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TRENTO, A.A. 2020/21 CORSO DI TEORIA DEI GRUPPI FOGLIO DI ESERCIZI # 13

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TRENTO, A.A. 2020/21

CORSO DI TEORIA DEI GRUPPI FOGLIO DI ESERCIZI # 13

Esercizio 13.1.

(1) Si definiscano i concetti di

(a) gruppo di permutazioni k-transitivo, (b) partizione G-invariante,

(c) gruppo di permutazioni primitivo.

(2) Si dica cos’è un blocco, e come i blocchi caratterizzano le partizioni G- invarianti.

(3) Si mostri che un gruppo 2-transitivo è primitivo.

(4) Dato G ≤ S(Ω) transitivo, e α ∈ Ω, si mostri che c’è una corrispondenza biunivoca fra

(a) blocchi contenenti α, e

(b) sottogruppi H yali che G

α

≤ H ≤ G.

(5) Dato G ≤ S(Ω) transitivo, e α ∈ Ω, si mostri che sono equivalenti (a) G è primitivo, e

(b) G

α

è un sottogruppo massimale.

Esercizio 13.2 (Facoltativo). Si mostri che A

n

è semplice, per n ≥ 6.

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