luce soggetti all’azione del vento

4

Stabilit` a dei ponti di grande

luce soggetti all’azione del vento

4.1 Premesse

Gli elementi portanti dei ponti di grande luce, sia in configurazione sospesa che strallata, sono i cavi e gli stralli. `E allora opportuno richiamare [4.13] qualche elemento della teoria classica alla Bernoulli dei cavi ed alcuni aspetti della risposta non lineare di cavi e stralli sviluppati da Pugsley [4.27], Irvine [4.22] e Dischinger [4.18].

4.1.1 Comportamento non lineare dei cavi

Si consideri un cavo perfettamente flessibile fissato ai suoi estremi nei punti A e B posti alla stessa quota ed a distanza `c (figura 4.1). Il cavo sia inoltre soggetto ad un carico distribuito verticale q(z). Detta N (z) la trazione che in esso si sviluppa per effetto del carico, le equazioni di equilibrio a traslazione per il generico elemento di cavo compreso fra le ascisse z e z +dz forniscono le condizioni:

H⁰= (N cos ϑ)⁰= 0 (4.1)

Hy⁰⁰(z) = −q(z) (4.2)

avendo indicato (·)⁰= ^d(·)_dz.

Dalla relazione (4.1) `e allora evidente che il tiro H, i.e. la componente orizzontale della trazione, risulta costante lungo il cavo.

In particolare, se si assume che il carico q sia uniformemente distribuito lungo z, l’integrale della (4.2) nel riferimento di figura 4.1 risulta banalmente:

y(z) = q

2Hz(`c− z) (4.3)

e la caratterizzazione della freccia f = y(`c/2) consente di determinare il tiro H come:

H =q`²_c

8f (4.4)

Nell’ipotesi in cui si aggiunga il carico distribuito verticale q^∗(z) sul cavo si produce un tiro aggiuntivo h ed una variazione di configurazione, i.e. all’ordinata y(z) si aggiunge l’abbassamento v(z). In questo caso l’equazione differenziale (4.2) che caratterizza la configurazione del cavo diventa:

107

A z B

y

q(z)

c

ds

dz q

dy J NsinJ

NcosJ N(z)

NcosJ + d(NcosJ)

NsinJ + d(NsinJ)

N(z) + dN

Fig. 4.1:

Configurazione di equilibrio del cavo.

(H + h)[y(z) + v(z)]⁰⁰= −q(z) − q^∗(z) (4.5) E il caso di osservare che qualora risulti` R`c

0 q^∗(z)dz ¿R`c

0 q(z)dz, l’incremento di tiro associato al carico q^∗(z) `e piccolo rispetto ad H e quindi la (4.5) pu`o esprimersi in forma linearizzata. In altri termini, trascurando il contributo hv⁰⁰e tenendo conto della (4.2), la (4.5) pu`o riscriversi come:

Hv⁰⁰(z) + hy⁰⁰(z) = −q^∗(z) (4.6)

Se con Lc si indica la lunghezza del cavo nella sua configurazione curva sotto il carico q(z), risulta banalmente:

Lc= Z `c

0

p1 + (y⁰)²dz (4.7)

D’altro canto, se la configurazione del cavo `e ribassata, come viene generalmente assunto, i.e.

il rapporto fra la freccia e la luce `e inferiore a 1/8, `e possibile ritenere valide le seguenti condizioni:

ds ∼= dz y⁰¿ 1 Lc∼= `c (4.8)

La variazione della lunghezza del cavo ∆Lccorrispondente al carico aggiuntivo q^∗(z), assumendo l’ipotesi di configurazione ribassata e tenendo conto della (4.2), si esprime come:

∆Lc = Z `c

0

p1 + (y⁰+ v⁰)²dz − Lc= Z `c

0

p1 + (y⁰)² s

1 +2y⁰v⁰+ (v⁰)² 1 + (y⁰)² dz − Lc

∼= Z `c

0

(1 + y⁰v⁰)dz − `c= − Z `c

0

vy⁰⁰dz = 1 H

Z `c 0

q(z)v(z)dz (4.9)

e pertanto, qualora si assuma il cavo inestensibile deve risultare:

Z `c 0

q(z)v(z)dz = 0 (4.10)

D’altra parte, sotto l’incremento di tiro h, se Eced Acsono rispettivamente il modulo di Young del cavo e l’area resistente della sua sezione trasversale, deve valere per congruenza:

∆Lc= Z Lc

0

N EcAc

ds = h EcAc

Z Lc 0

p1 + (y⁰)²ds ∼= hLc

EcAc

(4.11) e quindi, eguagliando l’allungamento ottenuto nella (4.9) con quello espresso nella (4.11), si ricava la condizione:

c

H + DH

A

B

H + DH

j

a

D c

Fig. 4.2:

Strallo inclinato: notazione.

h =EcAc

HLc

Z `c 0

q(z)v(z)dz (4.12)

In definitiva, le equazioni non lineari (4.5) e (4.12) consentono di ricavare la variazione di configurazione v(z) del cavo ed il corrispondente incremento di tiro h a seguito dell’applicazione del carico aggiuntivo q^∗(z).

4.1.2 Rigidezza estensionale di uno strallo. Moduli secante e tan- gente di Dischinger

Un altro problema di grande importanza, che venne risolto per la prima volta da Dischinger, `e rela- tivo alla valutazione dell’effettiva rigidezza estensionale di uno strallo, tenendo conto della curvatura della sua configurazione iniziale derivante dall’effetto della forza peso.

E il caso di puntualizzare che di norma per strallo si intende una fune od un cavo che esercita` la sua azione di sostentamento impegnando direttamente la sua rigidezza estensionale. Esso `e in generale disposto in posizione inclinata, cos`ı come indicato nella figura 4.2.

Si assuma che i punti di sospensione A e B del cavo abbiano diversa quota e che il segmento AB, di lunghezza `c, formi l’angolo ϕ con l’orizzontale. Inoltre, sia Acl’area della sezione resistente dello strallo ed Ec il suo modulo di elasticit`a.

Qualora si consideri lo strallo privo di peso la corrispondente configurazione di equilibrio risul- tera rettilinea ed in questo caso esso pu`o schematizzarsi come un pendolo congiungente i punti A e B. Sia allora EcAc/`cla rigidezza estensionale del pendolo AB e si assuma che l’estremit`a B dello strallo venga portata in B<sup>0</sup>, a distanza ∆`cda B lungo la direzione AB. Conseguentemente, il pen- dolo reagir`a con la forza assiale ∆N = <sup>Ec</sup><sub>`</sub>^Ac

c ∆`co, equivalentemente, sar`a necessario applicare la forza ∆N lungo AB per produrre l’allungamento ∆`c. D’altro canto, se si tiene conto del peso dello strallo si verifica che la relativa configurazione d’equilibrio risulta curva piuttosto che rettilinea.

Poich`e prima che venga applicata la forza addizionale ∆N lungo la direzione AB il cavo `e in generale gi`a soggetto ad un tiro H esplicato dai vincoli alle sue estremit`a, `e chiaro che, vista la sua deformabilit`a estensionale, sotto la forza ∆N lo strallo deve cambiare la sua geometria estendendosi ed allungandosi. `E facile convincersi che la rigidezza dello strallo pesante `e chiaramente tanto pi`u

H H

A B

c

z

y

Fig. 4.3:

Caso dello strallo non inclinato: sistema di riferimento.

bassa quanto pi`u la sua configurazione iniziale si discosta da quella rettilinea e quanto pi`u `e basso il tiro H¹.

Si consideri il caso di uno strallo per il quale i punti di sospensione A e B siano allo stesso livello (figura 4.3): la retta AB `e pertanto orizzontale e lo strallo da un punto di vista funzionale `e semplicemente un cavo. Sia qcil suo peso costante per unit`a di lunghezza e si assuma che il cavo presenti una configurazione ribassata; tale ipotesi consente di ritenere qc praticamente coincidente con il peso per unit`a di lunghezza della sua proiezione orizzontale. Si indichi inoltre con H1 il tiro iniziale del cavo.

Sotto queste ipotesi, integrando due volte la (4.2) rispetto al riferimento introdotto in figura 4.3 ed imponendo le condizioni al contorno y(^{`</sup><sub>2</sub><sup>c</sup>) = y(−<sup>`}₂^c) = 0, si ricava che la configurazione di equilibrio del cavo `e descritta dalla parabola di equazione:

y1(z) = qc`²_c 8H1

− qc

2H1

z² (4.13)

Corrispondentemente la lunghezza iniziale del cavo risulta:

Lc1 = 2 Z `c/2

0

p1 + y₁⁰dz

= H1

qc



 qc`c

2H1

s 1 +

µqc`c

2H1

¶2

+ ln



qc`c

2H1 2

+ s

1 + µqc`c

2H1

¶2





 (4.14)

Mantenendo costante il peso qc si vari ora il tiro dal valore H1 al valore H2. Il cavo varier`a corrispondentemente la sua configurazione e la lunghezza della sua proiezione orizzontale della quantit`a ∆`c. Considerando ribassata anche la nuova configurazione y2(z), la relativa lunghezza del cavo risulta:

Lc2 = 2 Z `c/2

0

p1 + y⁰₂dz =H2

qc





qc(`c+ ∆`c) 2H2

s 1 +

µqc(`c+ ∆`c) 2H2

¶2

+ ln



qc(`c+ ∆`c) 2H2

2

+ s

1 +

µqc(`c+ ∆`c) 2H2

¶2





 (4.15)

Vista la dipendenza di Lc2da (`c+∆`c) e considerando comunque ∆`cuna quantit`a infinitesima

`e possibile porre:

1Tale problematica assume una importanza notevole nel caso di stralli molto lunghi, quali quelli utilizzati nelle zone centrali dei ponti strallati di grande luce e per i tratti terminali dei cavi dei ponti sospesi che vanno dalla testa delle torri fino al blocco di ammarraggio. In questi casi la lunghezza dello strallo pu`o arrivare anche a valori dell’ordine di diverse centinaia di metri.

Lc2(`c+ ∆`c) ∼= Lc2(`c) + ∆`c

∂Lc2

∂∆`c

¯¯

¯¯

∆`c=0

= Lc2(`c) + ∆`c

s 1 +

·qc(`c+ ∆`c) 2H2

¸2

(4.16) Poich`e le quantit`a

δ1 =qc`c

2H1

δ2= qc`c

2H2

(4.17) risultano anch’esse infinitesime, la variazione di lunghezza ∆Lc12 fra le configurazioni ’1’ e ’2’ del cavo pu`o stimarsi attraverso un’approssimazione al primo ordine del tipo²:

∆Lc12= Lc2(`c+ ∆`c) − Lc1(`c) ∼= H2

qc

µ 2δ2+δ³₂

3

¶

−H1

qc

µ 2δ1+δ₁³

3

¶ + ∆`c

= `c

6(δ2− δ1) + ∆`c (4.18)

D’altro canto, poich`e la trazione N (z) nel cavo `e in relazione con il generico tiro H come (cf.

figura 4.1):

N (z) = H

cos ϑ= Hp

1 + (y⁰)² (4.19)

la dilatazione specifica εs(z) lungo la direzione tangente al cavo risulta:

εs(z) = H EcAc

p1 + (y⁰)² (4.20)

Pertanto, l’allungamento rispetto alla condizione di cavo scarico risulta, per i due diversi tiri Hi(i = 1, 2) e nell’ipotesi di configurazione ribassata, pari a:

∆Lci= 2 Z `c/2

0

εsi(z)ds

dzdz = 2Hi

EcAc

Z `c/2 0

µ 1 + q_c²

H_i²z²

¶

dz ∼= Hi`c

EcAc

(i = 1, 2) (4.21) e quindi

∆Lc12= ∆Lc2− ∆Lc1∼=(H2− H1)`c

EcAc

(4.22) Eguagliando allora la (4.22) con la (4.18) si ricava che la variazione di dilatazione specifica lungo la direzione AB risulta:

∆εAB=∆`c

`c

∼=H2− H1

EcAc

−δ²2− δ²1

6 (4.23)

Ragionando su grandezze relative al cavo pensato rettilineo, possono introdursi le tensioni lungo AB corrispondenti ai tiri H1 e H2:

σi=Hi

Ac

(i = 1, 2) (4.24)

Se γc= qc/Ac rappresenta il peso specifico del cavo, la dilatazione specifica lungo la direzione orizzontale AB che si produce quando il tiro passa da H1 a H2diventa pertanto (cf. eq. (4.23)):

2Si ricordi che per δ infinitesimo risulta p1 + δ²∼= 1 +δ²

2 lnh

δ +p 1 + δ²i

∼= δ −δ³ 6

s

e

_AB

s

₂

s

₁

a

_s

a

_t

tana

_s

=

E^*_s

tan a

_t

=

E^*_t

Fig. 4.4:

Identificazione qualitativa dei moduli fittizi di Dischinger tangente e secante.

∆εAB=σ2− σ1

Ec

+γ_c²`²_c 24

· 1 σ₁² − 1

σ₂²

¸

(4.25) Si osserva che il primo termine a secondo membro della (4.25) rappresenta la dilatazione specifica che si avrebbe se il cavo fosse rettilineo ed `e dipendente dalla sua elasticit`a, mentre la seconda aliquota tiene in conto l’effettivo incurvamento della configurazione di equilibrio.

Si definisce allora il modulo fittizio secante di Dischinger del cavo E_s^∗come il rapporto fra la variazione di tensione ∆σ = σ2− σ1 e la relativa variazione di deformazione ∆εAB lungo AB:

E_s^∗= ∆σ

∆εAB

= Ec

1 +^E_24σ^cγc23^`2c 1

1+¯σ

¯ σ²

(4.26)

avendo definito ¯σ = ^σ_σ²

1.

Tale risultato pu`o estendersi banalmente al caso in cui lo strallo sia inclinato di ϕ (cf. figura 4.2) rispetto all’orizzontale. In questo caso la componente di carico ortogonale al cavo, comunque supposto in configurazione ribassata, risulta pari a: qccos ϕ. Indicando con a = `ccos ϕ la lunghezza della proiezione orizzontale dello strallo la (4.26) diventa

E_s^∗= Ec

1 +^E_24σ^cγc23^a2 1

1+¯σ

¯ σ²

(4.27)

Se si assume che la variazione di tiro sia piccola, i.e. ¯σ ∼= 1, `e possibile definire il modulo tangente di Dischinger Et^∗dello strallo (figura 4.4) come

E_t^∗= Ec

1 +^E_12σ^cγ2c3^a2 1

(4.28)

Infine `e utile caratterizzare la rigidezza dello strallo in configurazione inclinata in presenza di uno spostamento orizzontale di un suo estremo. In particolare, riferendosi alla notazione di figura 4.5, la forza per unit`a di area ∆H da applicare all’estremit`a A dello strallo per produrre lo spostamento wc risulta:

∆H = E^∗

`c

wccos²ϕ (4.29)

essendo E^∗il modulo fittizio di Dischinger secante o tangente per il cavo in esame.

H + DH w

_c

A

B

c

j

a

Fig. 4.5:

Caratterizzazione della rigidezza traslazionale del cavo inclinato sospeso.

4.2 I ponti sospesi

Si consideri il modello di ponte sospeso ad una sola campata schematicamente rap- presentato in figura 4.6 e costituito da due cavi sospesi rispettivamente ai punti C

₁^S

, C

₂^S

e C

₁^D

, C

₂^D

(dove gli apici S e D si riferiscono rispettivamente alla parte sinistra e destra del ponte) posti allo stesso livello e collegati, mediante una fitta sequenza di elementi di sospensione verticali, alla travata di lunghezza `. Si assuma inoltre che quest’ultima sia appoggiata in corrispondenza degli estremi posti sulla stessa verticale dei punti di tipo C

₁

e C

₂

.

Elementi costituenti il modello di ponte sospeso sono allora i cavi, le torri, la trave ed i pendini verticali di sospensione. I cavi portanti si assumano innestati su cerniere cedevoli elasticamente lungo la direzione orizzontale z con costanti elastiche k

₁

e k

₂

. In questo modo si tiene conto dell’effettivo scorrimento in testa alle torri di detti cavi e della deformabilit`a dei loro tratti laterali, individuati a partire dalla testa delle torri fino ai blocchi di ammarraggio e non rappresentati in figura 4.6.

Dalla (4.29) `e banale ricavare:

k

_i

= E

_i^∗

A

_c

`

_ci

cos

²

ϕ

_i

(i = 1, 2) (4.30)

essendo E

_i^∗

il modulo fittizio di Dischinger secante o tangente per il tratto laterale del cavo di sostegno dalla parte del punto di sospensione C

_i

(i = 1, 2), `

_ci

la cor- rispondente lunghezza lungo la congiungente il punto di ammarraggio con la testa della torre e ϕ

i

l’inclinazione rispetto all’orizzontale.

La rigidezza estensionale della parte centrale del singolo cavo di sostegno si ricava

allora a partire dal modulo fittizio equivalente ˜ E

^∗

definito come:

k

^S₁

k

^D₁

C

^S₁

C

^D₁

C

^S₂

C

^D₂

k

^S₂

k

^D₂

y

z

x

c1 D

j

1^D

Fig. 4.6: Lo schema di ponte sospeso: notazione.

E ˜

^∗

= 1

1

E^∗

+

^A_`^c

³

1 k1

+

_k¹

2

´ (4.31)

essendo E

^∗

il modulo fittizio di Dischinger secante o tangente della porzione centrale del cavo di sostegno ed A

_c

la sua sezione resistente. La presenza quindi di lunghi tratti laterali dei cavi di sostegno equivale ad avere nella campata centrale di un ponte sospeso cavi molto deformabili estensionalmente e di conseguenza, in virt` u di quanto in precedenza osservato, tiri addizionali sensibilmente ridotti.

Se m(z) `e la distribuzione di massa totale per unit`a di lunghezza della struttu- ra e g indica l’accelerazione di gravit`a, il peso unitario del ponte, comprensivo del peso dei cavi, degli elementi verticali di sospensione e del peso della travata, risulta q

_g

(z) = m(z)g. In virt` u di considerazioni di carattere realizzativo

³

il carico q

_g

pu`o considerarsi sostenuto dai soli cavi. In particolare, ciascun cavo si assume sosten- ga l’aliquota di carico

^q₂^g

attraverso l’instaurarsi del tiro H, costante lungo la sua estensione e trasmesso fino ai punti di ammarraggio.

La configurazione di equilibrio per il cavo soggetto al solo carico

^q₂^g

, descritta dalla funzione Y (z) assunta nulla in corrispondenza della testa delle torri, `e allora caratterizzata dalla condizione differenziale alla Bernoulli analoga alla (4.2):

HY

⁰⁰

(z) = − q

_g

(z)

2 (4.32)

3I ponti sospesi vengono generalmente realizzati costruendo dapprima gli ancoraggi e le torri e successivamente montando i cavi portanti. A questi, tramite i pendini verticali di sospensione, si collegano successivamente i diversi conci che costituiscono la travata.

B

2c Y(z)

Y(z) v

_S

(z)

v

_D

(z)

v

_D

(z) v

_S

(z)

q(z) m

_z

(z) q

_S

(z)

q

_D

(z)

q(z) D

S

x

y

U

a

Fig. 4.7: Modello cinematico della flesso-torsione del ponte sospeso.

avendo indicato (·)

⁰

=

^d(·)_dz

.

4.2.1 Elementi di statica: teoria della flesso-torsione

Con riferimento alla figura 4.7 si consideri la travata soggetta a carichi addizionali distribuiti lungo il suo asse, di tipo verticale q(z) e torcente m

_z

(z), quest’ultimo causato, ad esempio, da una eccentricit`a del carico verticale. In tali ipotesi la defor- mazione della travata `e caratterizzata in generale da una flessione verticale, definita dalla funzione abbassamento v(z), e da una torsione θ(z) [4.4].

Gli spostamenti verticali del bordo destro e sinistro della sezione S della travata, sulla verticale dei corrispondenti cavi di sospensione, sono allora:

v

_S

(z) = v(z) − cθ(z) v

_D

(z) = v(z) + cθ(z) (4.33) Nell’ipotesi di trascurabilit`a delle deformazioni dei tiranti verticali di sospensio- ne, gli spostamenti v

_D

(z) e v

_S

(z) corrispondono agli spostamenti addizionali rispetto alla configurazione Y (z) subiti rispettivamente dai cavi destro e sinistro a seguito dell’applicazione dei carichi detti. Se si indicano con q

_D

(z) e q

_S

(z) le azioni verticali addizionali trasmesse attraverso i cavi di sospensione dalla travata ai cavi portanti, le relative condizioni di equilibrio dei cavi risultano (cf. eq. (4.5)):

(H + h

_D

)(Y

⁰⁰

+ v

_D⁰⁰

) = − q

_g

2 − q

D

(4.34)

(H + h

_S

)(Y

⁰⁰

+ v

_S⁰⁰

) = − q

_g

2 − q

S

(4.35)

essendo h

_D

e h

_S

gli incrementi di tiro nei cavi destro e sinistro conseguenti all’ap- plicazione dei carichi addizionali.

Pertanto, i cavi portanti sostengono un’aliquota del carico verticale addizionale q(z), pari in totale a q

D

+ q

S

. Assumendo un comportamento elastico lineare della travata e considerando significativi gli effetti di torsione secondaria, i relativi equilibri flessionale e torsionale si scrivono come:

E

_T

I

_x

v

^IV

= q − (q

D

+ q

_S

) (4.36)

E

_T

I

_ω¯

θ

^IV

− G

T

J

_T

θ

⁰⁰

= m

_z

+ c(q

_S

− q

D

) (4.37) essendo E

_T

, G

_T

rispettivamente i moduli di Young e di scorrimento della travata, I

_x

il momento di figura del secondo ordine di S rispetto all’asse dei momenti x, J

T

il corrispondente fattore di rigidezza torsionale ed I

ω¯

il momento di figura settoriale definito in funzione dell’ingobbamento ¯ ω(x, y) di S: I

ω¯

= R

S

ω ¯

²

dA.

⁴

Sommando e sottraendo allora la (4.34) alla (4.35) e tenendo conto della (4.32), si ricavano le quantit`a (q

_D

+ q

_S

) e (q

_S

−q

D

) che, sostituite nelle (4.36-4.37), forniscono:

E

T

I

x

v

^IV

− (2H + h

^D

+ h

S

)v

⁰⁰

+ c(h

S

− h

^D

)θ

⁰⁰

= q − q

_g

2H (h

_D

+ h

_S

) (4.38) E

T

I

ω¯

θ

^IV

− [G

^T

J

T

+ c

²

(2H + h

D

+ h

S

)]θ

⁰⁰

+ c(h

S

− h

^D

)v

⁰⁰

= m

_z

− cq

_g

2H (h

_D

− h

S

) (4.39) avendo considerato che:

v

⁰⁰_D

+ v

_S⁰⁰

= 2v

⁰⁰

v

_S⁰⁰

− v

D⁰⁰

= −2cθ

⁰⁰

(4.40) D’altra parte, gli incrementi di tiro h

_D

e h

_S

che compaiono nelle precedenti relazioni di equilibrio devono soddisfare condizioni di congruenza del tipo la (4.12), i.e.

h

_S

= E ˜

^∗

A

_c

2H`

Z

` 0

q

_g

(v − cθ)dz h

_D

= E ˜

^∗

A

_c

2H`

Z

` 0

q

_g

(v + cθ)dz (4.41)

e quindi le (4.38-4.39) diventano:

4Dette quantit`a si assumono tutte costanti in z.

E

_T

I

_x

v

^IV

− 2H Ã

1 + E ˜

^∗

A

_c

2H

²

`

Z

` 0

q

_g

vdz

! v

⁰⁰

−

à E ˜

^∗

A

_c

c

²

H`

Z

` 0

q

_g

θdz

! θ

⁰⁰

= q −

à E ˜

^∗

A

_c

q

_g

2H

²

`

Z

` 0

q

_g

vdz

!

(4.42)

E

_T

I

_ω¯

θ

^IV

−

"

G

_T

J

_T

+ 2c

²

H Ã

1 + E ˜

^∗

A

_c

2H

²

`

Z

` 0

q

_g

vdz

!#

θ

⁰⁰

−

à E ˜

^∗

A

_c

c

²

H`

Z

` 0

q

_g

θdz

!

v

⁰⁰

= m

_z

−

à E ˜

^∗

A

_c

c

²

q

_g

2H

²

`

Z

` 0

q

_g

θdz

! (4.43)

Dall’esame dei secondi membri delle precedenti relazioni `e immediato verificare che, per effetto della presenza dei cavi di sostegno ed a seguito dell’applicazione dei carichi addizionali, si sviluppano dei controcarichi di alleggerimento sulla travata proporzionali ai tiri addizionali. Inoltre, i primi membri rivelano la presenza di contributi irrigidenti connessi al tiro totale dei cavi.

Le equazioni integro-differenziali della flessione verticale e della torsione del pon- te sospeso (4.38-4.39), o equivalentemente (4.42-4.43), si disaccoppiano qualora si considerino piccoli rispetto ad H gli incrementi di tiro h

_D

e h

_S

per i cavi di sostegno.

In questo caso, infatti, le equazioni (4.34-4.35) si pongono in forma linearizzata come (cf. eq. (4.6)):

Hv

⁰⁰_D

+ h

_D

Y

⁰⁰

= −q

D

(4.44)

Hv

⁰⁰_S

+ h

_S

Y

⁰⁰

= −q

S

(4.45)

e pertanto le equazioni linearizzate di equilibrio della travata si scrivono:

E

_T

I

_x

v

^IV

− 2Hv

⁰⁰

= q − E ˜

^∗

A

_c

q

_g

2H

²

`

Z

` 0

q

_g

vdz (4.46)

E

_T

I

_ω¯

θ

^IV

− £

G

_T

J

_T

+ 2Hc

²

¤

θ

⁰⁰

= m

_z

− E ˜

^∗

A

_c

c

²

q

_g

2H

²

`

Z

` 0

q

_g

θdz (4.47) Una ulteriore semplificazione pu`o ottenersi, senza perdere troppo in generalit`a, assumendo q

_g

costante con z, come suggerito in [4.13].

4.2.2 Piccole oscillazioni del ponte in aria calma

Si considerino le equazioni linearizzate (4.46-4.47) e si assuma il carico q

_g

= mg

costante con z. Inoltre, si assuma, per semplicit`a di trattazione, che la travata sia

disposta lungo l’asse z di modo che i suoi estremi risultino appoggiati in corrispon- denza di z = ±`/2. Se i carichi distribuiti q(z) ed m

z

(z) si riguardano come i carichi di inerzia relativi alla massa distribuita m e le funzioni v e θ si considerano funzioni oltre che della coordinata z anche del tempo t, le relazioni dette possono ritener- si rappresentative dell’equilibrio dinamico della travata, linearizzato in un intorno della sua configurazione di equilibrio statico:

E

_T

I

_x

v

^IV

(z, t) − 2Hv

⁰⁰

(z, t) = −m¨v(z, t)

−

E ˜

_t^∗

A

_c

q

²_g

2H

²

`

Z

`/2

−`/2

v(z, t)dz (4.48) E

_T

I

_ω¯

θ

^IV

(z, t) − £

G

_T

J

_T

+ 2Hc

²

¤

θ

⁰⁰

(z, t) = −I

θ

θ(z, t) ¨

−

E ˜

_t^∗

A

_c

c

²

q

²_g

2H

²

`

Z

`/2

−`/2

θ(z, t)dz (4.49)

o equivalentemente

E

T

I

x

v

^IV

(z, t) − 2Hv

⁰⁰

(z, t) = −m¨v(z, t)

− q

_g

2H [h

_D

(t) + h

_S

(t)] (4.50) E

_T

I

_ω¯

θ

^IV

(z, t) − £

G

_T

J

_T

+ 2Hc

²

¤

θ

⁰⁰

(z, t) = −I

θ

θ(z, t) ¨

− q

g

2H c [h

_D

(t) − h

S

(t)] (4.51) risultando anche i tiri addizionali relativi ai carichi di inerzia dipendenti dal tempo e pari a:

h

_S

(t) = E ˜

^∗_t

A

_c

q

_g

2H`

Z

`/2

−`/2

[v(z, t) − cθ(z, t)]dz h

_D

(t) = E ˜

^∗_t

A

c

q

g

2H`

Z

`/2

−`/2

[v(z, t) + cθ(z, t)]dz (4.52)

Nelle precedenti relazioni si `e indicato ¨ (·) =

^∂_∂t^2(·)2

e con I

_θ

il momento di inerzia polare intorno all’asse z per unit`a di lunghezza della struttura, valutabile come:

I

_θ

= I

_θT

+ m

_c

c

²

(4.53)

essendo I

_θT

il contributo relativo alla travata e m

_c

c

²

il contributo al momento di inerzia polare dei cavi e degli elementi di sospensione verticale, la cui distribuzione di massa complessiva si pu`o ritenere con buona approssimazione costante con z e si

`e qui indicata con m

_c

.

Nelle (4.48-4.49) e (4.52) il modulo fittizio equivalente per la parte dei cavi corrispondente alla campata centrale si `e assunto, per semplicit`a, costante con il tempo e corrispondente al modulo fittizio equivalente valutato mediante il modulo di Dischinger tangente (cf. eq. (4.31)), i.e. ˜ E

^∗

= ˜ E

_t^∗

.

In questo modo `e possibile caratterizzare le piccole oscillazioni in aria calma della struttura in un intorno della sua configurazione statica di equilibrio la quale `e completamente descritta dalla funzione Y (z) (cf. eq. (4.32)).

Oscillazioni libere flessionali

Si consideri la sola equazione di equilibrio dinamico (4.48) (θ(z, t) = 0). ` E possibile caratterizzare le condizioni di piccole oscillazioni flessionali della struttura in un intorno della sua configurazione principale di equilibrio considerando dapprima i modi di vibrare antisimmetrici e successivamente quelli simmetrici.

In particolare, stante l’ipotesi di inestensibilit`a assiale degli elementi di sostegno verticali, se la funzione v(z, t) soddisfa la condizione di antisimmetria in z, i.e.

v(z, t) = −v(−z, t) per ogni tempo t, risulta che il tiro addizionale h(t) associato alle forze di inerzia `e uguale per entrambi i cavi di sostegno ed `e identicamente nullo.

Infatti, risulta banalmente (cf. eq. (4.52)):

Z

`/2

−`/2

v(z, t)dz = 0 (4.54)

Le funzioni v(z, t) caratteristiche delle piccole oscillazioni flessionali in aria calma relative a modi di vibrare antisimmetrici sono pertanto le soluzioni dell’equazione

E

_T

I

_x

v

^IV

(z, t) − 2Hv

⁰⁰

(z, t) = −m¨v(z, t) (4.55) corrispondenti a:

v(z, t) = V

_k

sin

µ 2πkz

`

¶

e

^iωvkt

(k = 1, 2, 3, ...) (4.56) essendo V

_k

l’ampiezza arbitraria del modo flessionale k-esimo ed i, al solito, l’unit`a immaginaria.

Sostituendo la (4.56) nella (4.55) si ricava un’equazione algebrica da cui `e possi- bile valutare la pulsazione naturale ω

_vk

per il modo k-esimo. In particolare, definita la pulsazione adimensionale

Ω

²_v

= ω

_v²

m`

²

2H (4.57)

e considerato il primo modo di vibrare flessionale antisimmetrico dell’impalcato

(figura 4.8), risulta (k = 1):

H H

Fig. 4.8: Modo principale antisimmetrico flessionale per lo schema di ponte sospeso.

(Ω

^as_v1

)

²

= 4π

²

µ

1 + 4π

²

χ

_v

¶

(4.58) avendo introdotto il parametro adimensionale χ

_v

definito come

χ

_v

= 2H`

²

E

_T

I

_x

(4.59)

E immediato rilevare che tale parametro `e rappresentativo del rapporto tra l’a- ` zione di sostentamento dei cavi e quella dovuta alla rigidezza flessionale della travata [4.8].

Se si considera la rigidezza flessionale della travata tendente a zero, i.e. χ

_v

tendente ad infinito, dalla (4.58) risulta banalmente

(Ω

^as_v1

)

²_c

= 4π

²

(4.60)

che rappresenta la pulsazione adimensionale naturale del modo principale antisim- metrico per i soli cavi di sostegno.

Per ci`o che concerne le oscillazioni simmetriche flessionali in aria calma del ponte (figura 4.9) occorre far riferimento all’equazione completa (4.50) nella quale `e pre- sente l’aliquota del carico verticale distribuito dipendente dalla variazione di tiro h(t) = h

_D

(t) = h

_S

(t), i.e.

E

_T

I

_x

v

^IV

(z, t) − 2Hv

⁰⁰

(z, t) = −m¨v(z, t) − q

_g

H h(t) (4.61)

che, per congruenza e simmetria dell’oscillazione, risulta pari a:

h(t) = E ˜

^∗_t

A

_c

q

_g

H`

Z

`/2 0

v(z, t)dz (4.62)

Riferendosi al primo modo simmetrico, la soluzione della (4.61) si ottiene consi- derando le funzioni

v(z, t) = ¯ V (z)e

^iωvt

h(t) = ¯ he

^iωvt

(4.63)

H+h H+h

Fig. 4.9: Modo principale simmetrico flessionale per lo schema di ponte sospeso.

Sostituendo le (4.63) nella (4.61) si ricava l’equazione differenziale:

E

_T

I

_x

V ¯

^IV

(z) − 2H ¯ V

⁰⁰

(z) = mω

_v²

V (z) − ¯ q

_g

H ¯ h (4.64)

il cui integrale generale pu`o porsi nella forma:

V (z) = A ¯

₁

cosh(β

₁

z) + A

₂

sinh(β

₁

z) + A

₃

cos(β

₂

z) + A

₄

sin(β

₂

z) + ¯ h H

q

_g

mω

_v²

(4.65) essendo A

_i

(i = 1, ..., 4) costanti di integrazione e risultando:

β

²₁

= χ

_v

2`

²

"s

1 + 4 Ω

²_v

χ

v

+ 1

#

β

₂²

= χ

_v

2`

²

"s

1 + 4 Ω

²_v

χ

v

− 1

#

(4.66) ferme restando le posizioni (4.57) e (4.59). Imponendo la condizione di simmetria sul generico modo ¯ V (z), i.e. ¯ V (z) = ¯ V (−z), e le condizioni al contorno ¯ V (`/2) = V ¯

⁰⁰

(`/2) = 0, la (4.65) diventa:

V (z) = ¯ ¯ h H

q

g

mω

_v²

1 β

₁²

+ β

₂²

½ β

₁²

·

1 − cos(β

₂

z) cos ¯ β

2

¸ + β

²₂

·

1 − cosh(β

₁

z) cosh ¯ β

1

¸¾

(4.67) avendo posto ¯ β

_i

= β

_i

`/2 (i = 1, 2).

Inoltre, imponendo il rispetto della condizione di congruenza (4.62) si ricava l’equazione delle frequenze:

q

_g²

H

²

E ˜

_t^∗

A

c

`mω

²_v

· `

2 − β

₁²

β

²₂

β

₁²

+ β

²₂

µ tan ¯ β

2

β

₂³

+ tanh ¯ β

1

β

₁³

¶¸

= 1 (4.68)

o equivalentemente 1 Λ

²_v

= 1

Ω

²_v

−

µ tan ¯ β

₂

β ¯

₂³

+ tanh ¯ β

₁

β ¯

₁³

¶ 1

4 q

1 +

^4Ω_χv^2v

(4.69)

avendo introdotto il parametro di Irvine generalizzato flessionale [4.22]

Λ

²_v

= E ˜

_t^∗

A

_c

H

µ q

_g

` 2H

¶

2

(4.70) E interessante osservare che, quando la rigidezza flessionale della travata tende ` a zero, i.e. χ

_v

tende ad infinito, risulta

χv

lim

→∞

β

²₁

= ∞ lim

χv→∞

β

₂²

= Ω

²_v

`

²

(4.71)

e conseguentemente

χv

lim

→∞

V (z) = ¯ h ¯ H

q

_g

mω

²_v

·

1 − cos(Ω

_v

z/`) cos(Ω

_v

/2)

¸

(4.72) che rappresenta la funzione ¯ V (z) corrispondente al modo di oscillazione simmetri- co dei soli cavi di sostegno. L’equazione della frequenza (4.69) si riscrive, sempre nell’ipotesi χ

_v

→ ∞, come:

1 Λ

²_v

= 1

Ω

²_v

− 2 tan(Ω

_v

/2)

Ω

³_v

(4.73)

Da una analisi numerica delle relazioni (4.69) e (4.58) `e possibile dedurre che [4.13] (figura 4.10), rispetto al caso relativo all’oscillazione dei soli cavi (χ

_v

→ ∞), il ponte reale (χ

_v

< ∞) presenta un pi`u piccolo periodo proprio sia relativamente all’oscillazione fondamentale antisimmetrica che a quella simmetrica. Inoltre, al di- minuire di χ

v

, i.e. quanto pi` u la travata `e rigida rispetto ai cavi, il valore limite di Λ

²_v

, i.e. il valore a partire dal quale il primo periodo di oscillazione del ponte `e quello antisimmetrico, diviene sempre pi` u grande. ` E il caso di rimarcare che ponti sospesi con campate laterali di luce non piccola rispetto a quella centrale presentano bassi valori del modulo fittizio equivalente ˜ E

_t^∗

e conseguentemente sono caratteriz- zati da un basso valore del numero di Irvine Λ

²_v

. Essi pertanto sono generalmente caratterizzati da un modo flessionale dominante simmetrico.

Oscillazioni libere torsionali

Si consideri la sola equazione di equilibrio dinamico (4.49) (v(z, t) = 0). Nel ca- so in cui si considerino piccole oscillazioni torsionali antisimmetriche del ponte in aria calma nell’intorno della sua configurazione principale di equilibrio, risulta dalla condizione di antisimmetria, i.e. θ(z, t) = −θ(−z, t) per ogni tempo t, che

Z

`/2

−`/2

θ(z, t)dz = 0 (4.74)

e quindi la (4.49) diventa:

10

^-2

10

^-1

10

⁰

10

¹

10

²

10

³

10

⁴

1

2 3 4 5

W /p

^v

L

_v²

AS AS

S S

AS:modo antisimmetrico S: modo simmetrico

c = +¥v

c = +¥v

c < +¥v

c < +¥v

c

v

c

v

Fig. 4.10: Pulsazione dei modi principali simmetrico ed antisimmetrico al variare del parametro di Irvine Λ

²_v

per lo schema di ponte sospeso [4.13].

Fig. 4.11: Modo principale antisimmetrico torsionale per lo schema di ponte sospeso.

E

_T

I

_ω¯

θ

^IV

(z, t) − £

G

_T

J

_T

+ 2Hc

²

¤

θ

⁰⁰

= −I

θ

θ ¨ (4.75) Pertanto, la generica soluzione della (4.75) `e del tipo

θ(z, t) = Θ

_k

sin

µ 2πkz

`

¶

e

^iωθkt

(k = 1, 2, 3, ...) (4.76) essendo Θ

_k

l’ampiezza arbitraria del modo k-esimo. Sostituendo la (4.76) nella (4.75) `e possibile ricavare un’equazione algebrica dalla quale si valuta banalmente la pulsazione naturale relativa al primo modo torsionale antisimmetrico (figura 4.11):

ω

_θ1^as

= 2π

` s 1

I

_θ

µ

E

_T

I

_ω¯

4π

²

`

²

+ G

_T

J

_T

+ 2Hc

²

¶

(4.77)

Le oscillazioni simmetriche torsionali del ponte (figura 4.12) si caratterizzano

invece facendo riferimento all’equazione completa (4.51) nella quale `e presente l’a-

Fig. 4.12: Modo principale simmetrico torsionale per lo schema di ponte sospeso.

liquota del carico torcente distribuito dipendente dalla differenza delle variazioni di tiro nei cavi di sostegno (h

_D

(t) − h

S

(t)), la quale risulta per congruenza pari a (cf.

eq. (4.52)):

h

_D

(t) − h

S

(t) = 2c E ˜

_t^∗

A

_c

q

_g

H`

Z

`/2 0

θ(z, t)dz (4.78)

Riferendosi soltanto al primo modo simmetrico, la soluzione della (4.51) si ottiene allora considerando le funzioni

θ(z, t) = ¯ Θ(z)e

^iωθt

h

_D

(t) − h

S

(t) = (¯ h

_D

− ¯h

S

)e

^iωθt

(4.79) In stretta analogia con il caso delle oscillazioni simmetriche flessionali, sostituen- do le (4.79) nella (4.51), imponendo la condizione di simmetria ¯ Θ(z) = ¯ Θ(−z) e le condizioni ai limiti ¯ Θ(`/2) = ¯ Θ

⁰⁰

(`/2) = 0

⁵

, si ricava:

Θ(z) = ¯ c(¯ h

_S

− ¯h

D

) 2HI

_θ

ω

²_θ

q

_g

τ

₁²

+ τ

₂²

½ τ

₁²

·

1 − cos(τ

₂

z) cos ¯ τ

₂

¸ + τ

₂²

·

1 − cosh(τ

₁

z) cosh ¯ τ

₁

¸¾

(4.80) essendo

τ

₁²

= χ

_θ

2`

²



 s

1 + 4 Ω

²_θ

χ

_θ

+ 1



 τ

₂²

= χ

_θ

2`

²



 s

1 + 4 Ω

²_θ

χ

_θ

− 1



 (4.81)

ed avendo introdotto le seguenti quantit`a:

Ω

²_θ

= I

_θ

ω

_θ²

`

²

G

_T

J

_T

+ 2Hc

²

(4.82)

χ

_θ

= ¡

G

_T

J

_T

+ 2Hc

²

¢ `

²

E

_T

I

_ω¯

(4.83)

¯

τ

_i

= τ

_i

`

2 ^{(i = 1, 2)} (4.84)

5La condizione ai limiti ¯Θ⁰⁰(`/2) = 0 equivale ad imporre la libert`a di ingobbamento della sezione trasversale S in corrispondenza delle zone di appoggio.

In ragione di tali posizioni il rispetto della condizione di congruenza espressa dalla (4.78) conduce all’equazione delle frequenze:

1 Λ

²_θ

= 1

Ω

²_θ

−

µ tan ¯ τ

₂

¯

τ

₂³

+ tanh ¯ τ

₁

¯ τ

₁³

¶ 1

4 q

1 +

^4Ω_χ^2θ

θ

(4.85)

avendo indicato con

Λ

²_θ

= E ˜

_t^∗

A

_c

c

²

2 (G

_T

J

_T

+ 2Hc

²

)

µ q

_g

` H

¶

2

(4.86) il parametro di Irvine generalizzato torsionale, analogo a quello flessionale introdotto nella (4.70).

4.2.3 Stabilit` a aerostatica

Al fine di caratterizzare la stabilit`a dell’equilibrio in senso classico euleriano si con- sidera la struttura ferma all’interno della corrente e soggetta a carichi aerodinamici medi del tipo (2.24). In particolare, la condizione critica al limite di stabilit`a cor- risponde al raggiungimento di quella velocit`a del vento per la quale la struttura, a seguito dell’insorgere di effetti instabilizzanti, perde completamente la propria reat- tivit`a elastica. ` E il caso di notare che, visti gli elevati pesi in gioco, la componente verticale media della forza aerodinamica pu`o assumersi non avere rilievo nella ca- ratterizzazione della condizione di stabilit`a di tipo statico della configurazione di equilibrio del ponte. Al contrario, i carichi aerodinamici medi orizzontali e di mo- mento torcente possono produrre fenomeni di instabilit`a flesso-torsionale di notevole rilevanza

⁶

.

Si assuma che la travata nella sua configurazione principale di equilibrio sia in posizione orizzontale e che il vento medio agisca sotto un angolo di incidenza α. Si ritengano inoltre trascurabili eventuali effetti di perdita di coerenza lungo l’asse della travata o in generale condizioni di variabilit`a con z delle azioni del vento, di modo che l’azione aerodinamica orizzontale e l’azione di momento risultino uniformemente distribuite lungo l’asse della struttura. In particolare, seguendo la notazione intro- dotta nella (2.24) e riferendo il coefficiente adimensionale C

_d

alla componente del carico aerodinamico diretta come la corrente e C

_`

a quella ortogonale al flusso medio, si pone (figura 4.7):

6Se si assume una debole variabilit`a nel tempo della condizione di moto medio della corrente, le aliquote medie delle azioni del vento risultano praticamente costanti ed inducono sul ponte degli effetti instabilizzanti che crescono con il quadrato di U . `E il caso di notare che, visto il carattere praticamente stazionario, `e possibile associare a tali componenti delle forze aerodinamiche una funzione potenziale.

¯

p = 1

2 ρU

²

B [C

_d

(α) cos α − C

`

(α) sin α] (4.87)

¯

m

_z

= 1

2 ρU

²

B

²

C

_m

(α) (4.88)

In particolare, il carico distribuito orizzontale induce flessione della travata nel piano orizzontale (x, z) e quindi produce il momento flettente ˆ m

_y

ad asse di momen- to verticale. Caratterizzando allora la deformata di svergolamento flesso-torsionale della travata attraverso le funzioni v(z) e θ(z), `e possibile dimostrare che, per ef- fetto del carico ¯ p, nascono degli effetti instabilizzanti alla Prandtl [4.13] costituiti rispettivamente dai carichi distribuiti verticale ( ˆ m

_y

θ)

⁰⁰

e torcente ˆ m

_y

v

⁰⁰

essendo

ˆ

m

_y

= ¯ p z

2 (z − `) (4.89)

D’altro canto, per effetto della torsione stazionaria θ(z) della travata, deducibile da considerazioni di statica dei ponti sospesi, si produce il carico aerodinamico tor- cente distribuito addizionale che, in forma linearizzata in un intorno di α, si pone pari a (cf. eq. (3.97)):

∆m

_z

(z) = − 1

2 ρU

²

B

²

C

_m⁰

(z)θ(z) = µ

_s

(z)θ(z) (4.90) essendo C

_m⁰

(z) =

^dC_dγ^m

¯ ¯ ¯

_α

ed avendo posto

µ

_s

(z) = − 1

2 ρU

²

B

²

C

_m⁰

(z) (4.91)

Le condizioni di instabilit`a di tipo euleriano della struttura si ricavano conside- rando le condizioni di equilibrio della travata linearizzate in un intorno della sua configurazione statica principale di equilibrio. In particolare, assumendo il carico q

_g

costante con z, le equazioni integro-differenziali dello svergolamento del ponte si ottengono a partire dalle (4.46-4.47) e risultano [4.13]:

E

₁

(z) = E

_T

I

_x

v

^IV

+ ( ˆ m

_y

θ)

⁰⁰

− 2Hv

⁰⁰

+

E ˜

_t^∗

A

_c

q

_g²

2H

²

`

Z

` 0

vdz = 0 (4.92)

E

2

(z) = E

T

I

ω¯

θ

^IV

− £

G

T

J

T

+ 2Hc

²

¤

θ

⁰⁰

+ ˆ m

y

v

⁰⁰

−µ

^s

θ +

E ˜

^∗_t

A

_c

c

²

q

²_g

2H

²

`

Z

` 0

θdz = 0 (4.93) e ad esse sono associate le condizioni ai limiti:

v = θ = v

⁰⁰

= θ

⁰⁰

= 0 per z = 0, ` (4.94)

tipiche del ponte sospeso con travata a sezioni terminali semplicemente appoggiate.

Qualora lo svergolamento del ponte avvenga secondo il primo modo antisimme- trico, caratterizzato dalle funzioni

v(z) = V sin µ 2πz

`

¶

θ(z) = Θ sin µ 2πz

`

¶

(4.95) si ha l’assenza di deformazione estensionale dei cavi di sostegno e quindi risultano nulli nelle (4.92-4.93) i contributi integrali. Sostituendo le (4.95) nelle (4.92-4.93) e procedendo alla Galerkin, i.e. imponendo le condizioni integrali

Z

` 0

E

i

(z) sin µ 2πz

`

¶

dz = 0 (i = 1, 2) (4.96)

si ricava il sistema lineare omogeneo





4π²

`²

³

4π²

`²

E

_T

I

_x

+ 2H ´

¯ p

12

(3 + 4π

²

)

¯ p

12

(3 + 4π

²

)

^4π_`2²

³

4π²

`²

E

T

I

ω¯

+ G

T

J

T

+ 2Hc

²

´

− ¯ µ

s



 Ã V

Θ

!

= 0 (4.97) la cui soluzione non banale `e ottenuta imponendo che la matrice del sistema sia singolare, i.e. a determinante nullo.

Nella (4.97) si `e introdotto il coefficiente di carico torsionale ¯ µ

_s

definito come

¯ µ

_s

=

R

`

0

µ

_s

(z) sin

²

¡

_2πz

`

¢ dz R

`

0

sin

²

¡

_2πz

`

¢ dz = 2 R

`

0

µ

_s

(z) sin

²

¡

_2πz

`

¢ dz

` (4.98)

Nel caso in cui si possa ritenere ¯ p ∼ = 0

⁷

la condizione critica risulta di tipo puramente torsionale e lo stato critico di divergenza antisimmetrica `e caratterizzato dal coefficiente di carico torsionale

¯

µ

^as_sd

= 4π

²

`

²

· 4π

²

`

²

E

_T

I

_ω¯

+ 2Hc

²

+ G

_T

J

_T

¸

(4.99) Ricordando la (4.77) e la (4.91), la relazione (4.99) conduce all’espressione della corrispondente velocit`a critica del vento:

U

_θd^as

= s

− 2I

_θ

(ω

^as_θ

)

²

ρB

²

C ¯

_m⁰

(4.100)

essendo

C ¯

_m⁰

= R

`

0

C

_m⁰

(z) sin

²

¡

_2πz

`

¢ dz R

`

0

sin

²

¡

_2πz

`

¢ dz = 2 R

`

0

C

_m⁰

(z) sin

²

¡

_2πz

`

¢ dz

` (4.101)

Si noti che la (4.100) `e formalmente analoga alla (3.36).

7Ci`o si verifica quando la sezione retta dell’impalcato `e molto rastremata (Cd∼= 0) e l’angolo di incidenza α `e piccolo.

1

1

s sd

m m

cr

p p

Fig. 4.13: Influenza del carico orizzontale ¯ p sul carico torsionale critico.

Nel caso in cui, invece, sia trascurabile il momento torcente aerodinamico medio (i.e. ¯ µ

s

∼ = 0), la condizione critica `e caratteristica di una instabilit`a flessio-torsionale antisimmetrica cui corrisponde il carico critico orizzontale:

¯

p

^as_cr

= 24π

`(4π

²

+ 3)

sµ 4π

²

`

²

E

_T

I

x

+ 2H

¶

¯

µ

^as_sd

(4.102)

D’altra parte, qualora si abbia contemporanea presenza sia di ¯ p che di ¯ µ

_s

la condizione critica al limite di stabilit`a risulta

¯ µ

_s

µ

^as_sd

= 1 − µ p ¯

¯ p

^as_cr

¶

2

(4.103) La figura 4.13 riporta l’andamento associato alla relazione (4.103) evidenziando quindi l’influenza del carico orizzontale sul carico torsionale critico.

E il caso di osservare che, poich`e nella realizzazione dei ponti sospesi di grande ` luce si utilizzano sezioni trasversali molto rastremate e quindi caratterizzate da bassi coefficienti aerodinamici di resistenza e poich`e spesso risulta α ∼ = 0, il rapporto tra il carico orizzontale ¯ p ed il corrispondente carico critico di svergolamento flessio- torsionale ¯ p

^as_cr

risulta molto piccolo anche per grandi valori della velocit`a del vento.

Pertanto, ci`o porta a ritenere particolarmente significativa la condizione di instabilit`a puramente torsionale di divergenza.

Identiche considerazioni valgono nel caso dei ponti di grande luce di tipo strallato.

In modo del tutto analogo a quanto appena fatto si pu`o procedere per caratte- rizzare le condizioni di svergolamento simmetrico della travata. In particolare, in questo caso le funzioni spostamento si assumono descritte da:

v(z) = V sin ³πz

`

´ θ(z) = Θ sin ³πz

`

´ (4.104)

Sostituendo le (4.104) nelle (4.92-4.93) e procedendo ancora alla Galerkin, i.e.

imponendo ora le condizioni integrali

Z

` 0

E

_i

(z) sin ³πz

`

´ dz = 0 (i = 1, 2) (4.105)

si ricava la condizione critica di svergolamento simmetrico à π

²

`

²

E

T

I

x

+ 2H + 4q

_g²

`

²

π

⁴

E ˜

_t^∗

A H

²

! · π

²

`

²

µ π

²

`

²

E

T

I

ω¯

+ G

T

J

T

+ 2Hc

²

+ 4c

²

q

_g²

`

²

π

⁴

E ˜

_t^∗

A H

²

!

− ¯ µ

s

#

−

·

¯

p` (3 + π

²

) 12π

¸

2

= 0 (4.106)

che, nel caso in cui ¯ p ∼ = 0, fornisce la condizione critica di divergenza torsionale simmetrica

¯

µ

^sm_sd

= π

²

`

²

à π

²

`

²

E

_T

I

_ω¯

+ G

_T

J

_T

+ 2Hc

²

+ 4c

²

q

²_g

`

²

π

⁴

E ˜

_t^∗

A H

²

!

(4.107) Nella (4.106) si `e introdotto, analogamente al caso antisimmetrico, il coefficiente di carico torsionale

¯ µ

_s

=

R

`

0

µ

_s

(z) sin

²

¡

_πz

`

¢ dz R

`

0

sin

²

¡

_πz

`

¢ dz = 2 R

`

0

µ

_s

(z) sin

²

¡

_πz

`

¢ dz

` (4.108)

Inoltre, qualora risulti ¯ µ

_s

∼ = 0 si ricava il carico critico orizzontale flesso-torsionale per svergolamento simmetrico:

¯

p

^sm_cr

= 12π

`(π

²

+ 3) v u u t

à π

²

`

²

E

_T

I

_x

+ 2H + 4q

_g²

`

²

π

⁴

E ˜

_t^∗

A H

²

!

¯

µ

^sm_sd

(4.109) Infine, l’azione combinata del carico aerodinamico orizzontale e di quello torcente conduce alla condizione critica

¯ µ

s

¯

µ

^sm_sd

= 1 − µ p ¯

¯ p

^sm_cr

¶

2

(4.110) del tutto analoga alla (4.103).

4.2.4 Stabilit` a aeroelastica

Al fine di caratterizzare le condizioni di stabilit`a dinamica della configurazione di

equilibrio del ponte investito da una corrente, in virt` u di quanto detto nel capitolo 3,

si considerano le equazioni del moto omogenee linearizzate, i.e. senza tenere in conto

le eventuali azioni di buffeting. Inoltre, alla luce delle considerazioni precedentemente