Crisi della Fisica Classica
& Fisica Quantistica
Guido Montagna
Dipartimento di Fisica, Universit`a di Pavia & INFN, Sezione di Pavia
February 5, 2018
Programma
1. Radiazione di corpo nero e quanti di Planck 2. Natura corpuscolare della radiazione e fotoni
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Effetto fotoelettrico
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Effetto Compton
3. Spettri e modelli atomici: atomo di Bohr
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Esperimento di Franck e Hertz
4. Dualismo onda–corpuscolo e “onde di materia”
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Equazione di Schr¨ odinger
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Esperimento delle due fenditure
5. Elementi di Meccanica Quantistica
Testi consigliati
P. Mazzoldi, M. Nigro e C. Voci Fisica, Vol. II
Cap. 18 – Propriet`a corpuscolari e ondulatorie della radiazione e della materia
L. Lovitch e S. Rosati Fisica Generale, Vol. II
Cap. 21 – Particelle e ondeCap. 22 – Elementi di Meccanica Quantistica
M. Alonso e E.J. Finn
Fundamental University Physics
Vol. III – Quantum and Statistical Physics
Cap. 1 – The Foundations of Quantum Physics Cap. 2 – Quantum MechanicsImpostazione degli argomenti
Dispositivo e apparato di misura Risultati e leggi sperimentali
Impossibilit` a di spiegazione secondo fisica classica
Interpretazione quantistica
Spettro elettromagnetico
I fenomeni di crisi della fisica classica riguardano il comportamento della radiazione elettromagnetica (e.m.) e i processi di interazione fra
radiazione e materia
Secondo la fisica classica, il campo e.m. si propaga nella forma di onde trasversali, trasportando energia e quantit`a di moto, come previsto dalle equazioni di Maxwell.
Radiazione di Corpo Nero e Quanti di Planck
Radiazione termica e definizione di corpo nero
Ogni corpo (solido, liquido o gas denso) a qualsiasi temperatura finita emette radiazione e.m. a spettro continuo (radiazione termica) Potere emissivo e(ν, T ):
energia della radiazione emessa per unit`a di tempo, unit`a di superficie e intervallo unitario di frequenza. In generale, dipende dalle caratteristiche specifiche del corpo.Potere assorbente a(ν, T ): l
a radiazione incidente viene in parte riflessa ed in parte assorbita. Si definisce potere assorbente il rapporto fra l’energia assorbita e l’energia della radiazione incidente (in un dato intervallo di tempo, di frequenza e su un dato elemento di superficie). Per definizione:0 ≤ a(ν, T ) ≤ 1. Anche a(ν, T ) dipende in generale dalle propriet`a del corpo.
a(ν, T ) = 0 (per ogni ν e T ): corpo bianco (perfettamente riflettente) a(ν, T ) = 1 (per ogni ν e T ): corpo nero (assorbitore perfetto)
Corpo nero: potere emissivo e densit` a di energia
Usando considerazioni di termodinamica, si dimostra (teorema di Kirchhoff, 1859) che il rapporto fra potere emissivo e potere assorbente
e(ν, T )/a(ν, T )
`
e indipendente dal corpo considerato (natura e forma della superficie) ed ` e una funzione universale delle frequenza e della temperaura.
Poich´e per il corpo nero a(ν, T ) = 1, allora anche il potere emissivo del corpo nero `e una funzione universale, data da
e(ν, T ) = c
4u(ν, T )
u(ν, T ) = densit`a di energia per intervallo unitario di frequenza c: velocit`a della luce nel vuoto
e(ν, T ) dν = potenza emessa per unit`a di area nell’intervallo di frequenza [ν , ν + dν]
Spettro di radiazione di corpo nero
Il potere emissivo (qui mostrato in funzione della lunghezza d’onda λ = c/ν e per diverse temperature):
cresce quadraticamente per piccole frequenze decade esponenzialmente a grandi frequenze
Corpo nero in laboratorio
Con ottima approssimazione, un modello di corpo nero `e dato da una cavit`a, isolata termicamente, sulla cui parete sia praticato un piccolissimo foro. Inviando della radiazione nella cavit`a attraverso il foro, essa viene pi`u volte in parte riflessa ed in parte assorbita e solo una frazione trascurabile sar`a riemessa.
,→
Il forellino agisce nei confronti della radiazione incidente come un assorbitore quasi perfetto.
Cavit`a isoterma. In modo analogo, in una cavit`a racchiusa da pareti a temperatura T uniforme e costante, gli atomi delle pareti sono in agitazione termica ed emettono radiazione elettromagnetica che viene riassorbita dalle pareti. Si stabilisce equilibrio dinamico nello scambio energetico fra atomi delle pareti e radiazione nella cavit`a.
Praticando un forellino sulle pareti della cavit`a senza alterare l’equilibrio termodinamico, si pu`o studiare la radiazione emessa in equilibrio alla temperatura T .
Corpo nero in natura: radiazione solare
Spettro della radiazione solare senza assorbimento atmosferico confrontato con la curva teorica di corpo nero (formula di Planck), calcolata per una temperatura T = 5778 K
Corpo nero in natura: radiazione cosmica di fondo
Dati raccolti dall’esperimento COBE (COsmic Background Explorer) per lo spettro della radiazione cosmica di fondo, in confronto con la curva teorica di corpo nero (formula di Planck), calcolata per una temperatura T = 2.725 K
Corpo nero: leggi sperimentali
1. Legge di Wien o dello spostamento (1894)
λ
max· T = costante costante = 2.90 × 10
−3m K
2. Legge di Stefan–Boltzmann (1879 – 1884)
I = Z
∞0
e(ν, T ) dν = c 4
Z
∞ 0u(ν, T ) dν = σ T
4I ≡ Potenza totale irraggiata per unit`a di superficie (a temperatura fissata) σ = 5.67 × 10−8W m−2K−4
Teoria: campo elettromagnetico in una cavit` a
Grazie al teorema di Kirchhoff, si pu`o studiare il comportamento del campo e.m.in una cavit`a in termini del modello pi`u semplice:
scatola cubica di lato L, con spigolo nell’origine e lati paralleli agli assi, con pareti metalliche perfettamente conduttrici −→ le componenti tangenziali del campo elettrico E devono annullarsi sulle superfici.
Risolvendo l’equazione d’onda soddisfatta dal campo elettrico, con le opportune condizioni al contorno, si ottiene:
l’andamento nel tempo del campo elettrico `e di tipo armonico, i.e. ciascuna componente del campo elettrico si comporta come un oscillatore armonico le componenti spaziali del campo elettrico hanno la forma
E (r) = E sin(k1x) sin(k2y) sin(k3z) kα = nα
π
L α = 1, 2, 3 / nα∈ N
i.e. generano onde stazionarie, come le onde che si instaurano in una corda con estremi fissi.
Teoria: conteggio dei modi normali di oscillazione
All’interno della cavit`a, il campo e.m. `e equivalente ad un sistema di infiniti oscillatori armonici indipendenti, di pulsazione ωα= c kα, kα = nαπ/L, e sono attivi modi normali di oscillazione.
Quanti sono i modi normali di oscillazione?
A partire dalla densit`a di modi normali dN/d3k dN/d3k = L3/π3
si ricava che il numero di modi normali in un guscio sferico di raggio compreso fra ν e ν + dν
` e dato da
dN (ν) = 8πVc3 ν2dν V = volume della scatola
Il numero di modi normali cresce comeν2
Densit` a di energia secondo fisica classica
Per calcolare la densit`a di energia del corpo nero
si moltiplica il numero di modi normali dN (ν) per l’energia media associata a ciascun oscillatore (modo normale)
si divide per il volume della scatola
Poich´e secondo la fisica classica l’energia media E per un sistema di oscillatori in equilibrio termico alla temperatura T `e pari a E = KBT , con KB costante di Boltzmann, si ottiene la formula di Rayleigh – Jeans
u(ν, T ) = 8π
c3KBT ν2
in buon accordo coi dati sperimentali a basse frequenze catastrofe ultravioletta: R∞
0 u(ν, T ) dν = ∞
`
e diretta conseguenza del fatto che secondo la fisica classica l’energia di ciascun oscillatore pu`o assumere ogni valore, variando con continuit`a
Formula classica di Rayleigh – Jeans
u(λ, T ) = 8π KBT λ4
La formula classica di Rayleigh – Jeans (come funzione di λ) in confronto con lo spettro di radiazione di corpo nero.
Densit` a di energia: interpretazione quantistica
Ipotesi di Planck (1900):
gli scambi di energia fra materia e radiazione e.m. di data frequenza ν possono avvenire solo per multipli interi di una quantit`a finita (ν) = h ν ,→ l’energia di un dato oscillatore associato al campo e.m. pu`o assumere solo valori discreti En = n hν, con n = 0, 1, 2, 3, ...
Secondo questa ipotesi, l’energia media degli oscillatori di frequenza ν `e data da
E = hν
exp(hν/KBT ) − 1 da cui si ottiene la formula di Planck
u(ν, T ) = 8π c3
hν3 exp(hν/KBT ) − 1
Per h ≡ costante di Planck ' 6.626 × 10−34J s, la formula di Planck `e in strepitoso accordo coi dati sperimentali.
Da essa, si ricavano correttamente le leggi empiriche, incluso il valore delle costanti.
[h] = [m] [l2] [t−1] dimensioni dell’azione = dimensioni del momento angolare
