Diagrammi di Bode Mattia Natali 20 giugno 2011

Diagrammi di Bode

Mattia Natali 20 giugno 2011

Indice

1 Equazioni componenti elettronici 1

2 Funzione di trasferimento 1

2.1 Guadagno d’anello . . . 2

3 Diagramma di Bode 2 3.1 Rappresentazione Poli e Zeri . . . 3

3.1.1 Costante . . . 3

3.1.2 Polo Reale . . . 3

3.1.3 Zero reale . . . 3

3.1.4 Polo nell’origine . . . 4

3.1.5 Zero nell’origine . . . 4

3.1.6 Poli complessi coniugati . . . 4

3.1.7 Zeri complessi coniugati . . . 4

3.2 Considerazioni utili . . . 4

1 Equazioni componenti elettronici

Componente Dominio del Tempo Dominio della Frequenza Impedenza Simbolica Resistore v (t) = R · i (t) V (s) = R · I (s) Z (s) = R

Condensatore i (t) = Cdv (t)

dt I (s) = s · C · V (s) Z (s) = 1

s · C Induttore v (t) = Ldi (t)

dt V (t) = s · L · I (s) Z (s) = s · L Tabella 1: componenti elettronici nei vari domini

L’impedenza simbolica Z (s) è definita come il rapporto tra V (s) e I (s) che sono le trasforma- te di Laplace della tensione e della corrente (vedi colonna “Dominio della Frequenza”). Quindi:

Z (s) = V (s) I (s).

Ricordiamo che s = jω.

2 Funzione di trasferimento

Per ricavare la funzione di trasferimento di un circuito si deve:

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Diagrammi di Bode Elettronica Mattia Natali

• Sostituire ogni componente (R, L, C) del circuito con la corrispondente impedenza simbo- lica Z (s);

• Risolvere la rete così ricavata applicando Kirchhoff come se fosse una normale rete resi- stiva;

• Ricavare l’uscita Y (s) in funzione dell’ingresso X (s) e delle impedenze simboliche Z (s);

• Calcolare la funzione di trasferimento H (s) come il rapporto tra l’uscita Y (s) e l’ingresso X (s):

H (s) = Y (s) X (s)

I valori che annullano il numeratore vengono chiamati zeri, mentre quelli che annullano il denominatore poli. Il semiasse immaginario di H (s) descrive il comportamento della frequenza del circuito. Possiamo inoltre notare che la parte immaginaria è simmetrica rispetto all’asse reale, ossia Im (s) < 0 = Im (s) > 0 quindi è sufficiente studiare il semiasse positivo.

2.1 Guadagno d’anello

Per calcolare il Gloop:

1. Spegnere i generatori forzanti (se è un generatore di tensione cortocircuitate, se è di corrente ponete un circuito aperto).

2. Interrompere idealmente l’anello di reazione in un punto a scelta.

3. Ricostruite l’impedenza vista dal circuito prima e dopo del taglio, un consiglio è di tagliare all’uscita dell’amplificatore operazionale così da non dover ricostruire nessuna impeden- za.

4. Applicare un segnale di corrente o di tensione nel punto dov’è avvenuto il taglio e valutare la tensione o la corrente al capo opposto del taglio.

5. Una volta calcolato Glooppossiamo calcolare il guadagno reale in questo modo:

Greale= Gid·

 −Gloop

1 − G_loop



3 Diagramma di Bode

È un grafico bi-logaritmico: sulle ascisse abbiamo la pulsazione ω oppure la frequenza f =^ω/2π, l’asse delle ordinate è rappresentato in decibel (dB) ossia

Gdb = 20 log₁₀(G)

Solitamente i diagrammi di Bode sono due: uno rappresenta il modulo della funzione di traferi- mento|H (s)| mentre il secondo la fase ∠H (s).

Il diagramma è particolarmente utile per rappresentare il comportamento del circuito in base alla pulsazione o frequenza del segnale.

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3.1 Rappresentazione Poli e Zeri

In questa parte vengono trattate le rappresentazioni dei vari poli e zeri in modo asintotico, in pratica con linee spezzate nel diagramma di Bode: è una rappresentazione approssimata soprattutto vicino ai poli e zeri. Ricordo inoltre che ciò che ho scritto valgono per gli esempi a cui si riferiscono, quindi, per esempio nel polo reale, quando dico che il diagramma di Bode inizia a 0dB non è detto che debba iniziare sempre a 0dB.

3.1.1 Costante H (jω) = K

• Modulo: |H (jω)| = K (linea costante nel tempo).

• Fase:

 ∠ |H (jω)| = 0 con K > 0

∠ |H (jω)| = −π oppure π con K < 0 in altre parole se K < 0 abbiamo uno sfasa- mento di π, possiamo decidere ad arbitrio se π oppure −π.

3.1.2 Polo Reale Abbiamo come esempio:

H (s) = 1 1 +_ω^s

0

−→ H (jω) = 1 1 +jω

ω0

• Modulo: il diagramma di Bode rimane a 0dB fino alla frequenza ω = ω0 e poi diminuisce con pendenza di−20^dB/decade.

• Fase: seguire l’asintoto a bassa frequenza fino alla frequenza corrispondente a un decimo di ω0ossia fino ad una decade prima di ω0, poi scendere linearmente fino ad incontrare l’a- sintoto ad alta frequenza che si trova a dieci volte ω0, ossia una decade dopo. Il contributo complessivo di un polo è−90°. Se abbiamo disegnato correttamente il grafico dobbiamo avere in ω = ω0una fase ∠H (jω) = −^π₄ → −45°.

3.1.3 Zero reale Consideriamo:

H (s) = 1 + s

ω₀ −→ H (jω) = 1 +jω ω₀

• Modulo: il diagramma di Bode rimane a 0dB fino alla frequenza ω = ω0e poi aumenta con pendenza di +20^dB/decade.

• Fase: seguire l’asintoto a bassa frequenza fino alla frequenza corrispondente a un decimo di ω₀ossia fino ad una decade prima di ω₀, poi salire linearmente fino ad incontrare l’asin- toto ad alta frequenza che si trova a dieci volte ω₀, ossia una decade dopo. Il contributo complessivo di un polo è +90°. Se abbiamo disegnato correttamente il grafico dobbiamo avere in ω = ω0una fase ∠H (jω) = +^π₄ → +45°.

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3.1.4 Polo nell’origine Consideriamo:

H (s) = 1

s −→ H (jω) = 1 jω

• Modulo: come modulo abbiamo |H (jω)| = _ω¹ quindi questa funzione è rappresentata da una linea retta con pendenza−20^dB/decadeche passa per 0dB in ω = 1^rad/s.

• Fase: abbiamo che ∠H (jω) = ∠

1 jω



= ∠ −j_ω¹
= −^π₂, quindi un polo nell’origine introduce uno sfasamento di−^π₂ → −90° costante, partendo dall’origine delle frequenze (ossia dalla continua).

3.1.5 Zero nell’origine Consideriamo:

H (s) = s −→ H (jω) = jω

• Modulo: come modulo abbiamo |H (jω)| = ω quindi questa funzione è rappresentata da una linea retta con pendenza +20^dB/decadeche passa per 0dB in ω = 1^rad/s.

• Fase: abbiamo che ∠H (jω) = ∠ (jω) = +^π₂, quindi uno zero nell’origine introduce uno sfasamento di +^π₂ → +90° costante, partendo dall’origine delle frequenze (ossia dalla continua).

3.1.6 Poli complessi coniugati Prendiamo come esempio:

H (s) = ω²₀

s²+ 2ξω0s + ω²₀ = 1

s ω₀

2

+ 2ξ

s ω₀

 + 1

con 0 < ξ < 1

• Modulo: il diagramma di Bode rimane a 0dB fino alla frequenza ω = ω0, poi diminui- sce con pendenza di−40^dB/decade. In ω = ω0

p1 − 2ξ² c’è un picco di ampiezza |H (jωr)| =

−20 log 2ξp

1 − ξ²

se 0 < ξ <¹/^√2= 0, 707.

• Fase: a basse frequenze (ω  ω0) abbiamo ∠H (jω) ≈ −arctan (0) = 0rad quindi avremo uno sfasamento costante a 0rad → 0°. Ad alte frequenze (ω  ω0) abbiamo uno sfasamento di−π → −180°. A ω = ω0 abbiamo uno sfasamento di−^π₂ → −90°. Più ξ è piccolo, più la transizione tra 0rad → −πrad è verticale.

3.1.7 Zeri complessi coniugati

È identico a quello che ho scritto per i poli complessi coniugati, basta sostituire i meno con i più.

3.2 Considerazioni utili

• f₁A₁= f₂A₂il prodotto guadagno, banda è costante.

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