Registro delle Lezioni di Analisi Matematica 2 (a.a. 2020/21) SETTIMANA 1
Richiami sullo spazio Rn come spazio metrico e vettoriale. Coordinate polari e polari ellittiche di un punto nel piano. Curve in Rn, sostegno di una curva. Interpretazione cinematica. Orientamento di una curva. Curve semplici e chiuse. Esempi: circonferenza, ellisse, cuspide, strofoide. Equazioni cartesiane e polari di una curva piana. spirale archimedea e logaritmica. Elica cilindrica, bordo della finestra di Viviani
SETTIMANA 2
Curve di classe C1 e C1 a tratti. Punto regolare di una curva. Curve regolari e regolari a tratti. Retta tangente e vettore tangente al sostegno di una curva regolare. Curve equivalenti, curva geometrica e proprietà geometriche di una curva. Esempi: circonferenza, ellisse, cuspide, astroide, elica cilindrica, cardioide. Lunghezza di una curva e Teorema di rettificabilità. Ascissa curvilinea e proprietà delle curve parametrizzate mediante ascissa curvilinea.
SETTIMANA 3
Versore normale, binormale, piano osculatore, curvatura, circonferenza osculatrice e torsione per curve biregolari in R3. Equazioni di Frenet. Teorema fondamentale delle curve in R^3. Versore normale orientato e curvatura orientata per una curva in R^2. Teorema fondamentale delle curve in R^2.
Topologia di Rn: definizione di intorno circolare, di insieme aperto, chiuso, limitato e compatto. Punti interni, punti esterni, punti di frontiera. Interno, frontiera e chiusura di un insieme.
SETTIMANA 4
Funzioni di due variabili reali: dominio, immagine, grafico, insiemi di livello. Punti di accumulazione e punti isolati. Limite per funzioni di due variabili. Teorema di unicità del limite, Teorema della permanenza del segno e del confronto tra limiti, algebra dei limiti.
Condizione necessaria per l'esistenza del limite, passaggio alle coordinate polari e condizione necessaria e sufficiente per il calcolo dei limiti. Funzioni continue, continuità parziale. Teorema della permanenza del segno, massimi e minimi assoluti. Teorema di Weierstrass. Insiemi connessi per archi, convessi e stellati. Aperti connessi, Teorema dei valori intermedi
SETTIMANA 5
Funzioni derivabili parzialmente e vettore gradiente. Significato geometrico della derivata parziale: rette tangenti. Regole di derivazione. Primo teorema di derivazione delle funzioni composte. Derivata direzionale e significato geometrico. Funzioni differenziabili, interpretazione geometrica. Derivabilità delle funzioni differenziabili (dim), Formula di Taylor del primo ordine e piano tangente. Piano tangente. Condizione equivalente alla differenziabilità. Proprietà di continuità delle funzioni differenziabili (dim). Teorema del gradiente (dime) e interpretazione geometrica del gradiente. Teorema del differenziale (dim). Secondo teorema di derivazione delle funzioni composte (dim). Vettore gradiente e curve di livello. Teorema sulle funzioni con gradiente nullo in un aperto connesso (dim).
Terzo teorema di derivazione delle funzioni composte.
SETTIMANA 6
Massimi e minimi relativi. Teorema di Fermat (dim). Derivate parziali seconde e matrice hessiana, Teorema di Schwarz. Formula di Taylor del II ordine. Matrici definite positive e negative e matrici indefinite. Teorema di caratterizzazione delle matrici definite positive e negative (cenno dim). Teorema sulla condizione sufficiente per l'esistenza di massimi e minimi relativi (dim). Test delle derivate parziali seconde per l'esistenza di massimi e minimi relativi. Esempi di ricerca di massimi e minimi relativi. Massimi e minimi assoluti in domini compatti.