C.L.: Info. k Elet. k Telec. k Altro.

(1)

Controlli Automatici - Prima parte 20 Giugno 2018 - Esercizi

Nome:

Nr. Mat.

Firma:

C.L.: Info. k Elet. k Telec. k Altro.

Si risolvano i seguenti esercizi.

a.1) Calcolare la trasformata di Laplace X(s) = L[x(t)] dei seguenti segnali temporali x(t):

x1(t) = [2 cos(3t) − 7 t] e^−4t, x2(t) =

0 t < 4

2 e^{−3 (t−4)}sin(5(t − 4)) t ≥ 4

Soluzione:

X1(s) = 2 (s + 4)

(s + 4)²+ 9 − 7

(s + 4)², X2(s) = 10

(s + 3)²+ 25e^−4s.

a.2) Calcolare la trasformata di Laplace inversa y(t) = L^-1[Y (s)] delle seguenti funzioni Y (s):

Y₁(s) = 30

s(s + 3)(s − 2), Y₂(s) = 24

s⁴ + 6

(s + 4)³ + 2 e^{−3 s} Soluzione:

y1(t) = −5 + 2 e^−3t+ 3 e^2t, y2(t) = 4 t³+ 3 t²e^{−4 t}+ 2 δ(t − 3) Infatti, per la funzione Y1(s) si ha:

L^-1[Y1(s)] = L^-1

30

s(s + 3)(s − 2)

= L^-1

−5

s + 2

(s + 3) + 3 (s − 2)

= −5 + 2 e^−3t+ 3 e^2t

b) Relativamente allo schema a blocchi riportato in figura, calcolare le funzioni di trasferimento G1(s) e G2(s):

G1(s) = _R^Y₁^(s)_(s) = AF C+EF C(1+AB) 1+AB+CD+AF CDG+ABCD

G₂(s) = _R^Y^(s)

2(s) = 1+AB+CD+AF CDG+ABCD^C(1+AB)

R1(s) R2(s) Y (s)

B A

F

C D G

E

c) I diagrammi riportati sotto sono relativi a due sistemi a fase minima G1(s) e G2(s).

Per ciascuno dei due sistemi e nei limiti della precisione consentita dai grafici, calcolare:

c.1) il margine di ampiezza Ma del sistema;

c.2) il margine di fase Mϕ del sistema;

c.3) il guadagno Kϕ per cui il sistema KϕG(s) ha un margine di fase Mϕ = 45^◦;

c.4) la risposta a regime yr(t) del sistema G(s) ad un ingresso sinusoidale x(t) = 2 cos(8.2t);

I parametri richiesti hanno il seguente valore:

(2)

-230 -220 -210 -200 -190 -180 -170 -160 -150 -140 -130 -120 -110 -100 Phase [degrees]

-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40

Mag [db]

2.2 2.7 3.3 3.9 4.7 5.6 6.8 8.2

10 12

15 18

22

27

33 39

47 56

68

Diagramma di Nichols G1(jω)

Mα

Mϕ

Kϕ

c.1) Ma = −19.54 db = 0.105 c.2) Mϕ = −37.14^◦

c.3) Kϕ = −30.56 db db = 0.0296 c.4) yr(t) = 2 · 3.806 cos(8.2t − 200.4^◦)

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

Real -1.5

-1 -0.5 0 0.5 1

Imag

2.2 2.7 3.3

3.9 4.7

5.6 6.8

8.2 1012 151822

33 56

120 1/Mα

Mϕ

Kϕ

Diagramma di Nyquist G2(jω)

c.1) Ma= 1.333 c.2) Mϕ = 23.93^◦ c.3) Kϕ = 0.633

c.4) yr(t) = 2 · 0.5914 cos(8.2t + 151.9^◦) d) Sia dato il seguente sistema retroazionato:

- e(t)_-

K ^-

G(s)

10(s²+ 0.8 s + 4) s²(s − 20)

- 6

r(t) y(t)

d.1) Determinare per quali valori di K il sistema retroazionato `e asintoticamente stabile.

Soluzione.

L’equazione caratteristica del sistema retroazionato `e:

1 + 10K(s²+ 0.8 s + 4)

s²(s − 20) = 0 → s³+ (10K − 20)s²+ 8K s + 40K = 0.

La tabella di Routh ha la seguente struttura:

3 1 8K

2 (10K − 20) 40K

1 (10K − 20)8K − 40K

0 40K

Dalla tabella di Routh si ricavano i seguenti vincoli:

(10K − 20) > 0, (10K − 20)8K − 40K > 0, 40K > 0.

dai quali si ricava:

K > −0.2, K > 2.5, K > 0.

Quindi il sistema retroazionato `e asintoticamente stabile per:

K >= 2.5 = K^∗. La pulsazione ω^∗ corrispondente al valore limite K^∗ `e:

ω^∗ =√

8K^∗ = 4.4721.

d.2) Tracciare i diagrammi asintotici di Bode delle ampiezze e delle fasi della funzione G(s).

(3)

Diagramma asintotico dei moduli

2 -2

2o.

20 0

X.

-1 -40.

-20.

0.

20.

40.

Diagramma a gradoni delle fasi

2 2o.

20 X.

0.

90.

180.

270.

G0(s)

G∞(s)

β γ

ϕ∞

ϕ0

Figura 1: Diagrammi asintotici di Bode della funzione G^d(s).

10⁰ 10¹ 10² 10³

-40 -20 0 20 40

Mag (db)

Diagramma dei moduli

10⁰ 10¹ 10² 10³

Frequency [rad/s]

0 45 90 135 180 225 270

Phase (deg)

Diagramma delle fasi G0(s)

G∞(s)

β γ

ϕ∞

ϕ0

Figura 2: Diagrammi di Bode della funzione G(s).

(4)

Soluzione.

I diagrammi “asintotici” di Bode della funzione Gd(s) sono mostrati in Fig. 1. I diagrammi di Bode delle ampiezze e delle fasi della funzione G(s) sono mostrati in Fig. 2. Le funzioni approssimanti G0(s) e G_∞(s) per ω → 0 ed ω → ∞ sono le seguenti:

G0(s) = − 2

s², G_∞(s) = 10

s . Le corrispondenti fasi ϕ₀ e ϕ_∞ hanno il seguente valore:

ϕ0 = −2π ≡ 0, ϕ_∞ = −π

2 ≡ 3π 2 .

Sul diagramma asintotico delle ampiezze, il guadagno β in corrispondenza della pulsazione ωn= 2 e il guadagno γ in corrispondenza della pulsazione ω = 20 sono:

β = |G⁰(s)|s=2 = 2

4 = −6 db, γ = |G∞(s)|s=20= 10

20 = −6 db.

Il coefficiente di smorzamento della coppia di zeri stabili `e δ = 0.8/(2ωn) = 0.2.

d.3) Disegnare qualitativamente il diagramma di Nyquist “completo” della funzione G(s). Cal- colare esattamente la posizione σa di un eventuale asintoto verticale, le eventuali intersezioni σ^∗_i con l’asse reale e i corrispondenti valori delle pulsazioni ω^∗_i.

Soluzione. Il diagramma di Nyquist della funzione G(s) `e mostrato in Fig. 3. La fase iniziale

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8

Real -0.6

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4

Imag

Diagramma di Nyquist

1.5 1.8

2.2 2.7 3.3 3.9 4.7 6.8

10

121518222733 47

68 100

Figura 3: Diagramma di Nyquist della funzione G(s) per ω ∈ [0, ∞]: andamento generale e zoom.

del sistema `e ϕ0 = 0. Per ω → 0⁺ il diagramma parte in anticipo rispetto a tale fase in quanto la somma delle costanti di tempo del sistema `e positiva:

∆τ = 0.2 + 1

20 = 0.25 > 0.

Il sistema ´e di tipo 2 per cui non esiste nessun asintoto. La variazione di fase che il sistema subisce per ω ∈]0, ∞[ `e:

∆ϕ = π + π 2 = 3π

2

(5)

Ne segue che il vettore G(jω) ruota di ^3π₂ in senso antiorario per raggiungere la fase finale ϕ_∞ = ^3π₂ . Esiste una sola intersezione con il semiasse reale negativo. L’intersezione avviene nel punto:

σ^∗ = − 1

K^∗ = 0.4 in corrispondente della pulsazione ω^∗ = 4.4721.

e) Sia dato il seguente sistema retroazionato:

- e(t)_-

K ^-

Ge(s) 40(s + 1) (10s − 1)(s − 10)

- 6

r(t) y(t)

e.1) Determinare per quali valori di K il sistema retroazionato `e asintoticamente stabile.

Soluzione.

L’equazione caratteristica del sistema retroazionato `e:

1 + 40K(s + 1)

(10s − 1)(s − 10) = 0 → 10s²+ (40K − 101)s + 40K + 10 = 0.

La tabella di Routh ha la seguente struttura:

2 10 40K + 10

1 (40K − 101) 0 40K + 10

Il sistema retroazionato `e stabile quando tutti i coefficienti della prima colonna della tabella di Routh hanno lo stesso segno:

K > K^∗ = 101

40 = 2.525 La pulsazione ω^∗ corrispondente al valore limite K^∗ `e :

ω₁^∗ =r 40K^∗+ 10

10 =√

11.1 ≃ 3.3317

e.2) Tracciare i diagrammi asintotici di Bode delle ampiezze e delle fasi della funzione Ge(s).

Soluzione.

I diagrammi “asintotici” di Bode della funzione Gd(s) sono mostrati in Fig. 4.

I diagrammi di Bode delle ampiezze e delle fasi della funzione Ge(s) sono mostrati in Fig. 5.

Le funzioni approssimanti G₀(s) e G_∞(s) per ω → 0 ed ω → ∞ sono le seguenti:

G0(s) = 4, G_∞(s) = 4 s Le corrispondenti fasi ϕ0 e ϕ_∞ hanno il seguente valore:

ϕ0 = 0, ϕ_∞ = −π

2 ≡ 3π 2 .

Sul diagramma asintotico delle ampiezze il guadagno statico β e il guadagno γ alla pulsazione ω = 10 sono:

β = |G⁰(s)|s=0 = 4 = 12 db, γ = |G∞(s)|s=10 = 0.4 = −8 db.

e.3) Disegnare qualitativamente il diagramma di Nyquist “completo” della funzione Ge(s). Cal- colare esattamente la posizione σa di un eventuale asintoto verticale, le eventuali intersezioni σ^∗_i con l’asse reale e i corrispondenti valori delle pulsazioni ω^∗_i.

(6)

Diagramma asintotico dei moduli

0.1 0

X.

1 -1

o.

10 0

X.

-1

-40.

-20.

0.

20.

Diagramma a gradoni delle fasi

0.1 X.

1 o.

10 X.

0.

90.

180.

270.

G0(s)

G∞(s) β

γ

ϕ∞

ϕ0

Figura 4: Diagrammi asintotici di Bode della funzione G^d(s).

10^-2 10^-1 10⁰ 10¹ 10²

-30 -20 -10 0 10 20 30

Mag (db)

10^-2 10^-1 10⁰ 10¹ 10²

Frequency [rad/s]

0 45 90 135 180 225 270

Phase (deg)

Diagramma delle fasi β

γ G0(s)

G∞(s)

Figura 5: Diagrammi di Bode della funzione Ge(s).

(7)

-1 0 1 2 3 4 5 Real

-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

Imag

0.01 0.015 0.022 0.027 0.033 0.039 0.047 0.056 0.068 0.082 0.12 0.1

0.15 0.18 0.22 0.27 0.33 0.39 0.47 0.68

1 1.5 2.7 5.6

12 33

Figura 6: Diagramma di Nyquist della funzione G^e(s) per ω ∈ [0, ∞].

Soluzione. Il diagramma di Nyquist della funzione Ge(s) `e mostrato in Fig. 6. La fase iniziale del sistema `e ϕ0 = 0. Per ω → 0⁺ il diagramma parte in anticipo rispetto alla fase iniziale:

∆τ = 1 + 10 + 1

10 = 11.1 > 0.

Il sistema ´e di tipo 0 per cui non esiste nessun asintoto. La variazione di fase

∆ϕ = 3π 2

indica che il vettore G(jω) ruota di ^3π₂ in senso antiorario per raggiungere la fase finale ϕ_∞= ^3π₂ . Esiste una sola intersezione σ^∗ con l’asse reale:

σ^∗ = − 1

K^∗ = − 40

101 = 0.396 in corrispondenza della pulsazione ω^∗ = 3.3317.

f) Si faccia riferimento ai diagrammi di Bode della funzione G(s) mostrati in figura.

(8)

f.1) Nei limiti della precisione consentita dal grafico, ricavare l’espressione analitica della funzione G(s).

G(s) = 10000(s²+ 0.04s + 0.1²)(s − 30) s(s + 2)²(s²+ 25s + 100²) . Stimare in modo approssimato eventuali valori di δ.

f.2) Calcolare la risposta a regime y_∞(t) del sistema G(s) quando in ingresso `e presente il segnale:

x(t) = 3 cos(10 t − ^π₃).

10^-2 10^-1 10⁰ 10¹ 10² 10³

-30 -20 -10 0 10 20 30

Mag (db)

10^-2 10^-1 10⁰ 10¹ 10² 10³

Frequency [rad/s]

-180 -135 -90 -450 45 90 135 180 225 270

Phase (deg)

Diagramma delle fasi

La risposta a regime del sistema G(s) al segnale dato `e la seguente:

y_∞(t) = 3 |G(10 j)| cos(10 t − ^π3 + arg G(10 j)) ≃ 9.21 cos(10 t − ^π3 + 92.50^◦).

Infatti si ha che G(10j) ≃ 3.0701 e^92.50^◦^j.

f.1) La funzione di trasferimento del sistema `e la seguente:

G(s) ≃ 10000(s²+ 0.04s + 0.1²)(s − 30) s(s + 2)²(s²+ 25s + 100²) .

Il valore K = 10000 si determina, per esempio, calcolando il modulo γ dell’approssimante G_∞(s) in corrispondenza della pulsazione ω = 100:

|G∞(s)|s=100 j =

K s² 100 j

= K

100² = γ ≃ 0 db ≃ 1 → K ≃ 10000.

Il coefficiente di smorzamento δ1 della coppia di zeri complessi coniugati stabili `e il seguente:

δ1 = 1 2Mωn

= 1

5 = 0.2.

La distanza Mωn ≃ 8 db = 2.5 si legge dal diagramma dei moduli in corrispondenza della pulsazione ω = 0.1.

Il coefficiente di smorzamento δ₂ della coppia di poli complessi coniugati stabili `e il seguente:

δ2 = 1 2Mωn

= 1

8 = 0.1250.

La distanza Mωn ≃ 12 db = 4 si legge dal diagramma dei moduli in corrispondenza della pulsazione ω = 100.

(9)

Controlli Automatici - Prima parte 20 Giugno 2018 - Domande

Nome:

Nr. Mat.

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Si risponda alle seguenti domande.

1. Scrivere, in funzione dei segnali x(t) e y(t), l’equazione differenziale corrispondente alla seguente funzione di trasferimento:

G(s) = Y (s)

X(s) = (s + 2)²

s³+ 3 s²+ 5 s + 2 → ...

y + 3 ¨y + 5 ˙y + 2 y = ¨x + 4 ˙x + 4 x 2. Calcolare il segnale sinusoidale in ingresso x(t) del seguente sistema quando in uscita, a regime,

`e presente il segnale sinusoidale y(t):

x(t) = 16 sin(2t) _- 3

(s + 2)² ^-

y(t) ≃ 6 sin(2t − 90^◦)

3. Sia dato il diagramma di Nyquist (vedi figura) della seguente funzione ^3(1−s)_(s+1)2. Utilizzando il criterio di Nyquist `e possi-

bile affermare che il sistema retroazionato K G(s) `e stabile per i seguenti valori di K:

K1^∗ < K < K₂^∗ < 0;

N K₁^∗ < K < K₂^∗; 0 < K1^∗ < K < K₂^∗; (K < K1^∗) ∪ (K > K2^∗);

Indicare i valori dei parametri K₁^∗ e K₂^∗: K₁^∗ = −1

3, K₂^∗ = 2 3

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

Real -4

-3 -2 -1 0 1 2

Imag

0.1 0.15 0.18 0.22 0.27 0.390.33 0.56 0.47 0.68 0.82 1 1.2

1.5 1.8

2.22.73.3 4.7 6.8

15

4. Disegnare l’andamento qualitativo y₁(t) della risposta al gradino unitario del seguente sistema:

G(s) = 160(2 + 0.3s)(s²+ 10s + 40²)

(2s + 16)(2s + 15)²(s²+ 12s + 100)(s²+ 0.6s + 16) Calcolare inoltre:

a) il valore a regime y_∞ della risposta al gradino per t → ∞;

b) il tempo di assestamento Tadella risposta al gradino y1(t);

c) il periodo Tω dell’eventuale oscillazione smorzata presente sul segnale y1(t):

y_∞ = 0.0888, Ta ≃ _0.3³ = 10 s, Tω ≃ ^π₂ = 1.57.

0 2 4 6 8 10 12 14 16

Time [s]

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16

0.18 Risposta al gradino

y(t)

y_∞

Ta

Tω

5. Nella scomposizione in fratti semplici, qual `e la posizione p1,2 e il grado di molteplicit´a ν della coppia di poli complessi coniugati p1,2 = σ ±jω corrispondente all’andamento temporale g¹(t) = 2 t³e^{−4 t}sin(7 t + 5):

p1,2 = σ ± jω = −4 ± j 7, ν = 4.

(10)

6. Calcolare il valore iniziale y0 = lim

t→0⁺y(t) e il valore finale y_∞ = lim

t→∞y(t) del segnale y(t) corrispondente alla seguente trasformata di Laplace Y (s):

Y (s) = 3 (4s − 5)(s + 1)²

s[(s + 2)² + 1] → y0 = ∞, y_∞= −3

7. In figura sono mostrati i diagrammi di Bode di un sistema lineare G(s) a fase minima. Nei limiti della precisione del grafico, calcolare:

a) la posizione della coppia di poli domi- nanti p1,2 del sistema G(s):

p1,2 ≃ −0.05 ± j 0.503.

b) il tempo di assestamento Ta della risposta al gradino del sistema G(s):

Ta ≃ 3

0.05 s = 60 s.

c) il margine di fase del sistema G(s):

Mϕ ≃ −38.08^◦

d) il margine di ampiezza del sistema G(s):

Ma ≃ −28.26 db = 0.0386

10^-1 10⁰ 10¹

-20 -10 0 10 20 30 40 50 60

Mag (db)

10^-1 10⁰ 10¹

Frequency [rad/s]

-270 -240 -210 -180 -150 -120 -90 -60 -30 0

Phase (deg)

Diagramma delle fasi

8. Calcolare la posizione σa dell’asintoto verticale del diagramma di Nyquist della funzione G(s):

G(s) = (2 s + 3)(1 − 5 s)

s(s²+ 3 s + 5)(s + 6) → σa= 1 10

2

3− 5 − 3 5− 1

6

= −0.51 9. Calcolare i parametri a e b della funzione di trasferimento G(s) = _s+b^a caratterizzata da un

guadagno statico G(0) = −3 e da un tempo di assestamento T^a= 0.6 s alla risposta al gradino:

G(s) = a

s + b → a = −15, b = 5.

10. Un sistema G(s) retroazionato `e asintoticamente stabile se e solo se : N il margine di fase Mϕ > 0;

il margine di fase M^ϕ > 1;

il margine di ampiezza M^a> 0;

N il margine di ampiezza Ma> 1;

11. Calcolare l’evoluzione libera del sistema 2 ˙y(t) + 3 y(t) = 0 partendo dalla condizione iniziale y(0) = 5.

Applicando la trasformata di Laplace si ha:

2 (s Y (s) − 5) + 3 Y (s) = 0 → Y (s) = 5

s + 1.5 → y(t) = 5 e^{−1.5 t}. 12. Il picco di risonanza MR di un sistema del 2^◦ ordine `e:

M^R= ¹

2δ√

1−2δ² M^R=₂^√ ^δ

1−2δ² M^R=₂^√^δ

1−δ² N MR= ¹

2δ√ 1−δ²

13. Scrivere il modulo M (ω) = |G(jω)| e la fase ϕ(ω) = arg G(jω) della funzione di risposta armonica del seguente sistema G(s) supponendo t₀ > 0:

G(s) = (3 − 2 s)(2 s + 1)

s²(s − 4)² e^{−2 t}⁰^s → (M(ω) = ^√^9+4ω_ω2(16+ω²^√^1+4ω²) ²

ϕ(ω) = − arctan^2ω3 + arctan 2ω − 3π + 2 arctan ^ω4 − 2 t⁰ω