Propagazione degli Errori
Fino ad ora abbiamo sempre e solo discusso di misure dirette. I concetti di valor medio, di deviazione standard e di errore fino a qui discussi sono associati a misure dirette
La maggior parte delle grandezze fisiche di solito non può essere misurata attraverso una singola misura diretta ma viene invece determinata in due passi distinti, come detto nella definizione di misure indirette:
1. Si misurano una o più grandezze che possono essere misurate direttamente e dalle quali può essere calcolata la grandezza che ci interessa.
2. Utilizzando i valori misurati si calcola la grandezza in questione
Un tipico esempio è la velocità media di un corpo. Essa necessita la misura dello spazio
percorso (i.e. 16 misure) e dell’intervallo di tempo (i.e. 9 misure) necessario per percorrerlo:
Quanto vale l’errore sulla velocità in questo caso ? s
m t
x v
s s
t
m m
x
t x v
m m
/ 6098 .
2 /
) 03 . 0 (
09 . 0 23 . 1
) 01 . 0 (
04 . 0 21 . 3
/
Propagazione degli Errori
In un caso come questo, quando la misura comporta queste due fasi, allora anche la stima delle incertezze necessita di due fasi distinte.
1. Occorre stimare le incertezze nelle grandezze che sono state misurate direttamente 2. Occorre trovare come gli errori si sono propagati
Questa ultima fase si chiama: Propagazione degli errori
Nota:
Il libro di testo presenta la propagazione degli errori in due momenti diversi. All’inizio
(capitolo 3) il libro presenta solo una definizione operativa poi (capitolo 8) fa una trattazione formalmente completa. Anche noi faremo ora una prima introduzione al concetto di
propagazione degli errori. Non daremo dimostrazioni ma solo le formule e le modalità di utilizzo.
Propagazione degli Errori
formula quasi completa (caso 2 variabili)
Supponiamo che le osservabili fisiche x,y siano misurate ciascuna con deviazione standard
x,y . Supponiamo che le osservabili x,y siano necessarie per estrarre il valore della osservabile q attraverso la formula q(x,y)
Allora, in prima approssimazione, la deviazione standard q è espressa dalla relazione:
) ,
0 q(x y q
standard deviazione
covarianza )
)(
1 (
misurati ,
x in calcolata x
ad rispetto parziale
derivata )
, (
) , ( )
, 2 (
) , ( )
, (
, , 1
2
,
, 2
2
, 2
2
,
x
y y x n x
i
i i
xy
y y x x
xy y y x x y
y y x x x
y y x x q
y y x N x
x y y x q dove
y y x q x
y x q y
y x q x
y x q
Propagazione degli Errori
Nota importante 1
la formula ‘quasi ‘completa nel caso di piu’ di due variabili ha tutte le derivare incrociate
Nota Importante 2 (pagina 111 Cannelli)
zy xz
xy z
y x
q y
q z
q z
q x
q y
q x
q x
q y
q x
q
() ()
() 2 2 ()
() 2 ()
() ()
() 2 2 2 2 2 2
Morale: La formula vale anche se viene usata la deviazione dalla media e non la deviazione standard della popolazione
Propagazione degli Errori
- Formula quasi completa ma ‘semplificata’
Supponiamo che le osservabili fisiche x,y, ..., z siano misurate ciascuna con deviazione standard x,y,…,z . Supponiamo che le osservabili x,y,…,z siano necessarie per estrarre il valore della osservabile q attraverso la formula q(x,y,…,z)
Allora, se gli errori di x,y,…,z sono indipendenti e casuali tra loro, la deviazione standard
q è espressa dalla relazione:
) ,..., ,
0 q(x y z
q
standard deviazione
misurati ,...,
, x in calcolata x
ad rispetto parziale
derivata )
,..., , (
) ,..., , ... (
) ,..., , ( )
,..., , (
,.., ,
2 2
,.., , 2
2
,.., , 2
2
,.., ,
x
z z y y x x
z z z y y x x x y
z z y y x x x
z z y y x x q
z x y
z y x q dove
z z y x q y
z y x q x
z y x q
Esempio
Calcoliamo l’errore sul seno di un angolo
Sia q = 1.484 radianti 85 gradi Sia q = 0.017 radianti 0.97 gradi
Voglio conoscere come l’errore si propaga l’errore su x f (q) sin q
0015 .
0 9962 .
0
0014737 .
0 9962356
. 0
0014737 .
0 017
. 0 484
. 1 cos cos
2 2
2 2
x x
Quindi
x x
x
q
q
Esercizio:
Un gruppo di studenti vuole misurare l’accelerazione di gravità utilizzando un pendolo.
Effettua una serie di misure per estrarre il periodo di oscillazione e la lunghezza del pendolo. Supponendo che
) (
947285 .
9
s 0.005
s 0.012
s 1.945
m 0.0004 m
0.0012
m 0.9532
4 2 2
calcolato ancora
stato è
non perche
decimali i
tutti usano
si g T d
T g d
m m
Applicando la formula generale di propagazione degli errori
alla relazione che da g
Si ottiene
Da cui
2 2
,.., , 2
2
,.., , 2
2
,..,
, 0 0 0 0 0 0 0 0
0
) ,..., , ... (
) ,..., , ( )
,..., , (
z z z y y x x y
z z y y x x x
z z y y x x
q z
z y x q y
z y x q x
z y x
q
2 2
, 2
2
, 0 0 0
0
) , ( )
, (
T T T d d d
T T d d
g T
T d g d
T d
g
2 2
, 3
2 2
2
, 2
2
0 0 0
0
4 2
4 1 T
T T d d d
T T d d
g T
d
T
12 . 0 95 . 9 g T su errore Domina
12 . 0 015066 .
0 000157 .
0
012 . 0 256 . 3 0012
. 0 321 . 3 012
. 945 0
. 1
9532 . 0 4 2
0012 . 945 0 . 1
4 1 2 2 2 2 2
2 3 2
2 2
2 2
g g
Esempio (pg. 53 bevington):
N
N N N
x N x
x x N N
x x
x x x
x
x x x
x
N x N
x x
x x
x
N x
N i
N i
i
N
i N
i i
x
N
i
i N
1 2
2
2 1
2 1
1
2
1
2 2
1 2
1
1
... 1 1
...
...
Se le misure sono ripetibili, indipendenti e senza errore sistematico allora la deviazione standard è sempre la medesima indipendentemente dall’indice ‘i’
cioè
Quando devo usare il termine di covarianza nella propagazione ?
Quando l’errore delle variabili x, y, .. non è indipendente tra loro, quando cioè una sovrastima o sottostima di x implica una sovrastima o sottostima di yallora la
relazione di propagazione degli errori, nell’ipotesi di una funzione a due variabili x e y, diventa:
) )(
1 ( Covarianza
) 2 , ( ) , ( )
, ( )
, (
, 2
2
, 2
2
,
x x y N y
dove
y y x q x
y x q y
y x q x
y x q
i i
xy
xy y
y x x y
y y x x x
y y x x q
Quando devo usare il termine di covarianza nella propagazione ? La covarianza xy stima in che proporzione “x” fluttua assieme a “y”.
- Se le osservabili fluttuano in modo indipendente il prodotto degli scarti si annulla (posto che N sia sufficientemente grande)
- Se le osservabili non fluttuano in modo indipendente il prodotto degli scarti ha segno definito così da rendere σ2xy non nulla e, a volte, non trascurabile rispetto a σ2x e σ2y
- nel caso in cui N (numero di misure) sia piccolo allora val la pena fare una prova (fatelo nelle relazioni non nello scritto a meno che non sia richiesto)
- Calcolo ipotizzando la non correlazione
- Calcolo ipotizzando la massima correlazione - e’ chiamato errore massimo
- Se la massima correlazione modifica il risultato della propagazione allora vale la pena di considerare il termine covariante
N yi y xi x
xy
Covarianza 1
Nota: Si può dimostrare che vale la disuguaglianza | xy | < xy Nota:
Se ci fosse la massima correlazione tra le incertezze delle osservabili allora:
Le incertezze quindi si sommano !
Si può dimostrare quindi che vale sempre questa disuguaglianza
y y y x x x
y y x x q
y x y y x x y
y y x x x
y y x x q
y x xy
y y x q x
y x q
y y x q x
y x q y
y x q x
y x q
, ,
, 2
2
, 2
2
,
) , ( )
, (
) 2 , ( ) , ( )
, ( )
, (
Covarianza
b b b
a a a
b b
a q a
b b a q a
b a
q
0 0 0
0
) , ( )
, (
Quindi:
Calcolo ipotizzando la non correlazione
Calcolo ipotizzando la massima correlazione (errore massimo)
Nel caso ci fosse una differenza sostanziale tra i due valori allora il contesto fisico e/o la analisi dati specifica mi dirà se posso ritenere i dati correlati o in generale cosa riportare come errore sperimentale
2 2
, 2
2
,
) , ( )
, (
y y y x x x
y y x x
q y
y x q x
y x
q
y y y x x x
y y x x
q y
y x q x
y x
q
, ,
) , ( )
, (
Cannelli pag. 111
14
Media Pesata
Può capitare che una grandezza sia stata misurata più volte da persone o con tecniche differenti Ciascuna di queste misure a sua volta è il risultato di molte misure e quindi è nella forma
Il calcolo del semplice valor medio potrebbe non essere conveniente se le incertezze non sono uguali o molto simili. E’ in generale più corretto usare la media pesata definita come
Attenzione: controllare che le misure siano consistenti, tra loro (discuteremo a fine lezione come fare) in pratica la tgauss tra le diverse misure non deve essere associata ad una probabilità eccessivamente bassa
Nota:
Questa relazione vale per la deviazione standard e per quella della media
3 3 2 2 1 1
x x
x x
x x
2 / 1
2
1
i
i b est
i i
i
i i
i i b est
w w w
x w x
Media Pesata
Nota:
E’ inutile fare una media pesata quando le deviazioni standard o deviazioni standard della media sono sostanzialmente uguali per tutte le misure. Fate la media delle misure e estraete la deviazione standard e/o della media dalle misure stesse (confrontando il risultato con l’errore minimo).
Sebbene sia corretto tenere conto dell’errore strumentale associato ad ogni misura, privilegiate sempre il dato sperimentale. Solo alla fine confrontatelo con l’errore minimo estratto sulla base delle incertezza strumentali:
Poiché l’errore minimo sul periodo non può essere di molto inferiore all’errore strumentale devo confrontare (alla fine dei conti) l’errore minimo (0.00002 s) con quello ricavato per il periodo medio
esempio:
Come vedete il valore medio calcolato con i due metodi è uguale.
Possono cambiare le deviazioni standard
Ottenuto dai solo dati sperimental
e, non dall’errore strumentale)
Ottenuto facendo la media pesata con la sigma strumentale
ATTENZIONE
Per poter applicare l’operazione di media pesata è necessario che
• Le misure siano indipendenti e ripetibili
• Non devono rappresentare analisi diverse di uno stesso dataset
• Devono essere compatibili tra loro
• Altrimenti non sarebbero ripetibili
• Notate che l’errore delle media pesata è sempre più piccolo dei singoli errori
• Notate che nell’errore della media pesata non entra il gioco il valore della misura Esempio è un errore GRAVE fare:
- X1 = 10 ± 1.2 - X2 = 2 ± 0.8
- Eseguo media pesata <x> = 4.5 ± 0.7
E’ tutto Chiaro ?
Dovreste aver chiari i seguenti argomenti:
• Propagazione degli errori
• Quando usare la covarianza nella propagazione degli errori
• Media pesata
