Matematica della Distanza
Fabio Bagagiolo
Università degli Studi di Trento
Liceo Scientifico “G. Galilei” – Belluno Febbraio 2007
MATEMATICA
• “Disciplina che si avvale di metodi
deduttivi per lo studio di insiemi dotati di strutture e per l’applicazione dei suoi
risultati alle scienze.”
DISTANZA
• “Intervallo di spazio che intercorre tra due cose, luoghi o persone”.
• (mat.) - di due punti, “lunghezza del
segmento che ha per estremi i due punti”.
• Vedremo che non ci occuperemo solo di punti e di segmenti che li uniscono.
MATEMATICA DELLA DISTANZA
• Potremmo dire che matematica della
distanza significa “disciplina che si avvale dei metodi deduttivi per lo studio di insiemi dotati della struttura distanza, cioè studio degli spazi che intercorrono tra gli
elementi dell’insieme”.
• Daremo un breve cenno alla definizione astratta di insiemi dotati della struttura di distanza, gli spazi metrici.
Indice
• Distanza di due punti nel piano: come si calcola;
• Altri tipi di “distanze”;
• Generalizzazione del concetto di distanza:
proprietà che esso deve soddisfare;
• Argomenti correlati: topologia, curve di lunghezza minima, geometrie non
euclidee, approssimazione.
DISTANZA DI DUE PUNTI NEL PIANO
Distanza euclidea nel piano (teorema di Pitagora)
x y
) , (x1 y1
) ,
(x2 y2
x1 x2
y1
y2
2 2 1
2 2
1 ) ( )
(x x y y
1
2 x
x
1
2 y
y
Euclide di Alessandria
325 a. C. circa – 265 a. C. circa
Pitagora di Samo
569 a. C. circa – 475 a. C. circa
Distanza euclidea nello spazio 3D
• La distanza di due punti P e Q, di
coordinate
rispettivamente
• è
) ,
, (
), ,
,
(x1 y1 z1 x2 y2 z2
2 2 1
2 2 1
2 2
1 ) ( ) ( )
(x x y y z z
x1
x
y1 y2
z1
z2 2
2 1
2 2 1 2
2
1 ) ( ) ( )
(x x y y z z
Q P
2
2 ( )
)
(x x y y
2
1 z
z
• La distanza (euclidea) di due punti è:
• la radice quadrata della somma dei quadrati delle
differenze delle
coordinate omonime dei punti
2 2 1
2 2 1 2
2
1 ) ( ) ( )
(x x y y z z
2 2 1
2 2
1 ) ( )
(x x y y
ALTRI TIPI DI DISTANZE
Tassista a Manhattan
Il Tassista a Manhattan
B
Il Tassista a Manhattan
B
A
???
Il Tassista a Manhattan
B
Distanza (A,B):
Tre blocchi verticali + Tre blocchi orizzontali Ogni blocco 2 dollari.
Totale: 12 dollari
Il Tassista a Manhattan
B
A
Distanza (A,B):
Tre blocchi verticali + Tre blocchi orizzontali Ogni blocco 2 dollari.
Totale: 12 dollari
Cosa significa nel piano Cartesiano?
• Distanza del tassista
x1 x2
y2
y1
) ,
(x2 y2 B
) ,
(x1 y1 A
Distanza euclidea e distanza del tassista
5 )
1 2 ( )
7 5 ( )
,
(A B 2 2 d
A=(5,2)
B=(7,1)
7 5
2 1
(distanza euclidea)
3
| 1 2
|
| 7 5
| ) ,
(A B
dT (distanza del tassista)
Il Tassista in Promozione
• E se il tassista di Manhattan è in vena di sconti? e fa la seguente promozione:
• Paghi solo il pezzo di blocchi, verticale o orizzontale, più lungo che mi fai percorre.
• Esempio: se si percorrono tre blocchi in orizzontale e due in verticale, si paga solo il tragitto pari ai blocchi in orizzontale
Il Tassista a Manhattan, scontato
B
A
Due blocchi verticali + Tre blocchi orizzontali
Il Tassista a Manhattan, scontato
B
Due blocchi verticali + Tre blocchi orizzontali Paghi solo i tre blocchi
orizzontali. 2 dollari a blocco:
Totale: 6 dollari (invece che 10)
Nel piano Cartesiano
• Distanza del tassista scontato (distanza infinito)
) , (x1 y1 A
x1 x2
y2
y1
) ,
(x2 y2 B
Distanza euclidea, distanza del tassista e distanza infinito
5 )
1 2 ( ) 7 5 ( )
,
(A B 2 2 d
3
| 1 2
|
| 7 5
| ) ,
(A B dT
A=(5,2)
B=(7,1)
7 5
2 1
(distanza euclidea) (distanza del tassista)
SUL CONCETTO DI DISTANZA
• Abbiamo visto tre possibili distanze tra i punti del piano e le loro rispettive formule analitiche
Distanza eucildea
(x1, y1), (x2, y2 ) (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
d
Distanza del tassista
(x1, y1), (x2 , y2 ) | x1 x2 | | y1 y2 |
dT
Distanza infinito
(x1, y1),(x2 , y2) max| x1 x2 |,| y1 y2 |
d
Alcune domande
• Quante distanze possiamo definire tra i punti del piano?
• Qualunque formula analitica che coinvolge le coordinate dei punti definisce una distanza tra di essi? Per esempio
1 1 2 2 1 2 2 2 1
1 (x , y ),(x , y ) 3x ( y x ) y
d
Alcune domande
• Ma cosa intendiamo per “distanza” tra i punti?
• Quali proprietà deve soddisfare una
formula analitica per poter rappresentare un “buon concetto” di distanza?
• Siamo in grado di identificare le proprietà essenziali che il nostro concetto intuitivo di distanza deve soddisfare?
Alcune domande
• E se individuiamo queste proprietà
essenziali, siamo in grado di formalizzarle in modo astratto, e quindi poterle applicare a situazioni ben diverse tra loro?
• PROVIAMOCI !
• Riprendiamo l’esempio fatto poco fa.
• E’ un “buon concetto” di distanza?
• Calcoliamo
• Ci può andare bene?
• Certo che no!
1 1 2 2 1 2 2 2 1
1 (x , y ),(x , y ) 3x ( y x ) y
d
(1,5),(2,3) 3 1 (3 2)2 5 3 1 5 1
1
d
• Se la distanza è, in qualche modo, legata a lunghezze di strade percorse, non
possiamo accettare che la distanza tra due punti possa essere un valore
negativo.
Tassista a Manhattan superscontato
• Supponiamo ore che il solito tassista a Manhattan faccia una promozione
maggiore rispetto a quella precedente (si paga solo il tragitto, orizzontale o verticale, più lungo)
• Supponiamo che dica: si paga solo il tragitto più corto dei due (verticale o orizzontale).
Il Tassista a Manhattan, superscontato
B
Due blocchi verticali + Tre blocchi orizzontali
Il Tassista a Manhattan, superscontato
B
A
Due blocchi verticali + Tre blocchi orizzontali Paghi solo i due blocchi verticali
2 dollari a blocco, totale 4
• Ma conviene al tassista di Manhattan fare questo tipo di sconto?
• Forse, qualche volta no!
• Infatti, consideriamo la seguente situazione:
Il Tassista a Manhattan, superscontato
A B
Tre blocchi orizzontali + Zero blocchi verticali
Totale: corsa a costo zero!
Il tassista superscontato nel piano cartesiano
• In coordinate cartesiane equivale alla seguente formula, per calcolare la distanza:
( 1, 1),( 2, 2) min| 1 2 |,| 1 2 |
2 x y x y x x y y
d
• Ma, per esempio succede che:
• Quindi, i due punti diversi (1,3) e (100,3) avrebbero distanza nulla!
• Questo non ci va bene! Due punti diversi non possono avere distanza nulla tra loro!
(1,3),(100,3) min|1 100 |,| 3 3 | min99,0 0
2
d
Definitezza positiva
• Riassumendo quanto detto finora:
condizione necessaria affinché una
formula analitica sia una distanza è che essa sia definita positiva, e cioè che:
1) Assuma solo valori maggiori o uguali a zero;
2) Il valore zero venga raggiunto solamente quando si calcola la distanza di un punto da se stesso.
Altro esempio
• Consideriamo la formula
• Questa è definita positiva, ma ha un altro difetto.
Infatti
• Questa distanza dipende dall’ordine con cui ho elencato i due punti! Non è simmetrica!
( 1, 1),( 2, 2) | 1 2 | | 1 2 | | 1 2 |
3 x y x y x x y y x y
d
(1,2),(2,5) 1 3 4 8 1 3 0 4 3(2,5),(1,2)
3 d
d
Simmetria
• Condizione necessaria affinché una
formula analitica sia una distanza è che essa sia simmetrica, cioè la distanza di A da B sia la stessa distanza di B da A.
Ovvero
• d(A,B)=d(B,A).
• La distanza non deve dipendere dall’ordine in cui elenco i due punti.
Ancora un’altra considerazione
• Abbiamo visto che, in un qualche modo, la distanza è legata alla lunghezza della
strada che devo percorrere per passare da un punto all’altro. Questo all’interno delle strade che mi sono consentite (il
segmento per la distanza euclidea, la
spezzata per la distanza del tassista ecc..)
Ancora un’altra considerazione
• E’ intuitivo che, se devo andare dal punto A al punto B, ma decido di passare prima anche dal punto C, la lunghezza della
strada percorsa allora aumenta, a meno che il punto C non si trovi proprio sulla strada tra A e B, nel qual caso la
lunghezza resta invariata.
Disuguaglianza triangolare
) ,
( )
, (
) ,
( A B d A C d C B
d
A
B C
A
B
C
Disuguaglianza triangolare
• Condizione necessaria affinché una formula analitica sia una distanza è che essa soddisfi alla disuguaglianza triangolare
) ,
( )
, (
) ,
( A B d A C d C B
d
Abbiamo finito
• Le proprietà che una formula analitica
deve avere affinché essa sia una distanza sono esattamente le seguenti:
• Essere definita positiva;
• Essere simmetrica;
• Soddisfare alla disuguaglianza triangolare.
Un’astrazione
• Dato un insieme qualunque X, una
distanza su X è una funzione (una legge, una regola…) che ad ogni coppia di
elementi di X, (P,Q), associa un numero reale che denotiamo con d(P,Q), e
chiamiamo distanza di P da Q, e tale funzione deve soddisfare a
Definitezza positiva
• d(P,Q)≥0 per ogni coppia (P,Q) di elementi di X;
• d(P,Q)=0 se e soltanto se P=Q.
Simmetria
• d(P,Q)=d(Q,P) per ogni coppia (P,Q) di elementi di X.
Disuguaglianza triangolare
• d(P,Q)≤d(P,Z)+d(Z,Q) per ogni P,Q,Z elementi di X.
Una definizione astratta
• Uno spazio metrico è un insieme sul quale è definita una distanza.
• Il piano cartesiano con la distanza euclidea è uno spazio metrico;
• Il piano cartesiano con la distanza del tassista è uno spazio metrico;
• Il piano cartesiano con la distanza infinito è uno spazio metrico.
Un esercizio per casa
• Provare le tre affermazioni precedenti e cioè che il piano cartesiano con le tre distanze (euclidea, del tassista, infinito) è uno spazio metrico.
• Basta provare che la distanza euclidea, la
distanza del tassista e quella infinito sono una distanza.
• Basta provare che esse godono delle tre proprietà: definitezza positiva, simmetria, disuguaglianza triangolare.
• P.S. Alcune dimostrazioni non sono proprio semplicissime…
Un po’ di storia
• Il concetto astratto di spazio metrico, già latente nella matematica precedente, è stato comunque formalizzato all’inizio del XX secolo dal matematico tedesco (di
origini polacche) Felix Hausdorff.
FELIX HAUSDORFF 1868 - 1942
Ancora un po’ di storia
• Il considerare strutture matematiche astratte, cioè insiemi dotati di proprietà particolari (per esempio gli spazi metrici, insiemi dotati della funzione distanza) è un metodo che ha
caratterizzato tutta la matematica del ‘900 (e lo sta facendo anche per quella del 2000).
• Si tratta di identificare proprietà essenziali degli oggetti matematici con i quali si è sempre avuto a che fare (numeri, quattro operazioni, punti
rette e piani, funzioni …) e considerare insiemi
Ancora un po’ di storia
• In questo modo la mente del matematico che studia la problematica in questione, è concentrata solamente su quelle proprietà e non è distratta da altre proprietà (o da pregiudizi) legate all’oggetto iniziale che ha stimolato lo studio (numeri, quattro operazioni, punti rette e piani, funzioni …).
• Ad esempio, per studiare le proprietà della distanza (che sappiamo essere tre), considero un spazio metrico, che ha come unica
proprietà quella di avere definito una distanza su di esso. Se invece continuassi a pensare all’esempio del piano, potrei essere sviato da altre caratteristiche del piano, che non dipendono dalla distanza
(per esempio le rette e le figure geometriche del piano, il sistema di coordinate cartesiane, ecc …)
• L’aver studiato gli spazi metrici in “astratto” permette poi di applicare i risultati ottenuti alle più svariate situazioni, non appena esse
rientrano nella categoria “spazi metrici”, indipendentemente da chi siano gli elementi dell’insieme e da quale sia la distanza in
questione.
Ancora un po’ di storia
• Esempi di queste strutture astratte
introdotte dai matematici nel ‘900, sono (oltre agli spazi metrici):
• Gruppi, anelli, campi (algebra);
• Spazi vettoriali (algebra, geometria, analisi matematica);
• Spazi funzionali (analisi matematica).
• Una delle prime e delle più prolifiche è
TOPOLOGIA
• In realtà Hausdorff era più interessato ad un altro concetto, quello di spazio
topologico, di cui gli spazi metrici sono degli esempi importanti.
• Vediamo di dire qualcosa sugli spazi topologici.
La vicinanza
• Una volta che abbiamo una distanza su di un insieme, e cioè abbiamo uno spazio metrico, possiamo domandarci se due elementi sono vicini.
• Ma cosa vuol dire essere vicini?
• Due elementi sono vicini se la loro distanza è piccola.
• Bisognerebbe però dire cosa vuol dire piccola.
• Questo è ovviamente soggettivo e dipende dalle circostanze.
La vicinanza
• Quello che possiamo fare è definire quello che sta intorno ad un punto assegnato.
La vicinanza
• Quello che possiamo fare è definire quello che sta intorno ad un punto assegnato.
• Per fare questo, preso un punto P dello spazio metrico X, definiamo la palla di centro P e
raggio 1. E cioè gli elementi che distano da P meno di 1. Sono quindi elementi che stanno intorno a P.
| ( , ) 1
Q X d P Q B
La vicinanza
• In generale, la palla di centro P e raggio r>0 è
Q X d P Q r
Br | ( , )
La vicinanza
• Quindi, l’elemento Q è vicino al punto P se è contenuto in una palla centrata in P e di raggio opportunamente piccolo.
Tre esempi
• La palla di centro l’origine e raggio 1 per la distanza euclidea nel piano:
1 1
-1
-1
x y
Tre esempi
• La palla di centro l’origine e raggio 1 per la distanza del tassista nel piano (esercizio)
1 1
-1
-1 y
x
Tre esempi
• La palla di centro l’origine e raggio 1 per la distanza infinito nel piano (esercizio)
1 1
-1
-1
x y
Stesso criterio di vicinanza nel piano
• In realtà, le tre distanze nel piano che
abbiamo analizzato, pur essendo tra loro diverse, definiscono lo stesso criterio di vicinanza per i punti del piano.
Stesso criterio di vicinanza nel piano
• Infatti, un punto P è vicino all’origine per la distanza euclidea se è contenuto in una palla (per la distanza euclidea) di centro l’origine e raggio r piccolo.
• Ma questa contiene una palla per la distanza del tassista centrata nell’origine e di raggio r, che a sua volta contiene una palla per la distanza
infinito, di centro l’origine e un raggio r’<r.
Quest’ultima contiene a sua volta una palla (per la distanza euclidea) di centro l’origine e raggio
Palle annidiate
Stesso criterio di vicinanza nel piano
• Quindi, se essere vicini all’origine significa avere una distanza da essa, per esempio,
inferiore a 1, allora, qualunque sia la distanza considerata (euclidea, del tassista, infinito)
troviamo un raggio r<1 tale che se P dista
dall’origine, per tale distanza, meno di r, allora, per le altre due distanze, dista dall’origine
meno di 1.
• Quindi P è vicino all’origine per tutte tre le distanze.
Stesso criterio di vicinanza nel piano
1 )
, (
), ,
1 ( )
,
(P O d P O d P O d
1
1/2 P
Stesso criterio di vicinanza nel piano
1 P
1 )
, (
), ,
( 1
) ,
(P O d P O d P O dT
Stesso criterio di vicinanza nel piano
1 )
, (
), ,
1 ( )
,
(P O d P O d P O d
1 P
Spazio topologico
• Uno “spazio topologico” è un insieme sul quale è definito un “criterio di vicinanza” , ovvero per ogni suo elemento è definito ciò che ci sta intorno
(anche indipendentemente da una distanza, ovvero uno spazio topologico non è
necessariamente uno spazio metrico).
• Cioè, per ogni elemento abbiamo un criterio per dire se altri elementi sono più o meno vicini ad esso.
• Uno spazio metrico è uno spazio topologico e il
Il concetto di limite
• I “criteri di vicinanza” (ovvero gli spazi
topologici) sono legati anche ai concetti di
“limite” e di “continuità”.
• In uno spazio topologico, una successione di elementi P1,P2,P3,P4,P5…,Pn,…
converge ad un elemento P se:
• Pur di prendere n grande opportunamente, Pn è “vicino” a P quanto vogliamo.
Limite nel piano
• Poiché le tre distanze nel piano cartesiano viste prima definiscono il medesimo criterio di
vicinanza, abbiamo che esse definiscono anche le medesime convergenze nel piano, ovvero
definiscono la medesima “topologia”.
• Infatti P1,P2,P3,P4…,Pn,… converge a P, per una delle tre distanze, se, pur di prendere n
opportunamente grande Pn è contenuto in una palla centrata in P e di raggio piccolo a piacere.
Limite nel piano
P1 P2
P3 P4 P5
P6
P Pn
Il piano ha dimensione finita
• Il fatto che, nel piano, le distanze, sebbene diverse, definiscano comunque il
medesimo criterio di vicinanza, ovvero la medesima topologia, dipende dal fatto che il piano ha dimensione finita (due).
• Vedremo poi un esempio in dimensione infinita, in cui distanze diverse definiscono criteri di vicinanza (e di convergenza)
diversi.
Un esercizio
• Quale distanza “naturale” (euclidea) possiamo considerare sulla retta dei
numeri reali (dimensione 1), affinché essa sia uno spazio metrico?
• Quali sono le palle per tale distanza?
• Riconosciamo l’usuale definizione di limite (epsilon-delta), tramite il criterio di
vicinanza come spazio metrico?
Curve di lunghezza minima e geometrie non euclidee
Curve di lunghezza minima
• Abbiamo visto che la distanza tra punti nel piano è legata alla lunghezza di curve (tragitti) che
collegano i due punti.
• Ad esempio la distanza euclidea o del tassista è la lunghezza minima che è necessario
percorrere per andare da un punto all’altro, lungo le “strade che sono ammesse”.
• Ammessa qualunque strada, per la distanza euclidea
• Ammesse le spezzate, per la distanza del tassista.
Distanza euclidea nel piano
Distanza del tassista
B
A
Curve di lunghezza minima, tra tutte le spezzate
Subito un’osservazione
• La curva di lunghezza minima non è necessariamente unica.
• E’ unica nel caso della distanza euclidea.
• Non è unica nel caso della distanza del tassista.
Curve di lunghezza minima
• Ci interessano i casi in cui la curva di lunghezza minima è unica (come per il piano con la distanza euclidea).
• Chi sono le curve di lunghezza minima nel piano euclideo?
• SONO LE RETTE (o i segmenti di retta).
• Quindi, la curva di lunghezza minima è legata all’idea di “andare diritto”, cioè in linea retta.
Curve di lunghezza minima
• Se in uno spazio metrico X, qualunque siano i punti P e Q, esiste un’unica curva di lunghezza minima che li congiunge, allora tale curva
corrisponde al concetto di linea retta per lo spazio metrico X.
• L’ignaro “abitante” dello spazio metrico X, che non vede nulla al di fuori di esso, quando si
muove lungo tale curva “pensa” di muoversi in linea retta.
• Anche se, vista da un altro ambiente, tale curva è
Curve di lunghezza minima
Il nostro omino “vede” solo la linea rossa e tutte le altre curve nello spazio X (quelle gialle, viola, verdi…). L’unica di lunghezza minima è la rossa.
Muovendosi lungo di essa egli è convinto di andare in linea retta.
Noi, però, “dall’alto”, vediamo
Dalla vita reale
• Quando noi camminiamo in linea retta (ad
esempio lungo le rotaie della ferrovia), andiamo per davvero in linea retta?
Dalla vita reale
• NO! Non stiamo andando “veramente” in linea retta.
• Stiamo percorrendo la curva di minima lunghezza che collega due punti sulla superficie terrestre.
Dalla vita reale
• Noi, in generale, non abbiamo la percezione della rotondità della terra. Per noi la terra è piatta. E’
un piano.
• Noi siamo come abitanti della superficie terrestre che vedono solo la superficie stessa che sta loro intorno.
• Siamo come l’omino del disegno precedente, abitante dello spazio metrico X.
• La nostra terza dimensione (l’altezza) è talmente piccola rispetto al raggio terrestre che noi
possiamo essere assimilati ad abitanti 2-
Dalla vita reale
• Quando pensiamo di andare il linea retta, in realtà percorriamo un tragitto curvo sulla superficie terrestre.
• E non ce ne accorgiamo.
• Perché?
• Perché non vediamo altro che il tragitto che stiamo percorrendo ed eventuali altri tragitti possibili, però di lunghezza
maggiore.
Dalla vita reale
• Ma se facciamo la stessa cosa su di un pallone, disegnando con un pennarello un qualunque tragitto
sulla superficie di
esso, vediamo bene che nessuno di tali
segni potrà essere un segmento di retta!
Dalla vita reale
• La stessa cosa succede sulla superficie terrestre (che possiamo approssimare con la superficie di una sfera).
• Quindi cos’è la distanza di due punti sulla superficie terrestre?
• Se per distanza intendiamo la strada di minima lunghezza che possiamo percorre per andare da un punto all’altro, questa non è certo la distanza euclidea tra quei due punti nello spazio 3-
dimensionale
Un esempio 2-dimensionale
P
Q
Distanza euclidea Distanza sulla
superficie terrestre
Dalla vita reale
• Se misuriamo la distanza di due punti su di un campo di calcio, non misuriamo la loro distanza euclidea, ma la loro distanza sulla superficie
terrestre.
• Ma in quel caso, data la brevità del tragitto
rispetto al diametro terrestre, la differenza tra le due distanze è talmente piccola che, di fatto,
calcoliamo la stessa distanza in ambedue i casi.
• Ma cosa succede se dobbiamo misurare la
distanza tra Roma e New York?. La lunghezza del tragitto non è più trascurabile rispetto al
raggio terrestre.
Roma - New York
Geometria sulla sfera
• Quali sono le curve di minima lunghezza che collegano due punti sulla superficie della sfera?
• Si dimostra che esse sono l’arco di “equatore”
che collega i due punti.
• Per “equatore” si intende una qualunque
circonferenza ottenuta intersecando la sfera con un piano passante per il centro di essa.
• Un equatore è cioè una circonferenza sulla sfera, di raggio massimo (pari a quello della sfera).
• Queste curve si chiamano “geodetiche”.
Geodetiche
Geodetiche sulla Terra
• Assimilando la terra ad una sfera, i
meridiani sono tutti geodetiche, mentre tra i paralleli solo l’Equatore (quello vero, quello
geografico) è una geodetica.
Volo Roma New York
• Ne segue che, pur essendo Roma e New York più o meno alla stessa latitudine, le rotte aeree non seguono certo il parallelo che collega le due città, ma seguono la
geodetica, che passa più a nord, ma che è più corta.
Riemann
• I concetti di geodetica e di curva di
lunghezza minima sono stati studiati (e scoperti?) da Bernhard Riemann,
matematico tedesco dell’800.
Georg Friedrich Bernhard Riemann 1826 - 1866
Un’osservazione
• Se le geodetiche, cioè gli “equatori”, sono le
“rette” della superficie sferica, esistono rette parallele?
• Nel piano, due rette sono parallele se non si intersecano, cioè se non hanno alcun punto in comune.
• Ci sono rette sulla superficie sferica (cioè equatori) che non hanno alcun punto in comune?
• NO! Hanno sempre due punti in comune
Il quinto Postulato di Euclide
• Il famoso quinto postulato di Euclide, dice che: Data una retta r e dato un punto P
fuori di essa, esiste una ed una sola retta s passante per P e parallela a r.
r
s
Il quinto postulato di Euclide
• Sulla superficie sferica, il quinto postulato non è vero.
• Data una retta (un equatore) ed un punto fuori di essa, non esiste alcuna altra retta (equatore)
che passa per il punto e che sia parallela alla
retta data (cioè che abbia intersezione vuota con essa).
• La geometria sulla sfera non è una geometria euclidea!
• Sulle grandi distanze, anche nella nostra vita reale sulla Terra, dobbiamo tenerne conto.
Un po’ di storia
• Euclide formulò cinque postulati che stanno alla base della geometria (che da lui in poi si chiama euclidea) e che è la geometria “classica”.
• Per due punti passa una ed una sola, tutti gli angoli retti sono uguali, attorno ad ogni punto si può tracciare un cerchio di raggio a piacere, un segmento di retta può essere prolungato indefinitamente in linea retta…
• Un postulato (o assioma) è una proposizione che si assume per vera, senza doverla dimostrare.
• Per secoli però si è pensato che il quinto postulato
(quello delle parallele) si potesse provare a partire dai primi quattro.
Un po’ di storia
• La geometria sulla sfera, soddisfa ai primi quattro postulati, ma non al quinto.
• Questo prova che il postulato delle
parallele non è conseguenza dei primi quattro.
• Si possono quindi pensare “geometrie” in cui valgono solo i primi quattro postulati e non il quinto.
Negazione del quinto postulato
• Negare il quinto postulato significa assumere una delle seguenti ipotesi:
• Per un punto esterno ad una retta non passa alcuna retta parallela alla retta data (es.
geometria sulla sfera);
• Per un punto esterno ad una retta passa più di una retta parallela alla retta data (normalmenate infinite). Anche questa seconda ipotesi dà luogo ad interessanti geometrie non euclidee.
APPROSSIMAZIONE
• Diamo qui un esempio di distanza definita su un insieme i cui elementi (pur essendo oggetti matematici) non sono dei semplici
“punti geometrici”.
Necessità di approssimare:
misurazioni imprecise
• Non sempre è possibile misurare un
evento naturale, un fenomeno fisico, un esperimento in laboratorio, in modo
preciso. I nostri dati rilevati con la nostra indagine sono spesso parziali.
Necessità di approssimare: troppi parametri in gioco
• I modelli matematici che descrivono i fenomeni fisici e naturali sono quasi sempre anch’essi parziali, ovvero non possono tenere conto di tutti i parametri (spesso numerosissimi) che entrano in gioco nel fenomeno studiato.
Necessità di approssimare:
equazioni difficili da studiare
• Le equazioni che compaiono nei modelli
matematici che descrivono i fenomeni fisici e naturali sono inoltre spesso semplificate, per poterle studiare e risolvere meglio.
Caso tipico: semplificazione di equazioni non lineari in equazioni lineari.
Necessità di approssimare: i computers più di tanto non fanno
• Per poter implementare un modello matematico in un computer e fare così dei calcoli che
possano rappresentare, per esempio,
l’evoluzione futura del fenomeno che si sta studiando, è necessario fare ulteriori
semplificazioni. Questo perché i computers,
anche i più potenti, riescono a fare i calcoli con un numero finito di dati, mentre spesso le
equazioni del modello matematico comportano un numero infinito di dati.
Un esempio
• Supponiamo di dover registrare un segnale
sonoro, per poi, per esempio, implementarne i dati in un computer, pulirlo da eventuali “rumori”
(disturbi), comprimerlo, studiarne le caratteristiche principali, ecc...
• Ovviamente è solo un esempio, che non vuol rappresentare nessuna situazione pratica.
• Al posto del segnale sonoro può esserci
l’evoluzione della temperatura in una barra di metallo, l’andamento di un titolo in borsa, la
deformazione di una barra elastica posta sotto sforzo, ecc….
Un esempio
• Un segnale sonoro è tipicamente
rappresentato da una sinusoide, ma vari disturbi possono esserci nella produzioni di esso, nella trasmissione, nella ricezione.
• Supponiamo che esso sia rappresentato dal seguente grafico
Un esempio
• Ampiezza del segnale in funzione del tempo, nell’intervallo temporale [0,T]
t A
0 t’ T
A(t’)
Un esempio
• Noi però non siamo in grado di misurare e
memorizzare l’ampiezza del segnale per ognuno degli (infiniti) istanti dell’intervallo [0,T] (per
esempio T=1 minuto). Ma possiamo misurare e memorizzare il dato ampiezza solo per un
numero finito di istanti: per esempio 0, t1, t2, t3, t4, t5, T.
• Con questi soli dati a disposizione, cioè le 7
coppie (0,A(0)), (t1,A(t1)), (t2,A(t2)),… (T,A(T)), possiamo pensare di “approssimare” il segnale
Un esempio
t A
0 t1 t2 t3 t4 t5 T
Un esempio
• L’idea è che, più dati riesco a misurare e a memorizzare, cioè più sono i “nodi
temporali” t1, t2, t3…., costruendo poi
l’interpolata lineare, meglio approssimo il segnale vero in arrivo.
Un esempio
t A
0 t1 t2 t3 t4 t5 T
s1
s2
s3
s4 s5
Un esempio
t A
0 t1 t2 t3 t4 t5 T
s1
s2
s3
s4 s5
Un esempio
t A
0 t1 t2 t3 t4 t5 T
s1
s2
s3
s4 s5
Un esempio
t A
0 t1 t2 t3 t4 t5 T
s1
s2
s3
s4 s5
Un esempio
• Nessuno ha dubbi sul fatto che, delle tre interpolate lineari, la terza sia quella che meglio approssima il segnale vero.
Alcune domande
• Quindi, la terza interpolata lineare meglio approssima il segnale.
• Ma cosa vuol dire “meglio approssima il segnale”?
• Vuol dire “è più vicina al segnale”
• Ma cosa vuol dire “è più vicina al segnale”?
• Vuol dire che la sua distanza dal segnale è la più piccola, dei tre casi.
• Già, ma di quale distanza stiamo parlando?
• Non abbiamo mai definito una distanza tra
Distanza tra funzioni
• Cos’è che diventa più piccolo nel passare dalla prima interpolata, alla seconda e alla terza?
• Rivediamo la sequenza
