Trasformazioni di posizione

(1)

∆ ∆

Unità 6

Trasformazione dei dati. Z-

scores.

(2)

∆

Trasformazioni di posizione

STATISTICA - Università di Salerno

Y = + a X

X x

x a

y = +

2

(3)

∆

Esempio

Anno Spese

1993 133.823

1994 129.751

1995 126.694

1996 132.433

1997 143.637

Totale 666.338

Spese impegnate delle amministrazioni regionali, provinciali e comunali - Anni 1993-97

Fonte: Annuario Statistico Italiano 2000

6 , 267 .

5 133 338 .

666 5 1

⁵

1

=

= ∑

= i

x

i

x

3

(4)

∆

Problema

• La spesa media negli anni 1993-1997 è stata pari a 133,267.6 miliardi

• Una riduzione di 1500 miliardi in ogni anno di quanto avrebbe ridotto la spesa media?

• La spesa media si riduce a 1317,67.6 miliardi, ottenuto come 133,267.6 - 1500

STATISTICA - Università di Salerno 4

(5)

∆

Trasformazioni di posizione

Anno Spese

1993 133.823

1994 129.751

1995 126.694

1996 132.433

1997 143.637

Totale 666.338

Y

132.323 128.251 125.194 130.933 142.137 658.838

1 1 1500

y = −x

2 2 1500

y = −x

3 3 1500

y = −x

4 4 1500

y = −x

5 5 1500

y = −x

6 , 767 .

131 500

. 1

6 , 767 .

5 131 838 .

658 5

1

⁵

1

=

−

=

= ∑

=

x y

y y

i

5

(6)

∆

Trasformazioni di scala

Y = ⋅ b X

X x

x b y = ⋅

6

(7)

∆

Trasformazioni di scala

• La spesa media negli anni 1993-1997 è stata pari a 133.267,6 miliardi

• Una riduzione di 10% in ogni anno di quanto avrebbe ridotto la spesa media?

• La spesa media si riduce a 119.940,84 miliardi, ottenuto come

84 , 940 .

119 6

, 267 .

133 90

, 0 6

, 267 .

133 )

10 , 0 1

(

6 , 267 .

133 10

, 0 6

, 267 .

133 =

⋅

=

⋅

−

=

⋅

−

7

(8)

∆

Esempio

Anno Spese

1993 133.823

1994 129.751

1995 126.694

1996 132.433

1997 143.637

Totale 666.338

Y

120.441 116.776 114.025 119.190 129.273 599.704

1 0.90 1

y = ⋅ x

2 0.90 2

y = ⋅ x

3 0.90 3

y = ⋅ x

4 0.90 4

y = ⋅ x

5 0.90 5

y = ⋅ x

8 , 940 .

119 6

, 267 .

133 90

, 0 90

, 0

8 , 940 .

5 119 704 .

599 5

1

⁵

1

=

⋅

=

⋅

=

= ∑

=

x y

y y

i

8

(9)

∆

Trasformazioni di scala e posizione

Y = + ⋅ a b X X

x b a

y = + ⋅ x

9

(10)

∆

Variabili standardizzate

• Un qualsiasi indice di forma dovrebbe

prescindere dalla posizione e dalla variabilità della distribuzione, per consentire confronti tra

fenomeni di natura diversa.

Standardizzazione di X

σ

x Z = X −

10

(11)

∆

Proprietà variabili standardizzate

• Due distribuzioni standardizzate possiedono stessa media e stessa varianza per cui sono sovrapponibili graficamente per una loro valutazione comparata.

= 0 z

2

= 1

σ

Z

11

(12)

∆ ∆

Unità 7

Il box-plot

(13)

∆

Box-plot

• Il box-plot è un grafico che fornisce

informazioni immediate, anche di tipo robusto, su aspetti diversi di una distribuzione. In

particolare riguardo a:

– Posizione – Variabilità – Forma

– Presenza di outliers

– Confronto tra distribuzioni diverse (mediante i

box-plot paralleli

)

(14)

∆

Box-plot: costruzione (1)

• Il box-plot è basato sui quartili e sui valori di minimo e di massimo di una variabile.

Min Q₁ Me Q₃ Max

(15)

∆

Box-plot: costruzione (2)

Usando i 5 valori di

sintesi, il box-plot viene costruito come

riportato a fianco.

Il box-plot viene anche chiamato grafico a scatola e baffi (box & whiskers plot)

Scatola

Baffi

15

(16)

∆

Identificazione outliers

• Osservazioni all’interno dell’intervallo [H1, H2] NON sono anomale

• Valori superiori ad H

₂

si ritengono valori eccezionalmente alti

• Valori inferiori ad H

₁

si ritengono eccezionalmente bassi

(

₃ ₁

)

1

Q 1 . 5 Q Q

H = − −

Valori cardine

(

₃ ₁

)

3

2

Q 1 . 5 Q Q

H = + −

16

(17)

∆

Box-plot: costruzione (3)

• Quindi, ai cinque valori precedente generalmente si aggiungono i due valori cardini utili per

l’individuazione degli outliers.

H₁ Min Q₁ Me Q₃ Max H₂

(18)

∆

Box-plot: costruzione (4)

Se nella serie sono

presenti valori anomali, allora il box-plot viene costruito come riportato a fianco.

N.B.:

• i valori anomali vengono evidenziati mediante punti o asterischi

• gli estremi dei “baffi”

vengono riportati in

corrispondenza degli estremi dei dati non anomali

18

(19)

∆

Box-plot: asimmetria positiva e outliers

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4

Posizione:

Mediana ≅0.08

Variabilità:

DQ = Q3-Q1

≅ 0.16-0.03 = 0.13

Asimmetria positiva:

Le prima metà della scatola è più piccola della seconda

Outliers:

Gli asterischi indicano la presenza di due valori eccezionalmente grandi

19

(20)

∆

Box-plot: asimmetria negativa e outliers

0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

Asimmetria negativa:

Le prima metà della scatola è più grande della seconda metà

Outliers:

Gli asterischi indicano la presenza di due valori eccezionalmente piccoli

Variabilità:

DQ = Q3-Q1

≅ 0.96-0.82 = 0.14

Posizione:

Mediana ≅0.915

20

(21)

∆

Box-plot: simmetria e valori anomali

-3 -2 -1 0 1 2 3

21