Diagrammi di Bode

Diagrammi di Bode

• Possibili rappresentazioni grafiche della funzione di risposta armonica F (ω) = G(jω) sono: i Diagrammi di Bode, i Diagrammi di Nyquist e i Dia- grammi di Nichols.

• I Diagrammi di Bode sono due:

1) il diagramma delle ampiezze rappresenta α = ln|G(jω)| in funzione del ln ω;

2) il diagramma delle fasi rappresenta β = arg G(jω) in funzione del ln ω;

ln G(jω) = lnh

|G(jω)|ej arg G(jω)i

= ln|G(jω)| + ln[ej arg G(jω)]

= ln|G(jω)| + j arg G(jω)

• Esempio:

Diagramma delle ampiezze

G(jω) = 100

1 + j ω80



1 + j ω10

 1 + j ω1000



Diagramma delle fasi

• Per i calcoli si utilizzano i logaritmi naturali. Peraltro, un cambiamento di base dei logaritmi equivale ad un semplice cambiamento di scala.

• Si possono utilizzare due tipi diversi di carta millimetrata:

a) carta con doppia scala logaritmica per le ampiezze e carta semilogarit- mica per le fasi;

b) carta semilogaritmica sia per le ampiezze sia per le fasi. In questo caso la scala delle ampiezze `e graduata in decibel: B = 20 log₁₀A.

Caso a) Caso b)

• I vantaggi che si hanno impiegando una scala logaritmica sono:

i) `e possibile avere una rappresentazione dettagliata di grandezze che variano in campi notevolmente estesi;

ii) i diagrammi di Bode di sistemi in cascata si ottengono come somma dei diagrammi di Bode dei singoli sottosistemi;

iii) i diagrammi di Bode di una funzione data in forma fattorizzata si ottengono come somma dei diagrammi elementari dei singoli fattori.

Conversione in db e viceversa

• Il decibel `e un’unit`a logaritmica convenzionale che normalmente si impiega per esprimere il guadagno di amplificatori.

B(db) = 20 log₁₀A

• Per la conversione si pu`o utilizzare il seguente diagramma:

Posto A nella forma:

A = r · 10ⁿ con 1 ≤ r < 10, il valore di A in decibel `e:

B = 20 n + s db

dove s si ricava dal diagramma a fianco: 0 ≤ s < 20.

• Alcune conversioni di uso frequente:

A B = 20 log₁₀A

1 0

√2 3

2 6

5 14

10 20

20 26

50 34

100 40

1000 60

10000 80

0.5 −6

0.1 −20

0.01 −40

– Esempio 1:

A = 24

A = 2.4 · 10¹ B ' 20 + 8 = 28 – Esempio 2:

A = 0.56

A = 5.6 · 10⁻¹

B ' −20 + 15 = −5

– Ogni 6 db il valore di A raddoppia;

– Ogni 20 db il valore di A `e moltiplicato per 10;

• Si consideri una generica funzione di trasferimento:

G(s) = K1

s^m + b_m−1s^m−1 + . . . + b₁s + b₀

s^h(s^n−h + a_n−1s^n−h−1 + . . . + a_h+1s + a_h)

• Il fattore s^h corrisponde ad un eventuale polo nell’origine avente ordi- ne di molteplicit`a h: se la funzione di trasferimento non presenta poli nell’origine, `e h = 0.

• Forma fattorizzata a poli e zeri:

G(s) = K₁ (s − z¹) (s− z²) . . . (s − z^m) s^h(s − p^h+1) (s− p^h+2) . . . (s− pⁿ)

• Forma fattorizzata a costanti di tempo:

G(s) = K

1+τ₁⁰s

1+τ₂⁰s
. . .

1+2δ₁⁰ s

ω_n1⁰ + s² ω_n1^{0 2}

 . . . s^h 1+τ₁s

1+τ₂s
. . .

1+2δ₁ s

ω_n1+ s² ω_n1²

 . . .

• La funzione di risposta armonica si ottiene ponendo s=jω:

G(jω) = K

1+jωτ₁⁰

1+jωτ₂⁰
. . . 

1+2δ₁⁰ jω

ω_n1⁰ − ωω_n1^{0 22}

 . . . (jω)^h 1+jωτ₁

1+jωτ₂
. . . 

1+2δ₁ jω

ω_n1− ω² ω_n1²

 . . .

• Il diagramma di Bode della funzione G(jω) si ottiene come somma dei diagrammi di Bode delle seguenti funzioni elementari:

K

(j ω)^−h

1 + j ω τ
_±1



1 + j 2 δ ωω_n − ω² ω_n²

_±1

• Guadagno costante: G(jω) = K.

- I diagrammi dei moduli e della fasi sono indipendenti da ω, cio`e sono costanti;

- Se K > 0, il diagrammi del- le fasi `e β = 0;

- Se K < 0, il diagramma delle fasi `e β = −π.

• Poli nell’origine: G(jω) = (j ω)^−h. - I diagrammi riportati a fian-

co sono relativi al caso h = 2;

- In scala (ln, ln), il dia- gramma delle ampiezze `e una retta passante per il punto (ω, α) = (1, 0 db) e di incli- nazione −h;

- Il diagramma delle fasi `e co- stante, identicamente uguale a −h^π₂;

• Diagrammi di Bode delle ampiezze e delle fasi:

ln G(jω) = α + j β = ln 1

ω^h − j h π

2 = −h ln ω − j h π 2

• Poli reali: G(jω) = 1 + j ω τ
₋₁

= 1

1 + jωτ ln G(jω) = α + j β = ln 1

√1 + ω²τ² + j (−arctan ωτ)

• Diagrammi asintotici di Bode:

Diagramma delle ampiezze:

a) per ω  1/τ, si ottie- ne α'0, cio`e il diagramma tende a coincidere con l’as- se delle ascisse.

b) per ω1/τ, si ottiene α ' ln 1

ωτ = ln 1

τ − ln ω cio`e il diagramma tende al- la retta passante per il pun- to ln ω = ln (1/τ ) e di inclinazione −1;

• L’approssimazione asintotica del diagramma delle ampiezze `e pertanto costituita dalle due semirette

α = ( 0 per ln ω ≤ ln 1τ , ln 1τ − ln ω per ln ω ≥ ln 1τ ,

• Il massimo errore della rappresentazione asintotica si ha per ω =1/τ e vale ln√

2 (circa 3db).

• La pendenza −1, su carta semilogaritmica diventa −20 db/decade;

• Diagramma asintotico delle fasi:

La spezzata si ottie- ne collegando i due asintoti β = 0 e β =

−π/2 con la tangen- te al diagramma ef- fettivo nel punto cor- rispondente alla pul- sazione di rottura ω₀ = 1/τ , punto in cui `e β =−π/4.

• Essendo β = −arctan ωτ , si pu`o scrivere d β

d ln ω    ω=ω₀

= d β d ω

d ω d ln ω

   ω=ω₀

= − ω₀τ

1 + ω₀²τ² = −1 2

• Le pulsazioni ω^a e ω_b si determinano utilizzando la relazione π/4

ln ω₀ − ln ω^a = π/4

ln ω_b − ln ω⁰ = 1 2 da cui si ottiene

ln ω0

ω_a = ln ωb

ω₀ = π

2 → ω0

ω_a = ωb

ω₀ = e^π2 = 4, 81

• I diagrammi di Bode della funzione G(jω)=1+jωτ si ottengono ribaltando attorno all’asse delle ascisse quelli della funzione G(jω) = (1+jωτ )⁻¹.

• Quando la costante di tempo τ `e negativa, il diagramma delle ampiezze risulta immutato, mentre il diagramma delle fasi risulta ribaltato rispetto all’asse delle ascisse.

• Esempio. Si consideri la seguente funzione di risposta armonica:

G(jω) = 5, 6 (1 + j ω 0, 5)

(1 + j ω 4) (1 + j ω 0, 25) (1 + j ω 0, 125)

• Diagrammi di Bode:

• Poli complessi coniugati (0≤δ <1):

G(s) = 1

1 + 2δ

ω_ns + s² ω_n²

→ G(jω) = 1

1 − ω²

ω_n² + j 2 δ ωω_n

• Diagrammi di Bode delle ampiezze e delle fasi:

ln G(jω) = α + j β = ln 1 r

1 − ωω_n²²

2

+ 4 δ² ω² ω_n²

− j arctan 2 δ ωω_n 1− ωω_n²²

• Diagramma di Bode delle ampiezze:

• Asintoti del diagramma α : per ω/ωⁿ  1, tutti i termini sotto radice quadrata sono trascurabili rispetto all’unit`a ed `e pertanto α ' 0; per ω/ω_n1, ha la prevalenza il termine (ω/ωⁿ)⁴ e si pu`o scrivere pertanto

α ' −ln ω²

ω_n² = 2 ln ω_n − 2 ln ω

• Il diagramma effettivo si pu`o discostare sensibilmente da quello asintotico:

in particolare, per δ = 0 e in corrispondenza della pulsazione di rottura ω_n, lo scostamento `e infinito.

• Il diagramma delle ampiezze ha le seguenti propriet`a:

1) per 0≤δ ≤1/√

2, presenta un massimo;

2) per 0≤δ ≤1/2, interseca l’asse a destra del punto ω =ωⁿ; 3) per 1/2≤δ ≤1/√

2, interseca l’asse a sinistra del punto ω = ω_n; 4) per 1/√

2≤δ ≤1, non interseca l’asse delle ascisse ed `e pertanto tutta al di sotto della sua approssimazione asintotica.

• Pulsazione di risonanza ω^R. Posto u = ω/ω_n, il massimo dell’ampiezza corrisponde ad un minimo della funzione

(1 − u²)² + 4 δ²u²

Derivando e uguagliando a zero la derivata, si ottiene

−4 (1 − u²) u + 8 δ²u = 0 Trascurando la soluzione nulla si ottiene

u_R=p

1−2 δ² → ω_R = ω_n√

1 − 2 δ²

• Picco di risonanza M^R: si calcola come modulo della funzione di risposta armonica in corrispondenza della pulsazione ω_R:

MR = 1

p(1 − 1 − 2 δ²)²+ 4 δ²(1 − 2 δ²)

M_R = 1

2 δ √

1 − δ²

• Diagramma di Bode della fasi:

• Approssimazione asintotica del diagramma delle fasi si ottiene congiun- gendo gli asintoti β = 0 e β =−π con un segmento inclinato di pendenza opportuna.

• Essendo β = −arctan _1−u^{2 δ u2} , si deduce:

d β d ln ω

   ω=ωn

= d β d u

d u d ln ω

   u=1

= − 1

1 +

2 δ u 1 − u²

2

2 δ (1 + u²) u (1 − u²)²

      u=1

= −1 δ

• Le pulsazioni ω^a e ωb sono legate alla pulsazione ωn dalla relazione:

π/2

ln ωn − ln ω^a = π/2

ln ωb − ln ωⁿ = 1 δ dalla quale si ottiene

ω_n

ω_a = ω_b

ω_n = e^π2δ = 4, 81^δ

• Diagrammi delle ampiezze e delle fasi in scala semilogaritmica:

Graficazione “qualitativa” dei diagrammi di Bode

Si procede alla graficazione del diagramma asintotico di Bode della fun- zione di risposta armonica assegnata. Due possibili metodi.

Primo metodo: somma dei singoli contributi

a) La funzione G(s) viene messa nella forma “a costanti di tempo”:

G(s) = 10(s − 1)

s(s + 1)(s² + 8s + 25) → G(s) = −10 25

(1 − s)

s(1 + s)(1 + ^8s₂₅ + ^s₂₅²) b) Si tracciano i diagrammi asintotici di Bode delle singole componenti:

K = −10

25, G¹(s) = (1 − s), G²(s) = 1

s, G³(s) = 1

(1 + s), G⁴(s) = 1 (1 + ^8s25+ ^s25²)

c) Si sommano i singoli contributi per ottenere il diagramma asintotico della funzione G(s).

- Il contributo del termine K `e costante: |K| = −7.96 db e arg K = −π.

- Lo zero instabile (1 − s), e il polo stabile (1 + s)⁻¹ agiscono alla pulsazio- ne ω = 1 e forniscono due contribuiti uguali e contrari nel diagramma delle ampiezze. Il loro contributo nel diagramma delle fasi si somma: l’ampiezza complessiva per ω → ∞ `e −π.

- La coppia di poli complessi coniugati (1+^8s₂₅+^s₂₅²)⁻¹ determina sul diagramma asintotico delle ampiezze una attenuazione di −40 db/dec a partire dalla pul- sazione ω_n = 5. Il contributo al diagramma delle fasi `e negativo di ampiezza complessiva −π al variare di ω. Le pulsazioni alle quali si ha un cambiamento di pendenza del diagramma asintotico di Bode delle fasi sono le seguenti

ω_a = 1

4.81, ω_b = 4.81, ω¯_a = ωn

4.81^δ, ω¯_b = ω_n4.81^δ

dove δ = 0.8 `e il coefficiente di smorzamento della coppia di poli complessi coniugati.

- La difficolt`a nell’utilizzare questo metodo sta nel fatto che la somma dei singoli contributi non `e sempre agevole.

Diagrammi asintotici di Bode delle ampiezze e delle fasi della funzione G(s)

β

¯ ω

A B

-80 C -60 -40 -20

|K|

0 20 40

−1

+1

−2

−3

|G¹|

|G²|

|G³|

|G⁴| α= |G(jω)|

α= |G(jω)|(db)

0.1 1 5 10 100

ω [log10]

−^7π2

−3π

−^5π2

−2π ϕ0 = −^3π2

−π

−^π2 0

π 2

π

G1, G3

G4

G4

G2

K K, G2

G1, G3

ϕ∞= −^7π2 arg |G(jω)|

ωa

ωa

ωb

ωb

¯ ωa

¯ ωa

¯ ωb

¯ ωb

0.1 1 5 10 100

ω [log10]

Secondo metodo: graficazione “rapida”

Diagramma delle ampiezze

a) Si individua nella funzione G(s) tutte le pulsazioni in corrispondenza delle quali si ha un cambiamento di pendenza. Tali pulsazioni coincidono con gli zeri reali, i poli reali e con le pulsazioni naturali ω_n delle coppie di poli e zeri complessi coniugati della funzione G(s). Nel caso in esame si ha ω = 1 e ω = 5. Tali pulsazioni vengono ordinate in ordine crescente di modulo.

b) Tenendo conto del fatto che gli zeri (reali o complessi coniugati) determi- nano un incremento di pendenza (rispettivamente di +1 e di +2) e che, viceversa, i poli (reali o complessi coniugati) determinano un decremento della pendenza del diagramma asintotico (rispettivamente di -1 e di -2), `e chiaro che la “forma” del diagramma asintotico `e gi`a nota a priori prima di iniziare la graficazione.

Nel caso in esame, per esempio, si ha:

(o,x)

x x



A

1 5

¯ ω β

ω -1

-1

-3

In corrispondenza della pulsazione ω = 1 non si ha cambiamento si pendenza perch`e a questa pulsazione agiscono contemporaneamente sia un polo che uno zero.

c) Si determina la posizione “verticale” del diagramma asintotico di Bode.

- Se la funzione G(s) `e di tipo 0, il posizionamento verticale `e automati- camente determinato dal calcolo del guadagno statico G(0).

- Se il sistema `e di tipo 1, o in generale di tipo h, il posizionamento ver- ticale pu`o avvenire, per esempio, calcolando la posizione del punto A in corrispondenza della pulsazione ¯ω alla quale si ha il primo cambiamento di pendenza. Siano (¯ω, β) le coordinate del punto A. Se il sistema `e di

tipo h, il valore della coordinata β si determina in base alla formula:

β =    

s^hG(s)

¯ ω^h

   s=0

cio`e si sostituisce ¯ω^h al posto degli h poli nell’origine, mentre in tutti gli altri termini di G(s) si mette s = 0.

Nel caso in esame si ha h = 1 ed ¯ω = 5 per cui β =

s G(s) 5

   s=0

=    

10(s − 1)

5(s + 1)(s² + 8s + 25)    s=0

= 2

25 = −21.94 db d) `E ora possibile tracciare il diagramma asintotico complessivo tracciando, a

partire da A, i vari tratti della “spezzata”, ognuno con la propria penden- za. Nel caso in esame, per esempio, il tratto di spezzata che precede il punto A si determina individuando il punto B. Questo punto si calcola a partire da A diminuendo la pulsazione di una decade ed aumentando di 20 db l’ampiezza: B = (0.5, β + 20).

Allo stesso modo si procede per determinare il tratto che segue il punto A. In questo caso, essendo -3 la pendenza di questo tratto, il punto C si determina aumentando la pulsazione di una decade e diminuendo l’ampiezza di 60 db: C = (50, β − 60).

Diagramma delle fasi

Anche la graficazione del diagramma asintotico delle fasi pu`o essere fatta pi`u “rapidamente” se si procede nel modo seguente (si faccia riferimento al diagramma delle fasi riportato nella precedente figura):

a) Si individua la fase di partenza ϕ₀ del diagramma asintotico delle fasi calcolando la fase iniziale della funzione approssimante G₀(s) per ω → 0.

Nel caso in esame, per esempio, la fase iniziale `e ϕ0 = −<sup>3π</sup><sub>2</sub> . Tale fase `e comprensiva del segno negativo della costante K e della fase costante −^π₂ introdotta dal polo nell’origine.

b) Si prendono in considerazione i poli e gli zeri in ordine crescente della loro pulsazione critica (cio`e il valore assoluto del corrispondente polo o zero, oppure la ω nel caso di coppie di poli o zeri complessi coniugati). Il

“fascia” in funzione dell’azione introdotta dai precedenti elementi, e in funzione del fatto che l’elemento sia stabile o instabile.

Nel caso in esame, per esempio, i primi due elementi da prendere in consi- derazione all’aumentare di ω sono il polo stabile (s+1)⁻¹ e lo zero instabile (s − 1). Questi due elementi agiscono contemporaneamente e ciascuno di essi introduce uno “sfasamento”, per ω ∈ [−∞, ∞], pari a −^π₂. Il contributo complessivo di questi due elementi `e un diagramma asintotico di ampiezza −π da disegnare verso il basso nella fascia −^3π₂ , −^5π₂ . An- che la coppia di poli complessi coniugati (1 + ^8s₂₅ + ^s₂₅²)⁻¹ , essendo stabili, introduce uno sfasamento di ampiezza complessiva −π. Il loro contributo al diagramma asintotico va quindi disegnato nella fascia −^5π₂ , −^7π₂ .

c) Si procede alla graficazione del diagramma asintotico complessivo “inter- polando” i diagrammi asintotici delle fasi dei singoli elementi, ognuno dei quali `e stato disegnato nella fascia pi`u opportuna. Nel caso in esame,

`e evidente che la determinazione dei punti intermedi di cambiamento di pendenza risulta notevolmente semplificato rispetto al caso di semplice somma dei singoli contributi asintotici. Si noti inoltre che la fase finale ϕ<sub>∞</sub> ottenuta `e in accordo con la fase finale della funzione approssimante G_∞(s) per ω → ∞.

La formula di Bode

• Una funzione di trasferimento razionale fratta `e a a fase minima se non ha n´e poli n´e zeri nel semipiano destro del piano s.

• Per sistemi a fase minima, detta ω^c la pulsazione in corrispondenza della quale si vuole calcolare la fase β_c, vale la formula di Bode:

β_c = 1 π

Z _∞

−∞

d α

d u ln cotanh  

u 2    du

in cui si `e posto α := ln|G(jω)|, u := ln _ω^ω_c = ln ω−ln ω^c.

• La fase β^c in corrispondenza di una data pulsazione ω_c dipende essen- zialmente dalla pendenza ^{d α}_{d u} del dia- gramma delle ampiezze nell’intorno di quella pulsazione ω_c.

• Esempio: ^{βc = 0·A1 − 1·A2 − 2·A3}

dove:

A1 = π

4−β¹, A2 = β1+β2, A3 = π 4−β²

• Significato della variabile di integrazione u: se il diagramma α `e riferito ai logaritmi naturali, la variabile u non `e altro che l’ascissa ln ω con l’origine traslata in ln ωc.

• La condizione necessaria e sufficiente per la validit`a della formula di Bode, cio`e che la funzione di trasferimento sia a fase minima, `e soddisfatta per la quasi totalit`a dei sistemi che normalmente si considerano.

• Esempio di rete elettrica a fase non minima:

• Funzione di trasferimento V_u(s) = 1/Cs − R

R + 1/Cs V_i(s) che, posto T := RC, diventa

G(s) = Vu(s)

V_i(s) = 1 − T s 1 + T s , cio`e una funzione non a fase non minima;

• Diagrammi di Bode delle ampiezze e delle fasi: il dia- gramma delle ampiezze `e co- stante α = 0 (|G(jω)| = 1), mentre il diagramma delle fa- si varia gradualmente da 0^◦ a

−180^◦.

• `E chiaro che applicando la formula di Bode all’esempio si sarebbe invece dedotta una fase identicamente nulla.

• La funzione di trasferimento trascendente G(s) = e^−t0s

che rappresenta un ritardo finito di valore t₀, non `e a fase minima.

• Essendo

G(jω) = e^−jωt0 = cos ω t₀ − j sen ω t⁰ ,

la funzione di risposta armonica ha modulo identicamente unitario e fase crescente linearmente con la frequenza.

• Per ricavare i diagrammi di Bode, si scrive

ln G(jω) = α + j β = 0− j ω t⁰ = 0− j t⁰e^{ln ω}

relazione dalla quale si deduce che il diagramma delle fasi ha un andamento esponenziale. Anche in questo caso l’applicazione della formula di Bode

Diagrammi di Bode: riepilogo

• I diagrammi di Bode si basano su alcune propriet`a dei logaritmi e sulle propriet`a valide per il modulo e l’argomento di funzioni complesse:

1. |A B| = |A| |B| ⇒ log10|A B| = log10|A| + log10|B|

2.

A B    

= |A|

|B| ⇒ log10

A B    

= log₁₀|A| − log10|B|

3. arg(A B) = arg(A) + arg(B) 4. arg A

B



= arg(A) − arg(B)

• Queste propriet`a permettono di ricondurre il problema di tracciare i dia- grammi di bode di una generica funzione razionale fratta

G(jω) = K (jω + b)...(−ω² + 2δbωbjω + ω_b²) (jω)^h(jω + d)...(−ω² + 2δ_dω_djω + ω_d²)

alla “somma” dei diagrammi di Bode delle seguenti funzioni elementari:

K (jω)^−h (jω + a)^±1

(−ω² + 2δ_aω_ajω + ω_a²)^±1

• `E possibile ricavare i diagrammi asintotici di Bode anche senza ricorrere alla somma dei singoli contributi, ma utilizzando un metodo diretto.

Assi nei diagrammi di Bode

• I Diagrammi di Bode usano l’asse orizzontale in scala logaritmica. Consi- derando l’asse reale R e fissata una origine, una pulsazione ω corrisponde ad un punto sull’asse con coordinata x = log₁₀ω. Accanto all’asse si possono quindi indicare o i valori della coordinata x oppure direttamente i valori di ω; questa seconda soluzione `e la pi`u comoda.

x= log w

0 1 2

- 1

1 10 100 w

0.1

w

1 2 3 5 8 10

0 0.3 0.5 0.7 0.9 1 x= log w

x= log w

0 1 2

- 1

1 10 100 w

0.1

w

1 2 3 5 8 10

0 0.3 0.5 0.7 0.9 1 x= log w

• Per il disegno qualitativo dei diagrammi conviene memorizzare alcuni valori:

log₁₀2 ' 0.3 log103 ' 0.5 log105 ' 0.7 log108 ' 0.9

• L’asse verticale nei diagrammi di ampiezza `e graduato in decibel (db):

A|db

def= 20 log₁₀A

Con questa scala, le pendenze caratteristiche dei diagrammi di Bode so- no ±20 db/decade, ±40 db/decade, ecc. Per comodit`a tali pendenze vengono indicate rispettivamente con i SIMBOLI ±1, ±2, ecc.

N.B.: se la scala verticale fosse semplicemente logaritmica (y = log₁₀A) le pendenze caratteristiche dei diagrammi di Bode sarebbero ±1 e ±2.

• L’asse verticale nei diagrammi di fase pu`o essere graduato sia in radianti sia in gradi. In ogni caso il diagramma delle fasi pu`o essere traslato verso l’alto o verso il basso di multipli interi di 2π, o di 360^o, mantenendo inalterato