Propagazione degli Errori

(1)

Propagazione degli Errori

La maggior parte delle grandezze fisiche di solito non può essere misurata attraverso una singola misura diretta ma viene invece determinata in due passi distinti, come detto nella definizione di misure indirette:

1. Si misurano una o più grandezze che possono essere misurate direttamente e dalle quali la grandezza che ci interessa può essere calcolata

2. Utilizzando i valori misurati si calcola la grandezza in questione

Un tipico esempio è la velocità media di un corpo. Essa necessita la misura dello spazio percorso e dell’intervallo di tempo necessario per percorrerlo:

Quanto vale l’errore sulla velocità in questo caso ?

s m t

x v

s s

t

m m

x

t x v

m m

/ 6098 .

2 /

) 03 . 0 (

09 . 0 23

. 1

) 01 . 0 (

04 . 0 21

. 3

/

























(2)

In un caso come questo, quando la misura comporta queste due fasi, allora anche la stima delle incertezze necessita di due fasi distinte.

1. Occorre stimare le incertezze nelle grandezze che sono state misurate direttamente 2. Occorre trovare come gli errori si sono propagati

Questa ultima fase si chiama: Propagazione degli errori

Nota:

Il libro di testo presenta prima una serie di relazioni approssimate poi dimostra la relazione generale. Noi salteremo subito alla relazione generale

(3)

Supponiamo che le osservabili fisiche x,y, ..., z siano misurate ciascuna con deviazione standard _x,_y,…,_z . Supponiamo che le osservabili x,y,…,z siano necessarie per estrarre il valore della osservabile q attraverso la formula q(x,y,…,z)

Allora, se gli errori di x,y,…,z sono indipendenti e casuali tra loro, la deviazione standard

_q è espressa dalla relazione:

) ,..., ,

( ₀ ₀ ₀

0 q x y z

q 

standard deviazione

misurati ,...,

, x in calcolata x

ad rispetto parziale

derivata )

,..., , (

) ,..., , ... (

) ,..., , ( )

,..., , (

0 0

0 ,..,

,

2 2

,.., , 2

2

,.., , 2

2

,.., ,

0 0 0

0 0 0 0

0 0 0

0 0



 



 









 







 

 



 







 



 







 



 



 



x

z z y y x x

z z z y y x x y

z z y y x x x

z z y y x x q

z x y

z y x q dove

z z y x q y

z y x q x

z y x q



(4)

Esempio

Calcoliamo l’errore sul seno di un angolo

Sia q = 1.484 radianti 85 gradi Sia _q = 0.017 radianti 0.97 gradi

Voglio conoscere come l’errore si propaga l’errore su x  f (q) sin q

 

   

0015 .

0 9962 .

0

0014737 .

0 9962356

. 0

0014737 .

0 017

. 0 484

. 1 cos cos

2 2





x x

Quindi

x x

x



 q

 _q

(5)

Esercizio:

Un gruppo di studenti vuole misurare l’accelerazione di gravità utilizzando un pendolo.

Effettua una serie di misure per estrarre il periodo di oscillazione e la lunghezza del pendolo. Supponendo che

) (

947285 .

9

s 0.005

s 0.012

s 1.945

m 0.0004 m

0.0012

m 0.9532

4 ² ₂

calcolato ancora

stato è

non perche

decimali i

tutti usano

si g T d

T g d

m m







(6)

Applicando la formula generale di propagazione degli errori

alla relazione che da g

Si ottiene

Da cui

2 2

,.., , 2

2

,.., , 2

2

,..,

, ₀ ₀ ₀ ₀ ₀ ₀ ₀ ₀

0

) ,..., , ... (

) ,..., , ( )

,..., , (

z z z y y x x y

z z y y x x x

z z y y x x

q z

z y x q y

z y x q x

z y x

q   





 



 





 







 

 



 







 



 







 

2 2

, 2

2

, ₀ ₀ ₀

0

) , ( )

, (

T T T d d d

T T d d

g T

T d g d

T d

g  







 







 



 







 

2 2

, 3

2 2

2

, 2

2

0 0 0

0

4 2

4 1 _T

T T d d d

T T d d

g T

d

T   









 



 



 



 

       

T su errore Domina

12 . 0 015066 .

0 000157 .

0

012 . 0 256 . 3 0012

. 0 321 . 3 012

. 945 0

. 1

9532 . 0 4 2

0012 . 945 0 . 1

4 1 ² ² ² ² ²

2 3 2

2 2











 



 



 

 



 



 

g g







(7)

Notate che la propagazione degli errori puo’ anche avere un uso predittivo, infatti si potrebbe anche rispondere al seguente quesito

A che angolo viene minimizzato l’errore di misura su D ?

(8)

L’incertezza che contribuisce di più all’errore sulla gittata è quello relativo alla velocità

(9)

Provate a fare gli esercizi dal 3.43, 3.45, 3.46, 3.47, 3.48, 3.49, 3.50,

(10)

Quando non posso usare la relazione della propagazione degli errori cosi come è stata formulata finora ?

Quando l’errore delle variabili x₀, y₀, .. non è indipendente tra loro, quando cioè una sovrastima o sottostima di x₀ implica una sovrastima o sottostima di y₀

Allora la relazione di propagazione degli errori, nell’ipotesi di una funzione a due variabili x e y, diventa:

     

_^

  





 







 



 







 



 







 

 





a a b N b

dove

b b a q a

b a q b

b a q a

b a q

i n i

ab

ab b

b a a b

b b a a a

b b a a q

lim 1 Covarianza

) 2 , ( ) , ( )

, ( )

, (

2

2 ,

2 2

, 2

2

, ₀ ₀ ₀ ₀ ₀

0



(11)

Nota:

Se ci fosse la massima correlazione tra le incertezze delle osservabili allora

Le incertezze quindi si sommerebbero !

La covarianza stima in che proporzione “a” ﬂuttua assieme a “b”.

Se le osservabili non ﬂuttuano in modo indipendente gli scarti avranno hanno spesso lo stesso segno (positivo o negativo), il loro prodotto sarà in corrispondenza sempre positivo e renderà maggiore di zero σ²ab

Analogamente, se “a” e “b” ﬂuttuano in modo indipendente, il prodotto degli scarti sarà tanto positivo che negativo e quindi avrà sommatoria nulla.

b b b a

a a q

b a b

b a a b

b b a a a

b b a a q

b a ab

b b a q a

b a q

b b a q a

b a q b

b a q a

b a q



0 0

0 0 0

0 0

0

) , ( )

, (

) 2 , ( ) , ( )

, ( )

, (

Covarianza

, 2

2

, 2

2

, 2





 







 



 







 



 







 



 







 



 







 



(12)

Quando le osservabili a e b non sono indipendenti tra loro ?

1) Calcolate la covarianza

2) Riflettete sulla fisica del sistema che state studiando - Esempio:

- Avete una serie di coppie dati sperimentali che devono seguire un andamento lineare (i.e. la lunghezza del pendolo L e il suo periodo al quadrato T²)

- Avete estratto dai dati sperimentali i coefficienti di una retta (coefficiente

angolare a±_a e termine noto b ±_b(ad esempio con una regressione lineare) y = ax + b ad esempio L = a T² + b

-Volete estrapolare il valore della retta y_o nel punto x_o e volete anche avere una stima dell’errore sulla vostra estrapolazione

-ad esempio la lunghezza che deve avere un pendolo per oscillare con un periodo di 5 s

(13)

Allora il valore della variabile yo è dato da

y₀ = a x₀ + b ad esempio L = 25 a + b L’errore si dovrà calcolare con la propagazione degli errori

In questo caso però le osservabili a e b (termine noto e coefficiente angolare) sono correlate perche estratte da dati sperimentali, in altra parole se cambia una deve cambiare anche l’altra opportunamente per riprodurre i dati sperimentali

Attenzione che la covarianza si calcola a partire dai dati sperimentali con i quali avete estratto il parametro a (coefficiente angolare) e b (termine noto). Nel caso del pendolo a partire dai periodi e dalle lunghezza misurate

2 0 2

2

2 2

0 o a b ab

y x   x 

   

(14)

Esempio (pg. 53 bevington):

N

N N N

x N x

x x N N

x x

x x x

x

x x x

x

N x N

x x

x

N x

N i

i

N

i N

i i

x

N

i

i N

 





 



 



 





 

 





 



 

















 











 

 



 





1 2

2

2 1

1

2

1

2 2

1 2

1

... 1 1

...

Se le misure sono ripetibili, indipendenti e senza errore sistematico allora la deviazione standard è sempre la medesima indipendentemente dall’indice ‘i’

cioè 

(15)

E’ tutto Chiaro ?

Dovreste aver chiari i seguenti argomenti:

• Propagazione degli errori

• Quando usare la covarianza nella propagazione degli errori

(16)

Discrepanza

Nella stragrande maggioranza dei casi le conclusioni sperimentali implicano il confronto tra due o più valori. Questi valori possono essere delle misure (e quindi con un’incertezza), delle stime teoriche (con o senza incertezza) o grandezze note.

Nell’ipotesi che i dati sperimentali si distribuiscono su una gaussiana è possibile fare un confronto quantitativo.

Data una misura sperimentale x_best ±  con deviazione dalla media pari a _m ed una stima teorica x_teo della medesima quantità, definiamo:

m

teo best

x t x

x x

D



 





La quantità D è detta discrepanza, mentre la quantità t indica quanto è distante x_best da x_teo in unità di deviazione standard (lo abbiamo già incontrato quando abbiamo parlato della gaussiana, ma concettualmente ha un significato differente)

(17)

Se t = 0.32 significa che x_best dista da x_teo di 0.32 deviazioni standard della media. Quindi:

- esiste il 75% di probabilità che x_teo sia il valore medio della distribuzione statistica misurata - esiste il 75% di probabilità che la differenza tra x_teo e x_best sia di origine statistica.

Da questo si conclude che la misura sperimentale è compatibile con il valore atteso !

Se t = 3.5 significa che x_best dista da x_teo di 3.5 deviazioni standard della media. Quindi:

- esiste il 0.05 % di probabilità che x_teo sia il valore medio della distribuzione statistica misurata - esiste il 0.05 % di probabilità che che la differenza tra x_teo e x_best sia di origine statistica

Da questo si conclude che la misura NON è compatibile con il valore atteso !

In altre parole:

• Lo strumento non funziona correttamente (poco probabile)

• La mia procedura di misura non è corretta

• Esistono degli effetti fisici che disturbano la misura

• Esiste un errore sistematico

• ………

• Ho fatto una scoperta !

(18)

Nota:

Quale è il significato ‘statistico’ di t ?

- Ho ottenuto una misura x_best con deviazione standard  deviazione standard dalla media _m - Devo verificare se x_best o x_teo sono statisticamente uguali

- Questo equivale a verificare con che probabilità D = | x_best - x_teo | sia zero

- Poiché x_best è una misura allora con la propagazione degli errori posso ricavare l’errore su D

- Allora t non è altro che la distanza di D da zero in unità di sigma dalla media

m Dm

D teo

best

media dalla

deviazione

alla relazione

la estendere posso

e particolar caso

questo in

x x

D











) variabile sola

una ho

(

m teo best

Dm

x D x

t  

 



(19)

Cosa succede se devo confrontare due misure sperimentali o due osservabili, ciascuna con una incertezza ?

Data una misura sperimentale x_best1 ± ₁ con deviazione dalla media pari a _m1 effettuata dallo studente A ed una misura una misura sperimentale x_best2 ± ₂ con deviazione dalla media pari a _m2 effettuata dallo studente B

Il resto è esattamente lo stesso

Notate che si può dimostrare la formula sopra con la propagazione degli errori

2 2 2

1

2 1

m m

best best

x t x

x x

D



 

 





(20)

 Il limite entro il quale stabilire la compatibilità è stabilito a priori e varia tra i diversi ambiti sperimentali. Nel caso di questo corso di laboratorio lo stabiliremo entro 2

oppure 2_m . Se è tra due o tre sigma allora l’esperimento non è conclusivo. Quindi:

• un dato sperimentale è compatibile con una stima teorica/attesa se t < 2

• una misura sperimentale con  e _m è compatibile con un’altra misura (con  e _m ) o con un valore noto se t < 2

 Abbiamo già visto in una gaussiana (non necessariamente per le altre distribuzioni statistiche) l’intervallo x_best ±  corrisponde al 68 % dei dati

In altre parole, nel caso di una distribuzione gaussiana, le singole misure cadranno nell’intervallo <x> ±  con “livello di confidenza” pari al 68%

Analogamente per 2  (95%) o 3 (99.7%) o X

 Per distribuzioni non gaussiane, si dice x_o ± xx al 95% C.L.

Questo significa che il 95% delle misure cadono nell’intervallo x_o-xx x_o+xx

(21)

Quindi:

Quando devo confrontare due misure o una previsione teorica ed una misura devo

1) Sapere quali sono gli intervalli di confidenza (in altre parole la finestra entro la quale ho il 68%, 95%, 99.7% degli eventi)

2) Decidere una soglia di probabilità oltre la quale ritengo la probabilità

irragionevolmente piccola. Cioè decidere ad esempio che "se l'evento è fuori da un intervallo di confidenza del 95% allora è improbabile"

3) Calcolare la discrepanza, t, P(t), (1-P(t)) - Lo so fare con la gaussiana (eventualmente

correggo con la ‘t’ di Student - Non lo so fare con altre distribuzioni (ho bisogno di conoscere il confidence level)

4) Con il criterio del punto 1 e 2 verifico se vale a) b) o c)

a) t > 2 o il valore che segue dalla ‘t’ di Student b) P(t) > 95%

c) 1-P(t) < 5%

Allora la probabiltà che le due misure rappresentino la stessa quantità è irragionevole

(22)

Significatività Statistica

Significatività

Se 1-P(t) < 5 % (oppure t > 1.96) - cioè se x₀ NON è entro 1.96 dal valor medio si dice che ho evidenza significativa che x₀ NON appartenga alla distribuzione statistica che ha generato xbest e . Ovvero la discrepanza è significativa .

Se 1-P(t) < 1 % (oppure t > 2.32) - cioè se x₀ NON è entro 2.56 dal valor medio si dice che ho evidenza altamente significativa che x₀ NON appartenga alla distribuzione statistica che ha generato x_beste  . Ovvero la discrepanza è altamente significativa .

x_best

(23)

HP : Distribuzione gaussiana e misure ripetibili ed indipendenti

Cosa significa scartare i dati la cui differenza dal valor medio sia significativa ?

- Significa scartare i dati per i quali t > 1.96

- Significa che sono sicuro di eliminare il 5% di dati ‘buoni’

- Significa che avrò il 5% di probabilità di avere un ‘falso positivo’

- cioè di scartare un evento (definito come falso) che in realtà è buono (positivo)

Esempio:

Ho delle scatole con 1000 componenti elettrici che devono avere un valore di resistenza pari a 10 ± 1 Ohm. Poichè non posso misurare la resistenza di tutti i componenti elettrici della scatola ne piglio 20 e ne misuro la resistenza. Se il valor medio della resistenza è

compreso tra 8.04 ed 11.96 Ohm (nota 1.96 = 1.96, quindi 10-1.96=8.04 e 10+1.96=11.96) allora la scatola viene avviata alla vendita. In caso contrario si butta via.

In questo caso, poichè il mio limite è 2 sigma, sono sicuro di buttare via il 5% di scatole buone (con resistenza 10 ± 1 Ohm) insieme a quelle con resistenza diversa da 10 ± 1 Ohm

(24)

HP : Distribuzione gaussiana e misure ripetibili ed indipendenti

Cosa significa scartare i dati la cui differenza dal valor medio sia altamente significativa ?

- Significa scartare i dati per i quali t > 2.56

- Significa che sono sicuro di eliminare l’1% di dati ‘buoni’

- Significa che avrò l’1% di probabilità di avere un ‘falso positivo’

- cioè di scartare un evento (definito come falso) che in realtà è buono (positivo)

Esempio:

Ho delle scatole con 1000 componenti elettrici che devono avere un valore di resistenza pari a 10 ± 1 Ohm. Poichè non posso misurare la resistenza di tutti i componenti elettrici della scatola ne piglio 20 e ne misuro la resistenza. Se il valor medio della resistenza è compreso tra 7.44 ed 12.56 Ohm allora la scatola viene avviata alla vendita. In caso contrario si butta via.

In questo caso, poichè il mio limite è 2.56 sigma, sono sicuro di buttare via solo l’1% di scatole buone insieme a quelle con materiale difettoso

Notate che in questo caso butto via meno scatole (solo l’1%) ma è più facile avviare alla vendita scatole con materiale difettoso

(25)

25

Media Pesata

Può capitare che una grandezza sia stata misurata più volte da persone o con tecniche differenti

Ciascuna di queste misure a sua volta è il risultato di molte misure e quindi è nella forma

Il calcolo del semplice valor medio potrebbe non essere conveniente se le incertezze non sono uguali o molto simili. E’ in generale più corretto usare la media pesata definita come

Attenzione: controllare che le misure siano consistenti, cioè che la discrepanza tra le diverse misure non sia sensibilmente maggiore delle rispettive deviazioni standard

3 3 2 2 1 1















x x

2 / 1

2

1





 



 





i

i b est

i i

i

i i

i i b est

w w w

x w x



(26)

Provate a fare gli esercizi dal 5.17 al 5.28 e dal 5.34 al 5.37

(27)

E’ tutto Chiaro ?

Dovreste aver chiari i seguenti argomenti:

• Discrepanza

• Livello di confidenza

• Compatibilità