MODELLO FRATTALE DELLA SUPERFICIE MARINA Appendice I

Appendice I

MODELLO FRATTALE DELLA

SUPERFICIE MARINA

Vengono qui richiamate le relazioni tra le diverse grandezze che caratterizzano il modello frattale bidimensionale della superficie marina; questa trattazione non risulta, intenzionalmente, rigorosa dal punto di vista matematico, né ha la pretesa della completezza.

Nelle pagine che seguono ci si limita alla scrittura delle formule, accompagnata da una semplice e breve descrizione dei concetti, al solo scopo di fissare le basi essenziali per lo sviluppo degli argomenti analizzati in questo lavoro di tesi.

A.1 - Introduzione

Il moto delle onde del mare è causato dal vento. Quando il vento soffia su una superficie d’acqua liscia, essa si increspa; se il vento è persistente l’increspatura aumenta, fino a dare origine al moto ondoso. Quando il vento cessa, le onde si propagano lontano (anche centinaia di chilometri) e diventano onde swell (onde lunghe).

all’unità di massa) e dall’equazione di continuità (conservazione della massa per unità di volume) [2].

Nell’equazione dell’impulso sono inclusi differenti tipi di forze che agiscono sul mare e possono essere divise in due classi: le forze esterne (vale a dire la forza gravitazionale, la forza di Coriolis, la forza centrifuga e la forza della marea) e le forze interne quali la pressione e la viscosità.

L’equazione dell’impulso, espressa in coordinate cartesiane, porta ad un sistema di equazioni differenziali non lineari, la cui soluzione rappresenta l’evoluzione dinamica delle onde di superficie.

A causa della complessità del fenomeno, non esiste una soluzione in forma chiusa. Per ottenere alcuni utili risultati, queste equazioni possono essere linearizzate nel caso di mare sottoposto alla pressione di piccole perturbazioni d’onda. La soluzione risultante, usualmente conosciuta come “onde lineari”, può essere espressa come:

( )

r,t a sin K r

(

t

)

ξ

= ⋅ −

ω

+

α

(A.1)

in cui ξ

( )

r,t rappresenta l’altezza del mare nel punto individuato dal vettore r all’istante t (Fig. A.1), il termine K⋅r è il prodotto scalare tra il vettore d’onda K ed r ed α è un termine di fase appartenente all’intervallo

[

−π π,

]

.

La soluzione suddetta è valida quando il suolo è piatto, l’acqua ha una profondità costante, la forza di Coriolis è trascurabile, la densità dell’acqua è costante, si trascurano le viscosità e quando si considera un corpo d’acqua di estensione infinita completamente ricoperto da onde.

Il numero d’onda K =2π Λ (Λ è la lunghezza d’onda del mare) e la frequenza angolare ω sono tra loro legate dalla relazione di dispersione, (Fig. A.2 (a) e Fig. A.2 (b)), che per acqua profonda vale:

3 s g K

τ

K

ω

ρ

= + (A.2)

in cui τ_s è la tensione superficiale, ρ è la densità dell’acqua e g è l’accelerazione di gravità.

Per grandi Λ tali che ω= gK , le onde del mare sono chiamate onde gravitazionali (gravity waves); nella condizione opposta, cioè per piccoli Λ tali che

(

)

3

s K

ω = τ ρ , le onde del mare sono chiamate onde capillari (capillary waves). La transizione dal regime gravitazionale al regime capillare si ha in corrispondenza del minimo della velocità di fase (Fig. A.3).

s phase g V K K K

τ

ω

ρ

= = + (A.3)

Derivando rispetto a K ed uguagliando a zero si ottiene:

ρ τ π ρ τ s T s T g g K = ⇒ Λ = 2 (A.4)

Nella regione intermedia coesistono i due regimi per cui occorre usare la relazione di dispersione completa.

Una rappresentazione realistica della superficie del mare è caratterizzata dalla presenza di un gran numero di onde che vanno dal regime gravitazionale a quello capillare. Nell’ipotesi che tali onde siano debolmente interagenti o indipendenti, la superficie del mare può essere espressa come somma di componenti sinusoidali:

( )

r,t a sin K rn

(

nt n

)

Tuttavia tale espressione non è perfettamente rappresentativa della situazione reale in quanto l’ampiezza delle onde del mare dovrebbe diminuire con l’aumentare della distanza dall’area in cui l’onda stessa è stata prodotta ed in generale il fronte d’onda non è piano.

Fig. A.2 (a) - Relazione di dispersione per acque profonde

Fig. A.2 (b) - Ingrandimento della zona di non linearità

Nella figura seguente si riporta l’andamento della velocità di fase in funzione del numero d’onda K distinguendo tra i contributi relativi alle onde capillari e

Fig. A.3 - Velocità di fase in funzione del numero d’onda

A.2 - Modello stazionario

Come primo passo viene determinato un modello stazionario della superficie marina che rappresenta la forma del mare ad un fissato istante di tempo. Senza perdere di generalità si assume t=0 per cui dalla (A.1) si ottiene:

( )

n

(

n n

)

n

r a sin K r

ξ

=

∑

⋅ +

α

(A.6)

Indicando con N_f il numero di componenti significative si ha:

( )

1

(

)

0 f N n n n n r a sin K r

ξ

−

α

= =

∑

⋅ + (A.7)

Il vettore d’onda Kn può essere riscritto come:

n n n n n K cos K K sin β β   =     (A.8)

La fase β_n è misurata in senso antiorario rispetto all’asse K e rappresenta la _x

direzione di propagazione della n-esima componente rispetto all’asse x (Fig. A.4).

Il vettore r può essere riscritto in coordinate cartesiane: x r y   =     (A.9)

Fig. A.4 - Vettore numero d’onda

Esplicitando il prodotto scalare K r_n⋅ nella (A.7) si ottiene:

( )

1

(

)

0 f N n n n n n n

x, y a sin K x cos y sin

ξ

−

β

β

α

=   =

∑

_ + + _ (A.10) Prendendo K ed _n a come: _n 0 n n f K =K b b_f > (A.11) 1 n n a a = 0< <a 1 (A.12) l’espressione della superficie del mare assume la forma:

( )

1 0

(

)

0 f N n n f n n n n

x, y a sin K b x cos y sin

ξ

−

β

β

α

=

 

=

∑

_ + + _ (A.13)

Dalle (A.11) e (A.12) si vede che se l’indice n aumenta le ampiezze _{a decrescono e} n

lo stesso comportamento vale anche per le lunghezze d’onda:

0 2 n n f K b

π

Λ = (A.14) Prendendo ( −2) = s a b a 1≤ <s 2, 1b_a > (A.15) si ottiene:

( )

1 ( 2)

₍

₎

0 0 f N s n n a f n n n n

x, y b sin K b x cos y sin

ξ

− −

β

β

α

=

 

=

∑

_ + + _ (A.16)

L’equazione (A.16) rappresenta il modello frattale di una superficie marina stazionaria ed è una funzione frattale bidimensionale.

Riscrivendo tale espressione in coordinate polari

( )

r,θ si ottiene:

( )

1 ( 2)

₍

₎

0 0 f N s n n a f n n n r, b sin K b r cos

ξ

θ

− −

β θ

α

=   =

∑

_ − + _ (A.17)

È interessante osservare che:

1. Fissato θ ϑ= , la superficie ξ

( )

r,ϑ è una curva frattale con dimensione [48]:

(

) ( )

( )

3 2 _{a f}

s_ξ = − −s ln b ln b (A.18)

2. Fissati θ =ϑ e β_n =β , otteniamo una curva frattale di Weierstrass, di dimensione frattale s, che rappresenta il modello frattale monodimensionale

del mare in cui tutte le componenti spaziali si propagano nella medesima direzione angolare [49].

A.3 - Modello dinamico

Dal momento che la superficie del mare è tempo-variante, è necessario estendere il modello precedente come segue:

(

)

1 ( 2)

{

[

_{( )}

_{( )}

]

_{( )}

}

0 0 f N s n n a f n n n n n

x, y,t C b sin K b x cos t y sin t t t

ξ σ − − β β ω α

=

=

∑

+ − + (A.19)

in cui b_f > , 11 b_a > e 1≤ <s 2.

Il modello di (A.19) rispecchia la soluzione (A.17) salvo le direzioni angolari

( )

n t

β che sono considerate tempo-varianti. Quest’ultima condizione significa che il moto delle onde può deviare dalla direzione rettilinea durante il tempo di osservazione (questo effetto è più evidente per le onde capillari piuttosto che per le gravitazionali).

Anche le fasi α_n

( )

t sono dipendenti dal tempo; l’introduzione di una modulazione di fase significa che fissato un punto di coordinate (x, y) e quando la

direzione di propagazione delle onde è costante, la dipendenza dal tempo del moto delle onde marine può differire dalla legge puramente sinusoidale. Ciò produce correlazione temporale tra le onde del mare.

Si analizzano nel seguito i parametri del modello: • N Numero di componenti sinusoidali;

• σ Deviazione standard dell’ampiezza delle onde del mare; è legata all’altezza significativa dell’onda h dalla relazione _s h_s =4σ [50];

• C Fattore di controllo in ampiezza; è impostato per avere una deviazione standard del mare uguale a σ . E’ possibile dimostrare che:

( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 1 f s a N s a b C b − −  ₋    = − (A.20)

• b Fattore di scala in frequenza; influisce sulla distribuzione spettrale delle _f

componenti sinusoidali;

• b Fattore di scala in ampiezza; controlla l’ampiezza delle onde del mare; _a

• ω_n Frequenza angolare;

• s Coefficiente di rugosità

(

1≤ <s 2

)

; fornisce una misura dell’irregolarità della superficie ed è legato alla vera dimensione frattale sξ della superficie

del mare dalla relazione:

(

) ( )

_{( )}

3 2 a f ln b s s ln b ξ = − − se

( )

( )

1 0 2 a f ln b s ln b ≤ ≤ − (A.21)

• K ₀ numero d’onda spaziale fondamentale; è dato da 2π Λ₀con

0

Λ lunghezza d’onda fondamentale.

Processo stocastico β_n

( )

t

Rappresenta la direzione angolare di propagazione della n-esima componente.

Si assume che tale processo sia stazionario e così caratterizzato:

Valore medio

( )

{

n t

}

n

E β =β (A.22)

Una tipica scelta, valida per mare pienamente sviluppato, è β_n =ϕ_w in cui ϕ_w rappresenta la direzione angolare del vento.

Funzione di Autocovarianza

( )

_{( )}

1 ( )n n n C e τ τ β β

τ

_{τ β}

− = (A.23)

in cui τ β è il tempo di correlazione angolare che gode della proprietà

( )

_n

(

βn

) ( )

τ βn

τ ₊₁ < in quanto onde con lunghezza d’onda più piccola hanno una più grande correlazione angolare.

Il valore di τ

( )

β_n può essere calcolato una volta nota la distribuzione del primo ordine del processo. Notare che la varianza

( )

_n

n τ β

σ_β2 ₌1 _{della coordinata}

angolare incrementa all’aumentare di n. In altre parole ciò significa che le onde capillari sono più sparpagliate rispetto alle onde gravitazionali.

Per descrivere completamente la correlazione tra τ

( )

β_n e τ

( )

β_m con n≠ , m

occorre fornire la funzione di cross-covarianza _{β β}

( )

τ

m n

C .

Per evitare ulteriori complicazioni nel modello, assumiamo in prima approssimazione che i processi β_n

( )

t siano indipendenti. Questa assunzione è in buon accordo con la soluzione dell’equazione (A.1), che è valida se le onde componenti il mare sono indipendenti.

Funzione densità di probabilità del primo ordine

Una descrizione statistica di β_n

( )

t è fornita definendo la funzione densità di probabilità (d.d.p.) del primo ordine del processo ψ_n

( )

t =β_n

( )

t −β_n:

( )

2 2 2 n e n n P

ψ

g cos

ψ

rect

ψ

π

    = _{   }   _{ } (A.24)

La costante g è una costante di normalizzazione ed è data da: _n

(

)

(

n

)

n e n e e g n 2 1 1 22 1 2 + Γ + Γ = − π (A.25)

in cui Γ i

( )

è la funzione gamma ed e è un parametro che controlla la dispersione _n

della distribuzione di β_n

( )

t attorno al suo valore medio β . Considerando che le _n onde capillari sono disperse in tutte le direzioni angolari e che le onde lunghe sono più concentrate attorno alla direzione angolare media, i parametri e sono presi in _n

accordo alla seguente espressione:

1 2 1 T n e _{= } + _ (A.26)

dove n è l’ordine dell’onda sinusoidale il cui numero d’onda _T

T

n

K è il più vicino al

numero d’onda di transizione K_T. La precedente espressione rappresenta il passaggio tra il regime capillare ed il regime gravitazionale e corrisponde a quel valore di K che minimizza la velocità di fase ω

( )

K_n K_n . Il risultato è:

T n T s K K g

ρ

τ

≅ = (A.27)

Applicando questa condizione al nostro modello si ha:

( )

0 1 s T f g ln _K n int ln b τ ρ        _{ } = _{ }       (A.28)

in cui int i

( )

è l’operatore che prende il più grande intero minore dell’argomento. Notare che per n n= _T P_n

( )

ψ diventa una funzione a coseno rialzato con roll-off uguale ad 1. La Fig. A.5 mostra l’andamento di P_n

( )

ψ , per alcuni valori di n,

ottenuto dalla (A.24). Come era logico aspettarsi, le onde lunghe (piccoli n) hanno

una distribuzione più appuntita rispetto alle onde capillari (grandi n), la quale tende

ad essere uniforme nell’intervallo

[

−π π,

]

.

Fig. A.5 - Andamento di Pn( )ψ al variare di n

Processo α_n

( )

t :

Valore medio

( )

{

_n

}

0 E

α

t = (A.29) Funzione di Autocorrelazione

( )

( )n n e R τα τ α π τ = − 3 2 (A.30) Le fasi α_n

( )

t sono ragionevolmente assunte indipendenti con funzione densità di

probabilità del primo ordine uniforme nell’intervallo

[

−π π,

]

. Inoltre si assume che

( )

m t

α è indipendente da β_n

( )

t per ogni valore di m ed n.

L’uso di un elevato numero di parametri garantisce una grande flessibilità del modello. Ogni parametro prende in considerazione un aspetto fisico del mare: distribuzione delle ampiezze e delle lunghezze d’onda, rugosità, correlazione spaziale e temporale delle onde, direzione del vento e propagazione dell’onda swell. Queste caratteristiche permettono al modello di generare ogni tipo di situazione del mare.

Prendendo la direzione di propagazione media β_n =ϕ_w si può simulare la superficie del mare generata in una certa zona; scegliendo opportunamente la direzione di propagazione media delle onde marine di piccola e grande lunghezza d’onda (rispettivamente grande e piccolo n), possiamo includere onde swell provenienti da direzione differente rispetto a quella del vento ed onde capillari prodotte da una variazione della direzione locale del vento. Notare che il modello proposto è ottenuto da considerazioni fisiche circa il comportamento idrodinamico del mare ed è più valido dei modelli proposti in letteratura in quanto spesso, questi ultimi, sono creati per studiare particolari fenomeni marini. In [51] si ha una descrizione dettagliata di quanto fino qui esposto.

A.4 - Spettro direzionale, spettro omnidirezionale e funzione di

spreading

Lo spettro direzionale del mare viene determinato come Trasformata di Fourier bidimensionale della funzione di autocorrelazione spaziale espressa in

Esprimendo la funzione di autocorrelazione spazio-temporale R x, y,t_ξ

(

)

della superficie del mare in coordinate polari e valutandola per ~ =t 0 si ottiene la funzione di autocorrelazione spaziale:

( )s

( )

_,

(

_{, , 0}

)

(

_{, ,}

)

₍

_{, ,}

₎

R_ξ r

ϑ

=R r_ξ

ϑ

t = ⇐ R r_ξ

ϑ

t ↔ R x y t_ξ (A.31) con 1 2 1 2 1 2 x x x y y y t t t − =   − =   − = 

È possibile dimostrare che:

( )

( )

( )

(

) ( )

(

)

2 2 1 2 2 2 2 2 0 2 f n r N s s n R a n m n n n m R r , C b e J K r S m cos m ξ

ϑ

πσ

ϑ β

π

− − = +∞ = −∞ = ⋅   ⋅ _ − + _

∑

∑

(A.32)

in cui R_n =εΛ_n è la lunghezza di autocorrelazione spaziale e S_n

( )

m sono i coefficienti della trasformata serie di Fourier di P_n

( )

ψ , considerata una funzione periodica di periodo 2π .

Effettuando la seguente trasformata di Fourier bidimensionale

(

)

2 ( )

( )

( ) 0 0 1 2 jK r cos s W K , r R r , e d dr π ϑ ξ

ϑ

ϑ

π

∞ − −Φ Φ =

∫ ∫

(A.33)

si ottiene quanto cercato:

(

)

( )

(

)

(

)

( )

(

)

( )

(

)

(

)

2 2 2 2 2 2 1 2 2 ₂ 2 2 2 2 0 0 1 ₂ 2 2 2 2 2 0 1 2 4 2 2 n n f n n f R K K N s n a n n n n R K K N s n a n n n m n n n m C W K, b R e I R K K b R e S m cos m I R K K

σ

π

β

 ₊    − − _{ }   − _{ } =  ₊    − − _{  ∞}   − _{ } = = Φ = +   + _ Φ − _

∑

∑

∑

(A.34)

Nella (A.34) R_n = Λ rappresenta la lunghezza di autocorrelazione spaziale. ε _n

Alcuni risultati sperimentali riportati in letteratura fanno riferimento allo spettro omnidirezionale S

( )

K ed alla funzione di spreading G

(

K,Φ

)

[38], [47].

Dallo spettro direzionale è possibile ricavare lo spettro omnidirezionale e la funzione di spreading in quanto esiste un legame ben preciso tra le tre grandezze in questione

(

)

( ) (

)

W K ,Φ K dK dΦ =S K G K ,Φ dK dΦ (A.35)

Inoltre la funzione di spreading, che esprime la dispersione angolare della potenza, gode della seguente proprietà [53]:

(

)

π π 2 , 2 0 = Φ Φ

∫

G K d (A.36)

Riscrivendo W K ,

(

Φ

)

nella forma:

(

)

( )

(

_{( )}

)

_      Φ + = Φ K W K W K W K W 1 2 1 , 1 , (A.37)

Sostituendo nella (A.35) si ottiene:

( )

( )

_∑

− ( ) ( )

(

)

=       + − − = = 1 0 2 0 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 f n n N n n n K K R n n s a R e I R K K b K C K W K K S σ (A.38)

(

)

(

_{( )}

)

K W K W K G 1 2 , 1 ,Φ = + Φ (A.39)

(

)

( )

(

)

( )

(

)

(

)

( )

(

)

(

)

2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 0 1 ₁ 2 2 2 2 2 0 0 1 4 2 2 n n f n n f R K K N s n a n n n m n n n R K K m _N s n a n n n n G K, b R e S m cos m I R K K b R e I R K K

π

β

 ₊    − − _{ }   − _{ } ∞ =  +    = _{− −}     − _{ } = Φ = +    _{ }  Φ −  _{ }    +        

∑

∑

∑

(A.40)

È importante osservare che il numero d’onda massimo misurabile K_max in un sistema SAR è fissato implicitamente dalla condizione di Nyquist ed è pari a K_max =π ∆ r

dove r∆ è la risoluzione in distanza del sistema di acquisizione considerato. Vale inoltre la relazione seguente:

1

f

( N )

max o

K _{= }b − K _ (A.41)

Scegliendo il numero di componenti sinusoidali N , il valore del parametro _f b del _f

modello risulta determinato dalla relazione:

1 1 0 f N max f K b K −   =     (A.42)