ESERCIZI su FUNZIONI INTEGRABILI, parte 1 Provare di ciascuna delle seguenti a↵ermazioni se `e vera o falsa

13. ESERCIZI su FUNZIONI INTEGRABILI, parte 1 Provare di ciascuna delle seguenti a↵ermazioni se `e vera o falsa.

1. Sia f : [a, b]! R una funzione continua tale cheRb

af (x) dx = 0. Allora A. f (x) = 0 per ogni x2 [a, b].

B. Esiste x0 2 [a, b] tale che f(x0) = 0.

C. Se G(x) `e una primitiva di f (x) in [a, b] allora G(b) = G(a).

2. Sia f (x) funzione continua e decrescente in [0, +1) con lim_x

!+1f (x) = 0. Posto F (x) =R_x

0 f (t) dt si ha

A. F (x) `e crescente B. F (x) `e concava C. lim

x!+1F (x) = +1

3. Sia f (x) funzione continua e limitata in [0, +1) e F (x) =R_x

0 f (t) dt per ogni x2 [0, +1). Allora A. esiste lim

x!+1F (x) B. lim

x!+1 F (x)

x = 0 C. lim

x!+1 F (x)

x² = 0

Calcolare i seguenti integrali riconducendoli a integrali immediati 4.

Z

1

xcos(log x) dx 5.

Z 1

x(log²(3x) + 1)dx 6.

Z x

p1 x⁴ dx

7.

Z e^1x 1 x² dx 8.

Z cosh x sinh x pcosh⁴x + 1dx

9.

Z log(p x + 1)

px dx

10.

Z x 1

x²+ 2x + 3dx

11.

Z 2x 1

x² 4x + 4dx

12.

Z x + 1 4x²+ 5dx

13.

Z

cos x(sin³x + cos²x + 1) dx

14.

Z

cos³x dx

15.

Z

cosh²x sinh³x dx

16.

Z

tan⁵x dx

. Risolvere gli esercizi 1-16 del libro di testo

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Per calcolare i precedenti integrali occorrer`a ricordare i seguenti integrali immediati

• Z

f (x)^↵f⁰(x) dx = ^{f (x)}_↵+1^↵+1 + c, ↵6= 1

•

Z f⁰(x)

f (x) dx = log|f(x)| + c

• Z

e^{f (x)}f⁰(x) dx = e^{f (x)}+ c

• Z

sin(f (x))f⁰(x) dx = cos(f (x)) + c

• Z

cos(f (x))f⁰(x) dx = sin(f (x)) + c

•

Z f⁰(x)

cos²(f (x))dx = tan(f (x)) + c

• Z

sinh f (x)f⁰(x) dx = cosh(f (x)) + c

• Z

cosh f (x)f⁰(x) dx = sinh(f (x)) + c

•

Z f⁰(x)

1+f (x)² dx = arctan(f (x)) + c

•

Z pf⁰(x)

1 f (x)²dx = arcsin(f (x)) + c

•

Z pf⁰(x)

f (x)²+1dx = settsinh (f (x)) + c = log(x +p

x²+ 1) + c

•

Z pf⁰(x)

f (x)² 1dx = settcosh (f (x)) + c = log(x +p

x² 1) + c

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