Universit` a degli Studi di Roma ”Tor Vergata”

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Esercitazioni Calcolo II - Docente: Prof. Livio Triolo Tutorato numero 3 (23 Ottobre 2013) Continuit`a, derivabilit`a, differenziabilit`a di funzioni in pi`u variabili Esercitatore: dott.Vincenzo Morinelli (morinell@mat.uniroma2.it) 1. Studiare la continuit`a delle seguenti funzioni:

(a) lim

(x,y)→(0,0)

x²y² x⁴+ y² (b) lim

(x,y)→(0,0)

x⁴ (x²+ y²)² (c) lim

k(x,y)k→∞

sin(x + y) x⁴+ y²

(d) lim

(x,y,z)→(0,0,0)

sin(xyz) x²+ y⁴+ z²

(e) lim

(x,y,z)→(0,0,0)

xyz px²+ y²+ z² (f) lim

(x,y)→(0,0)

x²+p

x²+ y²cos (x − y) px²+ y²

2. Studiare l’esistenza di derivate parziali, direzionali e la differenziabilit`a delle seguenti funzioni:

(a) f (x, y) =

( xy²

x²+y⁴ se (x, y) 6= (0, 0) 0 se (x, y) = (0, 0)

(b) f (x, y) =

( _log(^1+x2y2)

x⁸+y² se (x, y) 6= (0, 0) 0 se (x, y) = (0, 0) (c) f (x, y) =

( e^{x2 +y2}−1

x²+y² se (x, y) 6= (0, 0) 1 se (x, y) = (0, 0) (d) f (x, y) =

 x+y

x²+y² se (x, y) 6= (0, 0) 0 se (x, y) = (0, 0) (e) f (x, y, z) =

( x²yz²

x⁴+y⁴+z⁴ se (x, y, z) 6= (0, 0, 0) 0 se (x, y, z) = (0, 0, 0) 3. Calcolare il gradiente delle seguenti funzioni

(a) f (x, y) = arctan(x) + e^−y− cos(xy)

(b) g(x, y, z) = log(1 + xyz) − arctan(xy) + e^(x2+y2)z− y Calcolare la matrice jacobiana di

(c) h(x, y) = _y

1+x²,_1+y^x2



4. Mostrare che la seguente funzione `e differenziabile ma non `e C¹

f (x, y) =

( x²y²

x²+y⁴ (x, y) 6= (0, 0) 0 (x, y) = (0, 0)

5. Considerare la funzione di 3 variabili V_±(x, y, z) = 1

px²+ y²+ z² ± 1

px²+ (y − 1)²+ z². (a) Calcolare il gradiente di V_±

(b) Studiare il comportamento asintotico per k(x, y, z)k → +∞ di V+ e V₋

(c) Studiare qualitativamente le superfici di livello di V+ e V₋.