’esponenziale è

convergente per ogni x reale convergente per ogni x reale

ee^x^x = 1 + x + x = 1 + x + x²²/2! + .. + x/2! + .. + xⁿⁿ/n! +../n! +..

Si può definire Si può definire

ee^A^A = 1 + A + A = 1 + A + A²²/2! + .. + A/2! + .. + Aⁿⁿ/n! +../n! +..

(36)

La matrice

La matrice ee^A^A si può pensare si può pensare definita componente per

definita componente per

componente a partire dalla formula componente a partire dalla formula

precedente precedente

Una matrice fondamentale che Una matrice fondamentale che

risolve il sistema omogeneo è risolve il sistema omogeneo è

U(x) =

U(x) = ee^xA^xA

Che sia fondamentale segue dal Che sia fondamentale segue dal

(37)

In generale

In generale U(x)U(x) è lunga da è lunga da

calcolare, ma in alcuni casi speciali calcolare, ma in alcuni casi speciali

i calcoli si semplificano.

Tuttavia ci fermiamo qui..

EQUAZIONI E SISTEMI D’EQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI A COEFFICIENTI COSTANTI