Sistemi di Controllo - Controlli Automatici (Parte B)

Cognome: Nome: N. Matr.:

!!!!!!

! Sistemi di Controllo ! Controlli Automatici ! Ho superato la Parte A in data (mese/anno)

! Intendo svolgere la tesina con Matlab/Simulink

Sistemi di Controllo - Controlli Automatici (Parte B)

Ingegneria Meccanica e Ingegneria del Veicolo

Compito del 22 giugno 2017 - Quiz

Per ciascuno dei seguenti quesiti, segnare con una crocetta le risposte che si ritengono corrette. Alcuni quesiti possono avere pi`u risposte corrette.

I quiz si ritengono superati se vengono individuate almeno met`a delle risposte esatte (punti 5.5 su 11), diversa- mente il compito verr`a ritenuto insufficiente a prescindere dal risultato della seconda prova.

1. Dato un sistema lineare descritto da una funzione di trasferimento stabile G(s), la riduzione del tempo di assestamento Ta pu`o essere ottenuta:

! riducendone la banda passante mediante controllo in retroazione

! riducendone il margine di fase Mf con un controllo in retroazione

! allargandone la banda passante mediante controllo in catena diretta 2. Il margine di ampiezza Ma di una funzione di anello L(s):

! `e una misura di robustezza della stabilit`a rispetto ad incertezze sul guadagno d’anello

! pu`o essere messo direttamente (anche se in maniera approssimata) in relazione con il tempo di assestamento del sistema retroazionato

! `e l’inverso del guadagno d’anello alla pulsazione per cui arg(L(jω)) = −π

3. Assumendo il classico andamento passa-basso della funzione di anello L(s), per ridurre di un fattore 100 l’influenza sull’uscita di un disturbo sull’attuazione d(t) = 2 sin(0.03t) + 5 sin(0.5t) `e necessario che:

! il guadagno di anello alla pulsazione 0.03 rad/s abbia modulo maggiore di 40dB

! il guadagno di anello alla pulsazione 0.5 rad/s abbia modulo maggiore di 40dB

! il guadagno di anello alla pulsazione 0.03 rad/s abbia modulo minore di −40dB

! il guadagno di anello alla pulsazione 0.05 rad/s abbia modulo minore di −40dB

4. In un sistema in retroazione unitaria, per avere errore a regime nullo a fronte di un ingresso a rampa, `e necessario che

! qualora l’impianto sia di tipo 0, il controllore abbia almeno un polo nell’origine

! qualora l’impianto sia di tipo 1, il controllore abbia almeno un polo nell’origine

! qualora l’impianto sia di tipo 0, il controllore abbia almeno due poli nell’origine

! nella funzione d’anello sia presente almeno un polo nell’origine 5. Una rete ritardatrice presenta le seguenti propriet`a:

! migliora il margine di fase nell’intorno delle frequenze a cui agisce

! riduce il guadagno alle alte frequenze e peggiora il margine di fase nell’intorno delle frequenze a cui agisce

! diminuisce la banda del sistema

! aumenta la banda del sistema

6. La compensazione in avanti del riferimento:

! pu`o essere fatta solo se l’impianto controllato `e stabile e a fase minima

! pu`o essere fatta solo se l’impianto controllato ha grado relativo nullo

! nel caso in cui la funzione di trasferimento dell’impianto non presenti zeri `e data da una semplice combinazione lineare dell’ingresso e delle sue derivate

! se l’impianto controllato ha un polo nell’origine d`a luogo a un’azione di controllo infinita

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Compito del 22 giugno 2017 - Quiz

Per ciascuno dei seguenti quesiti, segnare con una crocetta le risposte che si ritengono corrette. Alcuni quesiti possono avere pi`u risposte corrette.

I quiz si ritengono superati se vengono individuate almeno met`a delle risposte esatte (punti 5.5 su 11), diversa- mente il compito verr`a ritenuto insufficiente a prescindere dal risultato della seconda prova.

1. Dato un sistema lineare descritto da una funzione di trasferimento stabile G(s), la riduzione del tempo di assestamento Ta pu`o essere ottenuta:

! riducendone la banda passante mediante controllo in retroazione

! riducendone il margine di fase Mf con un controllo in retroazione

! allargandone la banda passante mediante controllo in catena diretta 2. Il margine di ampiezza Ma di una funzione di anello L(s):

! `e una misura di robustezza della stabilit`a rispetto ad incertezze sul guadagno d’anello

! pu`o essere messo direttamente (anche se in maniera approssimata) in relazione con il tempo di assestamento del sistema retroazionato

! `e l’inverso del guadagno d’anello alla pulsazione per cui arg(L(jω)) = −π

3. Assumendo il classico andamento passa-basso della funzione di anello L(s), per ridurre di un fattore 100 l’influenza sull’uscita di un disturbo sull’attuazione d(t) = 2 sin(0.03t) + 5 sin(0.5t) `e necessario che:

! il guadagno di anello alla pulsazione 0.03 rad/s abbia modulo maggiore di 40dB

! il guadagno di anello alla pulsazione 0.5 rad/s abbia modulo maggiore di 40dB

! il guadagno di anello alla pulsazione 0.03 rad/s abbia modulo minore di −40dB

! il guadagno di anello alla pulsazione 0.05 rad/s abbia modulo minore di −40dB

4. In un sistema in retroazione unitaria, per avere errore a regime nullo a fronte di un ingresso a rampa, `e necessario che

! qualora l’impianto sia di tipo 0, il controllore abbia almeno un polo nell’origine

! qualora l’impianto sia di tipo 1, il controllore abbia almeno un polo nell’origine

! qualora l’impianto sia di tipo 0, il controllore abbia almeno due poli nell’origine

! nella funzione d’anello sia presente almeno un polo nell’origine 5. Una rete ritardatrice presenta le seguenti propriet`a:

! migliora il margine di fase nell’intorno delle frequenze a cui agisce

! riduce il guadagno alle alte frequenze e peggiora il margine di fase nell’intorno delle frequenze a cui agisce

! diminuisce la banda del sistema

! aumenta la banda del sistema

6. La compensazione in avanti del riferimento:

! pu`o essere fatta solo se l’impianto controllato `e stabile e a fase minima

! pu`o essere fatta solo se l’impianto controllato ha grado relativo nullo

! nel caso in cui la funzione di trasferimento dell’impianto non presenti zeri `e data da una semplice combinazione lineare dell’ingresso e delle sue derivate

! se l’impianto controllato ha un polo nell’origine d`a luogo a un’azione di controllo infinita

Tat

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Compito del 22 giugno 2017 - Quiz

Per ciascuno dei seguenti quesiti, segnare con una crocetta le risposte che si ritengono corrette. Alcuni quesiti possono avere pi`u risposte corrette.

I quiz si ritengono superati se vengono individuate almeno met`a delle risposte esatte (punti 5.5 su 11), diversa- mente il compito verr`a ritenuto insufficiente a prescindere dal risultato della seconda prova.

1. Dato un sistema lineare descritto da una funzione di trasferimento stabile G(s), la riduzione del tempo di assestamento Ta pu`o essere ottenuta:

! riducendone la banda passante mediante controllo in retroazione

! riducendone il margine di fase Mf con un controllo in retroazione

! allargandone la banda passante mediante controllo in catena diretta 2. Il margine di ampiezza Ma di una funzione di anello L(s):

! `e una misura di robustezza della stabilit`a rispetto ad incertezze sul guadagno d’anello

! pu`o essere messo direttamente (anche se in maniera approssimata) in relazione con il tempo di assestamento del sistema retroazionato

! `e l’inverso del guadagno d’anello alla pulsazione per cui arg(L(jω)) = −π

3. Assumendo il classico andamento passa-basso della funzione di anello L(s), per ridurre di un fattore 100 l’influenza sull’uscita di un disturbo sull’attuazione d(t) = 2 sin(0.03t) + 5 sin(0.5t) `e necessario che:

! il guadagno di anello alla pulsazione 0.03 rad/s abbia modulo maggiore di 40dB

! il guadagno di anello alla pulsazione 0.5 rad/s abbia modulo maggiore di 40dB

! il guadagno di anello alla pulsazione 0.03 rad/s abbia modulo minore di −40dB

! il guadagno di anello alla pulsazione 0.05 rad/s abbia modulo minore di −40dB

4. In un sistema in retroazione unitaria, per avere errore a regime nullo a fronte di un ingresso a rampa, `e necessario che

! qualora l’impianto sia di tipo 0, il controllore abbia almeno un polo nell’origine

! qualora l’impianto sia di tipo 1, il controllore abbia almeno un polo nell’origine

! qualora l’impianto sia di tipo 0, il controllore abbia almeno due poli nell’origine

! nella funzione d’anello sia presente almeno un polo nell’origine 5. Una rete ritardatrice presenta le seguenti propriet`a:

! migliora il margine di fase nell’intorno delle frequenze a cui agisce

! riduce il guadagno alle alte frequenze e peggiora il margine di fase nell’intorno delle frequenze a cui agisce

! diminuisce la banda del sistema

! aumenta la banda del sistema

6. La compensazione in avanti del riferimento:

! pu`o essere fatta solo se l’impianto controllato `e stabile e a fase minima

! pu`o essere fatta solo se l’impianto controllato ha grado relativo nullo

! nel caso in cui la funzione di trasferimento dell’impianto non presenti zeri `e data da una semplice combinazione lineare dell’ingresso e delle sue derivate

! se l’impianto controllato ha un polo nell’origine d`a luogo a un’azione di controllo infinita

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7. In un controllore PID, l’azione integrale:

! aumenta la banda passante

! riduce il tempo di assestamento

! aumenta il guadagno a basse frequenze

! aumenta il guadagno ad alte frequenze

8. L’operazione di campionamento di un segnale tempo-continuo a banda limitata x(t) (con pulsazione massima ωm) effettuata con periodo Ts:

! d`a luogo a un segnale tempo-discreto xk= x(kTs) a partire dal quale non `e pi`u possibile ricostruire x(t)

! d`a luogo a un segnale tempo-discreto xk = x(kTs) da cui `e possibile ricostruire esattamente x(t) se Ts≤ _ω^π_m

! d`a luogo a un segnale tempo-discreto xk = x(kTs) da cui `e possibile ricostruire esattamente x(t) se Ts≤ _ω^2π

m

9. Nel caso di un sistema di controllo digitale, i disturbi di misura sovrapposti al segnale retroazionato:

! sono particolarmente problematici a causa del fenomeno dell’aliasing

! possono essere ridotti a piacere agendo sulla funzione di sensitivit`a complementare alle alte frequenze

! devono essere filtrati mediante l’adozione di un filtro opportunamente progettato a monte dell’ope- razione di campionamento

! devono sempre essere filtrati mediante l’adozione di un filtro digitale opportunamente progettato a valle del campionatore

10. A parit`a di vincoli sulla massima velocit`a e massima accelerazione:

! una traiettoria trapezoidale in velocit`a tra due punti avr`a durata certamente inferiore a una traiettoria cicloidale tra gli stessi

! una traiettoria trapezoidale in velocit`a tra due punti avr`a durata certamente superiore a una traiet- toria cicloidale tra gli stessi

! il grado di continuit`a della traiettoria trapezoidale sar`

!

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Compito del 22 giugno 2017 - Problemi

Rispondere in maniera analitica ai seguenti quesiti. I problemi e le domande a risposta aperta si ritengono superati se vengono conseguiti almeno met`a dei punti totali (11 su 22), diversamente il compito verr`a ritenuto insufficiente a prescindere dal risultato della prima prova.

1. Descrivere la struttura di un sistema di controllo digitale in retroazione: quali componenti sono presenti rispetto al caso tempo-continuo e quali effetti producono? Come `e possibile ovviare ai problemi che questi introducono?

2. Dato l’impianto G(s) = 15 (s + 6)

s(s + 30) Si vuole realizzare un regolatore in retroazione che consenta l’otteni- mento delle seguenti specifiche statiche e dinamiche:

• errore a regime nullo per ingresso di riferimento a rampa;

• massimo sorpasso percentuale S% ≤ 5%;

• tempo di assestamento Ta ≤ 0.2s;

• attenuazione di almeno 10 volte di un disturbo di misura n(t) a pulsazione 100 rad/s.

Si richiede pertanto di svolgere i seguenti punti.

a) Progettare il regolatore R(s) di complessit`a minima che soddisfi (quasi) tutte le specifiche indicate in alto, tenendo in considerazione che al successivo punto c) `e richiesta la progettazione di un prefiltro.

b) Disegnare (nello schema fornito) il diagramma di Bode asintotico delle ampiezze della funzione di anello L(s) = R(s)G(s) e sovrapporre a questo quello della funzione di sensitivit`a complementare F (s).

c) Progettare il prefiltro Rpf(s) che consenta il soddisfacimento di tutte le specifiche inizialmente richieste. Disegnare lo schema di controllo che includa controllo in retoazione e prefiltro.

d) In un nuovo schema, riportare il diagramma approssimato della funzione di sensitivit`a complementare F (s) (tracciato al punto b)) e, dopo aver tracciato anche il diagramma di Bode asintotico delle ampiezze di Rpf(s), riportare il diagramma della nuova funzione di trasferimento F^!(s) che lega ingresso e uscita e tiene in considerazione il prefiltro.

e) Volendo discretizzare sia il regolatore R(s) che prefiltro Rpf(s) scegliere il tempo di campionamento pi`u idoneo tenendo in considerazione lo spettro dei segnali in gioco, incluso il disturbo di misura n(t).

Discretizzare R(s) e Rpf(s) con il metodo di Tustin.

f) Scrivere le equazioni alle differenze corrispondenti ai due sistemi discretizzati al punto precedente R(z) =U (z)

E(z) e Rpf(z) = Y (z) Q(z).

g) Determinare quale tra la traiettoria cicloidale, la traiettoria armonica e la traiettoria polinomiale di ordine 3 richiede la durata inferiore per passare da q0 = 1.2 m a q1 = 2.6 m considerando come vincoli vmax= 3 m/s e amax= 8 m/s².

@ ^{Tipo 2}

Ridere

7-

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!!!!!!

Diagrammi di Bode delle ampiezze di L(s) e F (s)

10⁻¹ 10⁰ 10¹ 10² 10³

−80

−60

−40

−20 0 20 40 60 80 100

Modulo M [db]

Pulsazione ω [rad/s]

Diagrammi di Bode delle ampiezze di F (s), Rpf(s) e F^!(s)

10⁻¹ 10⁰ 10¹ 10² 10³

−80

−60

−40

−20 0 20 40

Modulo M [db]

Pulsazione ω [rad/s]

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Compito del 22 giugno 2017 - Quiz

Per ciascuno dei seguenti quesiti, segnare con una crocetta le risposte che si ritengono corrette. Alcuni quesiti possono avere pi`u risposte corrette.

I quiz si ritengono superati se vengono individuate almeno met`a delle risposte esatte (punti 5.5 su 11), diversa- mente il compito verr`a ritenuto insufficiente a prescindere dal risultato della seconda prova.

1. Dato un sistema lineare descritto da una funzione di trasferimento stabile G(s), la riduzione del tempo di assestamento Ta pu`o essere ottenuta:

! riducendone la banda passante mediante controllo in retroazione

! riducendone il margine di fase Mf con un controllo in retroazione

! allargandone la banda passante mediante controllo in catena diretta 2. Il margine di ampiezza Ma di una funzione di anello L(s):

! `e una misura di robustezza della stabilit`a rispetto ad incertezze sul guadagno d’anello

! pu`o essere messo direttamente (anche se in maniera approssimata) in relazione con il tempo di assestamento del sistema retroazionato

! `e l’inverso del guadagno d’anello alla pulsazione per cui arg(L(jω)) = −π

3. Assumendo il classico andamento passa-basso della funzione di anello L(s), per ridurre di un fattore 100 l’influenza sull’uscita di un disturbo sull’attuazione d(t) = 2 sin(0.03t) + 5 sin(0.5t) `e necessario che:

! il guadagno di anello alla pulsazione 0.03 rad/s abbia modulo maggiore di 40dB

! il guadagno di anello alla pulsazione 0.5 rad/s abbia modulo maggiore di 40dB

! il guadagno di anello alla pulsazione 0.03 rad/s abbia modulo minore di −40dB

! il guadagno di anello alla pulsazione 0.05 rad/s abbia modulo minore di −40dB

4. In un sistema in retroazione unitaria, per avere errore a regime nullo a fronte di un ingresso a rampa, `e necessario che

! qualora l’impianto sia di tipo 0, il controllore abbia almeno un polo nell’origine

! qualora l’impianto sia di tipo 1, il controllore abbia almeno un polo nell’origine

! qualora l’impianto sia di tipo 0, il controllore abbia almeno due poli nell’origine

! nella funzione d’anello sia presente almeno un polo nell’origine 5. Una rete ritardatrice presenta le seguenti propriet`a:

! migliora il margine di fase nell’intorno delle frequenze a cui agisce

! riduce il guadagno alle alte frequenze e peggiora il margine di fase nell’intorno delle frequenze a cui agisce

! diminuisce la banda del sistema

! aumenta la banda del sistema

6. La compensazione in avanti del riferimento:

! pu`o essere fatta solo se l’impianto controllato `e stabile e a fase minima

! pu`o essere fatta solo se l’impianto controllato ha grado relativo nullo

! nel caso in cui la funzione di trasferimento dell’impianto non presenti zeri `e data da una semplice combinazione lineare dell’ingresso e delle sue derivate

! se l’impianto controllato ha un polo nell’origine d`a luogo a un’azione di controllo infinita

Lmmagino

7. In un controllore PID, l’azione integrale:

! aumenta la banda passante

! riduce il tempo di assestamento

! aumenta il guadagno a basse frequenze

! aumenta il guadagno ad alte frequenze

8. L’operazione di campionamento di un segnale tempo-continuo a banda limitata x(t) (con pulsazione massima ωm) effettuata con periodo Ts:

! d`a luogo a un segnale tempo-discreto xk= x(kTs) a partire dal quale non `e pi`u possibile ricostruire x(t)

! d`a luogo a un segnale tempo-discreto xk = x(kTs) da cui `e possibile ricostruire esattamente x(t) se Ts≤ _ω^π_m

! d`a luogo a un segnale tempo-discreto xk = x(kTs) da cui `e possibile ricostruire esattamente x(t) se Ts≤ _ω^2π

m

9. Nel caso di un sistema di controllo digitale, i disturbi di misura sovrapposti al segnale retroazionato:

! sono particolarmente problematici a causa del fenomeno dell’aliasing

! possono essere ridotti a piacere agendo sulla funzione di sensitivit`a complementare alle alte frequenze

! devono essere filtrati mediante l’adozione di un filtro opportunamente progettato a monte dell’ope- razione di campionamento

! devono sempre essere filtrati mediante l’adozione di un filtro digitale opportunamente progettato a valle del campionatore

10. A parit`a di vincoli sulla massima velocit`a e massima accelerazione:

! una traiettoria trapezoidale in velocit`a tra due punti avr`a durata certamente inferiore a una traiettoria cicloidale tra gli stessi

! una traiettoria trapezoidale in velocit`a tra due punti avr`a durata certamente superiore a una traiet- toria cicloidale tra gli stessi

! il grado di continuit`a della traiettoria trapezoidale sar`a inferiore a quello della traiettoria cicloidale

Cognome: Nome: N. Matr.:

!!!!!!

! Sistemi di Controllo ! Controlli Automatici ! Ho superato la Parte A in data (mese/anno)

! Intendo svolgere la tesina con Matlab/Simulink

Sistemi di Controllo - Controlli Automatici (Parte B)

Ingegneria Meccanica e Ingegneria del Veicolo

Compito del 22 giugno 2017 - Problemi

Rispondere in maniera analitica ai seguenti quesiti. I problemi e le domande a risposta aperta si ritengono superati se vengono conseguiti almeno met`a dei punti totali (11 su 22), diversamente il compito verr`a ritenuto insufficiente a prescindere dal risultato della prima prova.

1. Descrivere la struttura di un sistema di controllo digitale in retroazione: quali componenti sono presenti rispetto al caso tempo-continuo e quali effetti producono? Come `e possibile ovviare ai problemi che questi introducono?

2. Dato l’impianto G(s) = 15 (s + 6)

s(s + 30) Si vuole realizzare un regolatore in retroazione che consenta l’otteni- mento delle seguenti specifiche statiche e dinamiche:

• errore a regime nullo per ingresso di riferimento a rampa;

• massimo sorpasso percentuale S% ≤ 5%;

• tempo di assestamento Ta ≤ 0.2s;

• attenuazione di almeno 10 volte di un disturbo di misura n(t) a pulsazione 100 rad/s.

Si richiede pertanto di svolgere i seguenti punti.

a) Progettare il regolatore R(s) di complessit`a minima che soddisfi (quasi) tutte le specifiche indicate in alto, tenendo in considerazione che al successivo punto c) `e richiesta la progettazione di un prefiltro.

SOLUZIONE:

Dalle specifiche richieste discendono i seguenti vincoli frequenziali:

(a) errore a regime nullo per ingresso di riferimento a rampa → polo nell’origine del regolatore (funzione di anello di tipo 2)

(b) S% ≤ 5% → δ ≥ 0.7 → Mf ≥ 70^o; si assume M_f^#= 70^o (c) Ta≤ 0.2s → _δω³

n =_0.7·ω³

c ≤ 0.2 → ωc ≥_0.7·0.2³ = 21.4286 rad/s

(d) attenuazione dei disturbi n → assumendo un andamento passa-basso della funzione di anello, (in maniera conservativa) si pu`o assumere ωc≤ 100/10 = 10 rad/s;

Dal momento che le specifiche (c) e (d) sono chiaramente incompatibili si assumer`a il valore ω_c^#= 10 rad/s per garantire l’attenuazione del rumore di misura, demandando al successivo prefiltro il soddisfacimento della specifica sul tempo di assestamento.

Poich`e il regolatore deve avere un polo nell’origine si ipotizza l’impiego di un regolatore PI, RPI(s) = µ<sup>τzs+1</sup><sub>s</sub> , che tra quelli con un polo nell’origine `e il pi`u semplice. Per soddisfare le altre specifiche occorre imporre al sistema esteso

Ge(s) = G(s)

s = 15 (s + 6) s²(s + 30)

il margine di fase M_f^#= 70^o e la pulsazione di incrocio ω^#_c = 10rad/s scegliendo opportunamente lo zero e il guadagno del regolatore PI. Dopo aver calcolato |Ge(j10)| = 0.0553 e arg{Ge(j10)} = −139.3987 si evince ϕ^#= 29.3987^o= 0.5131rad da cui

τz= tan ϕ^#

ω^# = 0.0563 e

µ = 1

|Ge(j10)| ·"1 + (τzω_c^#)² = 15.7496.

L’espressione del regolatore PI in grado di soddisfare tutte le specifiche risulta pertanto RPI(s) = 15.74960.0563s + 1

s .

10

-

÷ e

|

-

b) Disegnare (nello schema fornito) il diagramma di Bode asintotico delle ampiezze della funzione di anello L(s) = R(s)G(s) e sovrapporre a questo quello della funzione di sensitivit`a complementare F (s).

SOLUZIONE:

Vedere diagramma in fondo. I diagrammi sono plotatti con Matlab e potrebbero differire anche sensibil- mente (sopratutto nell’intorno della pulsazione di attraversamento) da quelli tracciati a mano.

c) Progettare il prefiltro Rpf(s) che consenta il soddisfacimento di tutte le specifiche inizialmente richieste. Disegnare lo schema di controllo che includa controllo in retoazione e prefiltro.

SOLUZIONE:

Il prefiltro ha lo scopo di rendere il sistema retroazionato pi`u veloce, allargandone la banda a partire dall’attuale di 10 rad/s fino a ottenere una pulsazione di taglio compatibile con Ta = 0.2s. Visto che i poli dominanti della F (s) sono caratterizzati da δ = 0.7 e ωn= 10 rad/s, mentre si vuole imporre quelli desiderati avranno ancora δ = 0.7 ma ωn ≥ 21.4286 rad/s (si assume per semplicit`a ωn = 22 rad/s), il prefiltro, passa-alto del secondo ordine, avr`a la forma

Rpf(s) = s²

10² +2 · 0.7s 10 + 1 s²

22² +2 · 0.7s 22 + 1

.

d) In un nuovo schema, riportare il diagramma approssimato della funzione di sensitivit`a complementare F (s) (tracciato al punto b)) e, dopo aver tracciato anche il diagramma di Bode asintotico delle ampiezze di Rpf(s), riportare il diagramma della nuova funzione di trasferimento F^!(s) che lega ingresso e uscita e tiene in considerazione il prefiltro.

SOLUZIONE:

Vedere diagramma in fondo. Il diagramma `e molto diverso da quello tracciato a mano poich`e le funzioni F (s) e F^!(s) sono quelle reali (e non quelle dedotte per via grafica) calcolate con Matlab.

e) Volendo discretizzare sia il regolatore R(s) che prefiltro Rpf(s) scegliere il tempo di campionamento pi`u idoneo tenendo in considerazione lo spettro dei segnali in gioco, incluso il disturbo di misura n(t).

Discretizzare R(s) e Rpf(s) con il metodo di Tustin.

SOLUZIONE:

Il tempo di campionamento pu`o essere scelto assumendo una pulsazione di campionamento pari a 10 volte la massima pulsazione dei segnali in gioco che in questo caso risulta pari a ωmax= 22rad/s (larghezza di banda della funzione ingresso-uscita con prefiltro). Pertanto

ωs= 10ωmax= 220 rad/s ⇒ T =2π ωs

= 0.0286 s.

Bisogna anche considerare la presenza del disturbo di misura n(t), che agisce a una frequenza bene nota.

In questo caso per evitare fenomeni di aliasing occorre che ωs

2 ≥ 100 rad/s ⇒ ωs≥ 200 rad/s ⇒ T ≤ 2π

200 = 0.0314 rad/s.

Il periodo di campionamento T = 0.02 s soddisfa tutte le specifiche.

Sostituendo s = 2 T

1 − z⁻¹

1 + z⁻¹ i corrispondenti sistemi discretizzati risultano

R(s) = 15.74960.0563s + 1

s ⇒ R(z) =1.044 − 0.7292z⁻¹

1 − z⁻¹ =1.044z − 0.7292 z − 1

Rpf(s) = s²

10² +2 · 0.7s 10 + 1 s²

22² +2 · 0.7s 22 + 1

⇒ Rpf(z) = 4.104 − 7.065z⁻¹+ 3.104z⁻²

1 − 1.403z⁻¹+ 0.5459z⁻² =4.104z²− 7.065z + 3.104 z²− 1.403z + 0.5459

f) Scrivere le equazioni alle differenze corrispondenti ai due sistemi discretizzati al punto precedente R(z) =U (z)

E(z) e Rpf(z) = Y (z) Q(z). SOLUZIONE:

Interpretando z⁻¹come l’operatore ritardo unitario segue immediatamente che le equazioni alle differenze corrispondenti a R(z) e Rpf(z) sono:

R(z) =1.044 − 0.7292z⁻¹

1 − z⁻¹ =U (z)

E(z) ⇒ uk= u_k−1+ 1.044ek− 0.7292e_k−1

Rpf(z) = 4.104 − 7.065z⁻¹+ 3.104z⁻²

1 − 1.403z⁻¹+ 0.5459z⁻² =Y (z) Q(z)

⇓

yk = 1.403y_k−1− 0.5459y_k−2+ 4.104qk− 7.065q_k−1+ 3.104q_k−2

g) Determinare quale tra la traiettoria cicloidale, la traiettoria armonica e la traiettoria polinomiale di ordine 3 richiede la durata inferiore per passare da q0 = 1.2 m a q1 = 2.6 m considerando come vincoli vmax= 3 m/s e amax= 8 m/s².

SOLUZIONE:

La traiettoria che si sta cercando `e definita per uno spostamento h = q1− q0= 1.4 m. Facendo i calcoli risulta che i vincoli su velocit`a e accelerazione comportano le seguenti durate

– Cicloidale

Tv ≥ 2h

v_max = 0.9333 s Ta ≥# 2πh

a_max = 1.0486 s

Pertanto la durata minima della traiettoria cicloidale sar`a T_cicloidale = max{Tv, Ta} = 1.0486 s.

– Armonica

Tv≥ πh 2vmax

= 0.7330 s

Ta≥

$ π²h 2amax

= 0.9293 s

Pertanto la durata minima della traiettoria armonica sar`a T_armonica = max{Tv, Ta} = 0.9293 s.

– Polinomiale

Tv ≥ 3h 2vmax

= 0.7 s

Ta ≥

# 6h

a_max = 1.0247 s

Pertanto la durata minima della traiettoria polinomiale sar`a Tpolinomiale = max{Tv, Ta} = 1.0247 s.

In conclusione la traiettoria che comporta la durata minima dello spostamento `e la traiettoria armonica con una durata pari a T = 0.9293 s.

Cognome: Nome: N. Matr.:

!!!!!!

Diagrammi di Bode delle ampiezze di L(s) e F (s)

10⁻¹ 10⁰ 10¹ 10² 10³

−80

−60

−40

−20 0 20 40 60 80 100

Modulo M [db]

Pulsazione ω [rad/s]

L(s) F(s)

Diagrammi di Bode delle ampiezze di F (s), Rpf(s) e F^!(s)

10⁻¹ 10⁰ 10¹ 10² 10³

−80

−60

−40

−20 0 20 40

Pulsazione ω [rad/s]

Modulo M [db]

F(s) Rpf F’(s)