Facoltà di SCIENZE Anno Accademico 2020/21 Registro lezioni del docente GRECO ANTONIO

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Attività didattica

ANALISI MATEMATICA I [60/60/136]

Periodo di svolgimento: Primo Semestre

Docente titolare del corso: GRECO ANTONIO matr. 005969 Riepilogo registro docente:

GRECO ANTONIO matr. 005969

Docente interno - PROFESSORE ASSOCIATO Stato registro docente: Bozza

Ore inserite: 70 ore

Ore previste dall'offerta didattica: 96 ore

Gruppi di studenti con i quali è stata svolta l'attività - ore per gruppo - prevista per tutti gli studenti (senza gruppi associati) - 70 ore Ore inserite per tipologia di attività

70 ore lezione :

- prevista per tutti gli studenti (senza gruppi associati) - 70 ore Osservazioni:

Firma del docente titolare del corso:

Firma del presidente:

Data:

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Ora fine: 10:00 Ore accademiche: 1 Titolo attività:

Presentazione del corso.

Descrizione attività:

Illustrazione delle caratteristiche del corso con diretto riferimento alla scheda insegnamento:

programma, testi consigliati, modalità di svolgimento degli esami.

07/10/2020 - lezione - Docente: GRECO ANTONIO Ora inizio: 10:00

Il limite di una successione numerica.

Definizione di successione numerica. Cenni storici, con riferimento al calcolo dell'area del cerchio.

Definizione di limite, finito o infinito. Significato dei termini: convergente, divergente, indeterminata.

Applicazione della definizione di limite.

Calcolo del limite di alcune semplici successioni mediante applicazione diretta della definizione.

Pregi e difetti di una scorciatoia.

Illustrazione pratica di alcune tipiche considerazioni euristiche miranti a determinare il limite di una successione, nonché dei difetti di tali considerazioni con riferimento alla successione indeterminata (-1)^n e alla successione costante (-1)^(2n).

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Titolo attività:

Successioni fondamentali, numeri reali, e teoremi sui limiti.

Definizione di successione fondamentale. Definizione dei numeri reali come limiti delle successioni fondamentali di numeri reali. Enunciato dei teoremi sul limite della somma, della differenza, del prodotto e del rapporto di due successioni convergenti.

La dimostrazione del teorema sul limite di una somma sarà svolta nella lezione del 21/10/2020.

L'estensione del teorema sul limite del prodotto al caso in cui uno dei due fattori diverge sarà illustrata nella lezione del 16/10/2020.

Funzioni, dominio e codominio. Altri teoremi sui limiti. Permanenza del segno (1/2).

Definizione insiemistica di funzione, dominio e codominio. Immagine di una successione numerica.

La definizione dell'immagine di una funzione di una variabile reale sarà data nella lezione del 13 novembre.

Enunciato del teorema di Cantor: l'immagine di una successione numerica non coincide con l'insieme di tutti i numeri reali.

Dimostrazione del teorema della permanenza del segno (1/3): successioni convergenti a un limite non nullo.

Enunciato del teorema sul limite di una successione di potenze, il cui esponente abbia limite finito, e la cui base abbia limite finito e positivo.

Potenze con esponente reale: definizione.

Definizione della potenza b^a con esponente a numero reale qualunque, e base b > 0.

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Potenze con esponente reale: risposte alle domande degli studenti.

Risposte alle domande poste dagli studenti a proposito della definizione delle potenze con esponente reale. Calcolo del limite di alcune semplici successioni mediante diretta applicazione della definizione di limite.

Successioni limitate. Permanenza del segno (2/3).

Definizione di maggiorante, minorante, successione limitata superiormente, successione limitata inferiormente, successione limitata.

Dimostrazione del fatto che il rapporto fra un termine limitato ed uno divergente tende a zero.

Dimostrazione del fatto che i termini di una successione divergente a +infinito sono definitivamente positivi.

La limitatezza delle successioni convergenti sarà dimostrata nella prossima lezione.

Teorema del confronto (1/2). La progressione geometrica con base b > 1.

Dimostrazione del fatto che le successioni convergenti sono limitate.

Alcuni enunciati di confronto: 1) se due successioni ammettono limite, finito o infinito, allora la disuguaglianza debole, cioè il segno di minore o uguale, si conserva passando al limite. 2) Se una data successione ha una minorante che diverge a +infinito, allora anche la successione data diverge a +infinito.

Applicazione: dimostrazione del fatto che, se la base b è maggiore di 1, allora le potenze b^n tendono a +infinito. La dimostrazione si basa sulla stima per difetto della potenza b^n con l'espressione (b-1) n + 1, la quale diverge a +infinito.

A sua volta la suddetta stima si ricava osservando innanzitutto che l'incremento b^(n+1) - b^n si stima per difetto con b-1, e poi sommando su n.

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Successioni di potenze dei numeri naturali.

Dimostrazione del fatto che la successione delle potenze n^a con esponente a positivo diverge a +infinito.

Descrizione, con riferimento ad un semplice esempio, del tipico procedimento per trovare il limite di una combinazione lineare di potenze di n.

La progressione geometrica con base minore di 1.

Dimostrazione del fatto che la progressione geometrica a_n = a^n tende a zero qualunque sia la base a soddisfacente alla limitazione |a| < 1.

Discussione di semplici problemi di calcolo del limite di una successione data, con riferimento a particolari esempi illustrativi.

Esempi illustrativi del calcolo dei limiti.

Applicazione dei teoremi sui limiti per trovare il limite di semplici successioni numeriche, anche utilizzando il fatto che: condizione necessaria e sufficiente affinché una successione (a_n) converga al limite finito a, è che la differenza a_n - a tenda a zero.

Illustrazione numerica di alcune semplici successioni, e loro confronto, mediante l'utilizzo di un comune foglio di calcolo.

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Limite del rapporto di due combinazioni lineari di potenze. Permanenza del segno (3/3). Successioni monòtone.

Illustrazione del tipico procedimento di calcolo del limite del rapporto di due combinazioni lineari di potenze della variabile n. Il metodo della razionalizzazione del numeratore.

Estensione del teorema sul limite del prodotto, enunciato nella lezione del 9/10/2020, al caso in cui uno dei due fattori è divergente.

Teorema della permanenza del segno (3/3): il limite di una successione non negativa (se esiste) è a sua volta non negativo.

Definizione delle successioni crescenti e delle successioni decrescenti, sia in senso stretto che in senso lato.

La completezza dell'insieme dei numeri reali.

Illustrazione di una delle possibili formulazioni equivalenti della proprietà di completezza dell'insieme dei numeri reali: tutte le successioni monotone ammettono limite (quelle limitate hanno limite finito, quelle illimitate divergono).

Applicazione alla definizione del numero di Nepero, indicato con la lettera e. La monotonia della successione b_n=(1 + 1/n)^(n+1) sarà dimostrata nella lezione del 4 novembre.

Una seconda tipica formulazione della proprietà di completezza, detta "proprietà dell'estremo superiore", sarà illustrata nella lezione del 22/10/2020.

Forme indeterminate.

Spiegazione del significato della frase "infinito meno infinito è una forma indeterminata". Cenni ad altre espressioni similari: "zero per infinito", "zero su zero", "infinito su infinito", "zero elevato zero", "infinito elevato zero", "uno elevato infinito".

La forma indeterminata 1^∞ sarà esaminata nuovamente nella lezione del 18 novembre.

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Un cambiamento di variabile. La "congettura della parte intera".

Studio della successione (1-1/n)^n mediante il cambiamento di variabile k = n-1.

Confutazione della congettura della parte intera, secondo la quale la parte intera di una successione convergente ad 1 dovrebbe convergere anch'essa ad 1: la confutazione avviene mediante la

costruzione di un controesempio.

Valore assoluto e disuguaglianza triangolare.

Definizione del valore assoluto di un numero reale, e illustrazione di alcuna proprietà. Dimostrazione della disuguaglianza triangolare. Applicazione: dimostrazione del teorema sul limite della somma, enunciato il 9/10/2020.

La "proprietà dell'estremo superiore".

Definizione dell'estremo superiore di un insieme S di numeri reali, con particolare riferimento al caso in cui l'insieme S è l'insieme dei valori di una successione numerica.

Enunciato della "proprietà dell'estremo superiore", cioè l'esistenza dell'estremo superiore di un

qualunque insieme S di numeri reali, e sua equivalenza con la completezza (illustrata nella lezione del 20/10/2020).

Cenni alla relazione fra il massimo elemento di un dato insieme numerico, e l'estremo superiore dello stesso insieme.

Altri semplici esempi, in aggiunta a quello del 21/10/2020, di successioni numeriche (a_n) tali che la parte intera [a_n] non converge, come ci si potrebbe aspettare, alla parte intera del limite della successione (a_n).

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Il simbolo di sommatoria e il binomio di Newton.

Presentazione della formula di Newton per lo sviluppo della potenza ennesima del binomio.

Introduzione all'uso del simbolo di sommatoria, anche con riferimento al costrutto iterativo (ciclo "for") di taluni linguaggi di programmazione.

Proprietà delle sommatorie. Somma di alcuni termini di una progressione geometrica.

Illustrazione di alcune proprietà delle sommatorie, che discendono immediatamente dalle consuete proprietà delle operazioni di addizione e moltiplicazione.

Espressione della somma dei primi termini di una progressione geometrica. Esempi. La dimostrazione della formula sarà svolta nella prossima lezione.

La successione dei fattoriali e i coefficienti binomiali.

Dimostrazione della formula (nota ad Euclide) per esprimere la somma dei primi termini di una progressione geometrica.

Definizione della successione dei fattoriali dei numeri naturali. Definizione dei coefficienti binomiali.

Esempio: nel caso in cui l'esponente n valga 2, la formula di Newton restituisce il ben noto sviluppo del quadrato di un binomio.

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Alcune proprietà dei coefficienti binomiali.

Verifica, mediante applicazione della definizione dei coefficienti binomiali, del fatto che il valore di c_{n,k} coincide con quello di c_{n, n-k}.

Verifica del fatto che, nella formula di Newton per lo sviluppo della potenza (a+b)^n, è legittimo scambiare fra loro gli esponenti di a e di b. La verifica è stata svolta effettuando un opportuno cambiamento dell'indice di somma, e utilizzando la proprietà dei coefficienti binomiali indicata sopra.

Il triangolo di Tartaglia / Pascal.

Alcuni valori notevoli dei coefficienti binomiali: c_{n,0} = c_{n,n} = 1, e c_{n,1} = c_{n, n-1} = n.

Dimostrazione della proprietà più importante dei coefficienti binomiali: la somma di due coefficienti consecutivi, c_{n, k-1} e c_{n,k}, coincide con il coefficiente c_{n+1, k}.

Costruzione del triangolo di Tartaglia / Pascal mediante le proprietà sopra elencate.

Ulteriori proprietà dei coefficienti binomiali.

Verifica del fatto che il rapporto tra n! e (n-k)! è uguale al prodotto (n-k+1) · ... · n qualunque siano gli interi positivi n e k, a condizione che k non sia maggiore di n. La verifica è stata svolta semplificando la frazione n! / (n-k)!

Verifica del fatto che, qualunque siano gli interi positivi n e k, con k non superiore ad n, il coefficiente binomiale c_{n,k} si può ottenere dividendo per k! il prodotto (n-k+1) · ... · n. La verifica è stata svolta applicando il risultato precedente.

Verifica del fatto che la somma di tutti i coefficienti binomiali c_{n,k}, per k che va da zero ad n, vale 2^n. La verifica è stata svolta applicando la formula di Newton alla potenza (1+1)^n.

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Dimostrazione della formula di Newton.

Dimostrazione della validità della formula di Newton per lo sviluppo della potenza ennesima del binomio mediante un ragionamento induttivo. Cenni al principio di induzione matematica.

Introduzione alle serie numeriche. Condizione necessaria per la convergenza.

Indicazioni bibliografiche, con riferimento al testo adottato, riguardanti la teoria delle successioni numeriche, il principio di induzione matematica, e la formula di Newton per lo sviluppo della potenza ennesima del binomio.

Definizione di serie convergente, divergente, indeterminata. Esempi: serie a termini costanti; serie esponenziale. La convergenza della serie esponenziale sarà dimostrata nella lezione del 5 novembre.

Dimostrazione della condizione necessaria per la convergenza.

Teorema del confronto per le serie.

La condizione necessaria per la convergenza di una serie non è sufficiente per la convergenza, ed un controesempio è dato dalla serie armonica.

Enunciato e dimostrazione del teorema del confronto per le serie, nell'ipotesi in cui la serie minorante diverga a +infinito.

Illustrazione della costruzione della successione delle somme parziali della serie esponenziale mediante l'utilizzo di un comune foglio di calcolo.

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Semplici esempi di serie numeriche.

Semplici esempi di serie numeriche: convergenti, divergenti, indeterminate.

Uso dell'espressione della somma dei primi termini di una progressione geometrica, illustrata nella lezione del 23 ottobre, per determinare il carattere di una semplice serie.

La serie armonica.

Dimostrazione del fatto che le serie a termini non negativi non sono indeterminate.

Dimostrazione del fatto che la serie armonica è divergente, mediante una stima per difetto con una serie a termini costanti.

La proprietà associativa per le serie. Monotonia della successione b_n=(1 + 1/n)^(n+1).

Discussione della proprietà associativa per le serie, con riferimento alla somma di (-1)^k, che è indeterminata. Se una serie non è indeterminata, vale la proprietà associativa (enunciato).

Dimostrazione della monotonia della successione b_n=(1 + 1/n)^(n+1), già utilizzata il 20 ottobre per definire il numero di Nepero.

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La serie geometrica.

Presentazione del carattere della serie geometrica, carattere che dipende dalla ragione q della serie, e somma della serie geometrica nel caso in cui |q| < 1.

Semplici esempi: q=2, q=1/2, q=1/10. Esempio numerico, svolto con l'ausilio di un comune foglio di calcolo. Determinazione della somma di una serie geometrica a partire dall'espressione esplicita della somma ridotta, espressione già ricavata nella lezione del 23 ottobre.

Utilità delle serie geometriche per rappresentare i numeri decimali periodici (cenno). Un esempio illustrativo sarà presentato nella lezione del 5 novembre.

La proprietà distributiva per le serie.

Dimostrazione del fatto che le serie convergenti possono essere moltiplicate termine a termine per una costante, dando luogo ancora a serie convergenti.

Applicazioni: somma di una serie geometrica il cui termine generale sia il prodotto della potenza q^k per una costante a_0. Somma delle potenze q^k a partire da un qualunque valore di k>0.

La convergenza assoluta. Il criterio del rapporto.

Nozione di convergenza assoluta per le serie numeriche. Dimostrazione del fatto che le serie assolutamente convergenti sono convergenti.

Enunciato e dimostrazione del criterio del rapporto per le serie a termini diversi da zero. Applicazione:

la serie esponenziale introdotta nella lezione del 29 ottobre, il cui termine generale è 1/k! è convergente.

Esempio illustrativo della determinazione della frazione generatrice di un dato numero decimale periodico mediante l'utilizzo della serie geometrica e delle sue proprietà.

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La serie di Mengoli. Complementi sul criterio del rapporto.

Determinazione del carattere e della somma della serie di Mengoli.

Uso della serie armonica, della serie di Mengoli, e della serie di Grandi, il cui termine generale è (-1)^k, per discutere il caso in cui il valore assoluto del rapporto fra due termini consecutivi di una serie tende ad 1.

Il criterio della radice e il criterio di Leibniz.

Enunciato del criterio della radice. Enunciato e dimostrazione del criterio di Leibniz, con applicazioni ad alcune semplici serie, inclusa la stessa serie di Leibniz.

Dimostrazione induttiva dell'uguaglianza 1 + ... + n = (n+1)n/2.

Discussione e confutazione di una falsa notizia, resa popolare per mezzo della rete internet, in base alla quale la somma di tutti i numeri interi positivi sarebbe uguale a -1/12.

Esempi di applicazione di alcuni criteri di convergenza.

Studio del carattere della serie logaritmica, svolto utilizzando opportunamente alcuni criteri di convergenza illustrati nelle lezioni precedenti.

Ne segue, in particolare, un limite notevole: qualunque sia b>1, il rapporto fra b^k e k tende all'infinito.

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Intervalli. Funzioni pari e funzioni dispari. Grafico di una funzione.

Introduzione alla teoria delle funzioni di una variabile reale (la definizione di funzione è stata illustrata nella lezione del 9 ottobre). Definizione del grafico di una funzione data. Intervalli limitati, intervalli illimitati, intervalli aperti, semiaperti, chiusi. Definizione di funzione pari e di funzione dispari. Semplici esempi: x^2, 1/x, radice quadrata di x.

Cenni di topologia e di logica. Potenze con esponente intero.

Punti interni ad un sottoinsieme S dell'insieme R dei numeri reali. Definizione di sottoinsieme aperto e di sottoinsieme chiuso dell'insieme R dei numeri reali. L'insieme vuoto e l'insieme R sono sia aperti che chiusi.

Il simbolo di implicazione logica e il suo significato. Relazione con i concetti di condizione necessaria e di condizione sufficiente.

Parità, disparità, e grafico della funzione f(x) = x^z con esponente z intero relativo. Interpretazione grafica della parità e della disparità di una funzione.

Parte pari e parte dispari. Monotonia. Limite finito per x che tende all'infinito.

Definizione della parte pari e della parte dispari di una funzione, e rappresentazione di una funzione come somma della sua parte pari e della sua parte dispari. Definizione del coseno iperbolico e del seno iperbolico come parte pari e parte dispari della funzione esponenziale. Prolungamento di una funzione per parità e per disparità.

Monotonia di una funzione di una variabile reale. Esempio: la funzione e^x è (positiva e) strettamente crescente. La dimostrazione della stretta monotonia della funzione 2^x sarà svolta in modo analogo nella lezione del 18 novembre.

Definizione di limite finito di una funzione f(x) per x che tende all'infinito.

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Studio della parità e della disparità di semplici funzioni. Restrizione di una funzione.

Discussione di semplici esempi di funzioni pari, dispari, né pari né dispari.

Restrizione di una funzione ad un dato sottoinsieme del dominio.

Limite infinito per x che tende all’infinito. Teoremi sui limiti. Qualche limite notevole.

Definizione di limite infinito per x che tende all’infinito. Enunciato dei teoremi sui limiti della somma, differenza, rapporto, potenza.

Enunciato del teorema della permanenza del segno e del teorema del confronto.

Determinazione del limite, per x che tende a +infinito, della funzione (1 + 1/x)^x e del rapporto (b^x)/x con b>1.

La composizione di due funzioni. Dominio, immagine di una funzione. Traslazione in direzione y.

Definizione dell'immagine di una funzione di una variabile reale. Esempio di ricerca del dominio di una funzione data, con riferimento alla funzione f(x) = (1 + 1/x)^x. La definizione dell'immagine di una successione numerica è stata presentata nella lezione del 9 ottobre.

Concetto di funzione composta di due funzioni date.

Effetto sul grafico di una semplice traslazione nella direzione dell'asse y: passaggio da f(x) a f(x) + 1.

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Limite di f(x) per x che tende a -infinito o ad un punto al finito. Cambiamento di variabile.

Definizione del limite di una funzione f della variabile reale x per x che tende a -infinito o ad un punto al finito. Limite destro e limite sinistro.

Cambiamenti di variabile nel calcolo dei limiti: limite della funzione composta f(g(t)) sotto le ipotesi che g → +∞ e che f(x) → L per x → +∞.

Determinazione del limite di f(x) per x → -∞ a partire dal limite di g(t) = f(-t) per t → +∞. Applicazione:

determinazione del limite di (1 + 1/x)^x per x → -∞ mediante il cambiamento di variabile x = -t.

Calcolo di limiti mediante la definizione: limiti all'infinito.

Verifica del fatto che 1/x → 0 e x² → +∞ per x → +∞, svolta mediante applicazione della definizione di limite.

Calcolo di limiti mediante la definizione ed il teorema del confronto.

Verifica del fatto che, se α>0, risulta x^α → +∞ per x → +∞ (il limite per x → 0 sarà determinato nella lezione del 19 novembre).

Stretta monotonia della funzione f(x) = x^α sull'intervallo [0, +∞) sotto l'ipotesi che α>0.

Significato dell'uguaglianza 1/∞ = 0.

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Limite all'infinito della funzione esponenziale.

Dimostrazione del fatto che 2^x → +∞ per x → +∞, svolta mediante confronto con la successione 2^n: lo studio di quest'ultima successione è stato svolto nella lezione del 14 ottobre.

Dimostrazione della stretta monotonia della funzione 2^x, svolta con lo stesso procedimento usato nella lezione del giorno 11 novembre per la funzione e^x.

Limite destro: dimostrazione del fatto che 1/x → +∞ per x → 0^+, svolta applicando la definizione.

Esempi di calcolo di limiti al finito. Cambiamento di variabile. La forma indeterminata 1^∞.

Dimostrazione del fatto che 1/x → -∞ per x → 0^-, svolta mediante applicazione della definizione di limite. Interpretazione grafica.

Dimostrazione del fatto che |1/x| → +∞ per x → 0, svolta mediante applicazione della definizione di limite.

Dimostrazione del fatto che la funzione (1+h)^(1/h) tende al numero di Nepero quando h → 0, svolta effettuando il cambiamento di variabile x = 1/h nella funzione f(x) = (1 + 1/x)^x: il limite di f(x) per x →

±∞ è stato determinato nelle lezioni del 12 e del 13 novembre.

Cenni alla cosiddetta forma indeterminata 1^∞, con riferimento alle funzioni 1^x e (1 + 1/x)^x per x → +∞. Altre forme indeterminate sono state presentate nella lezione del 20 ottobre.

Altri esempi di calcolo di limiti al finito: la funzione parte intera.

Calcolo del limite destro e del limite sinistro della funzione f(x) = [x] (parte intera di x) per x → 0.

Tracciamento del grafico di tale funzione.

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Limiti di funzioni polinomiali.

Limite della potenza x^β, con β<0, per x → +∞.

Limite della potenza x^α, con α>0, per x → 0^+ (il limite per x → +∞ è stato determinato nella lezione del 17 novembre).

Grafico della funzione f(x) = x^α, con α>0, sull'intervallo [0, +∞).

Determinazione del limite di una funzione polinomiale f(x) = a_0 + ... + a_n x^n per x → +∞ (il limite per x → -∞ sarà determinato nella lezione del 20 novembre).

I limiti delle funzioni razionali.

Determinazione del limite di un polinomio P(x), di grado n ≥ 1, per x → -∞ (il limite per x → +∞ è stato determinato nella lezione del 19 novembre).

Determinazione del limite di una funzione razionale P(x)/Q(x) per x → ±∞.

La continuità da destra e da sinistra. Esempi e controesempi.

Definizione della continuità da destra e della continuità da sinistra di una funzione della variabile reale x in un dato punto x_0.

Verifica della continuità da destra della funzione f(x) = [x] (parte intera di x) in ogni punto dell'insieme dei numeri reali.

Verifica della discontinuità da sinistra della funzione f(x) = [x] in ogni punto di ascissa intera. La continuità da sinistra della medesima funzione in ogni punto di ascissa non intera sarà dimostrata nella lezione del 26 novembre.

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Esempi di calcolo di limiti all'infinito: polinomi e funzioni razionali.

Rassegna di esempi illustrativi del procedimento per il calcolo dei limiti dei polinomi e delle funzioni razionali per x → ±∞.

Definizione della continuità. Continuità delle funzioni razionali.

Definizione della continuità di una funzione di una variabile reale in un punto interno al dominio. Cenni storici.

Dimostrazione della continuità della funzione identica f(x) = x mediante applicazione della definizione.

Dimostrazione della continuità dei polinomi e delle funzioni razionali, in tutti i punti del loro dominio, mediante applicazione dei teoremi sui limiti.

Calcolo del limite di (x² + 1)^½ – x per x → +∞, mediante razionalizzazione.

Calcolo del limite di (x² + 1)^½ – x per x → +∞, svolto sfruttando l'identità [(x² + 1)^½ + x] [(x² + 1)^½ – x] = 1.

Asintoti per x → +∞.

Definizione di asintoto per una funzione f(x), per x → +∞. Condizioni necessarie e sufficienti per

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Asintoti per x → -∞. Asintoti verticali. Studio della continuità della funzione parte intera.

Asintoti per x → -∞. Asintoti verticali. Esempi.

Studio della continuità da sinistra della funzione f(x) = [x] (parte intera) per ogni x ∊ R∖Z. La

dimostrazione della discontinuità da sinistra in ogni punto x ∊ Z, e della continuità da destra in ogni punto x ∊ R, è stata svolta nella lezione del 20 novembre.

Significato dei simboli bourbakisti N, Z, Q, R, C e ∅.

Teoremi sulle funzioni continue.

Continuità della somma f+g, della differenza f-g, del prodotto fg, del rapporto f/g e della potenza g^f di due funzioni continue f e g, con riferimento ai teoremi sui limiti enunciati nella lezione del 12 novembre.

Esempi: continuità della funzione esponenziale b^x, con b > 1, e della funzione x^a con a ∊ R.

Continuità delle funzioni potenza nel punto x_0 = 0. Teorema degli zeri e teorema dei valori intermedi.

Dimostrazione, mediante applicazione della definizione, della continuità della funzione x^a, con a > 0, nel punto x_0 = 0.

Enunciato del teorema degli zeri e del teorema dei valori intermedi. Le dimostrazioni saranno svolte nella lezione del 2 dicembre.

(21)

Funzione inversa di una funzione data. Funzione logaritmica.

Concetto di funzione iniettiva. Definizione della funzione inversa di una funzione data. Enunciato del teorema sull'invertibilità di una funzione continua e strettamente monotona su di un intervallo.

Definizione della funzione logaritmica.

Le proprietà dei logaritmi.

Dimostrazione delle principali proprietà dei logaritmi a partire dalla definizione: il logaritmo del prodotto di due numeri positivi è uguale alla somma dei logaritmi dei due numeri suddetti; il logaritmo del rapporto di due numeri positivi è uguale alla differenza dei logaritmi dei due numeri suddetti; il logaritmo di una potenza con esponente reale (e con base positiva) è uguale al prodotto dell'esponente per il logaritmo della base.

La derivata di una funzione.

Definizione della derivabilità di una funzione in un punto. Funzione derivata. Derivate successive.

Derivata di ordine zero.

Determinazione della derivata della funzione f(x) = mx+q mediante applicazione della definizione.

Determinazione della derivata della funzione f(x) = log|x| mediante applicazione della definizione, e con l'utilizzo del limite di (1+h)^(1/h) per h → 0, determinato a sua volta nella lezione del 18 novembre.

(22)

Il teorema di Weierstrass.

Enunciato del teorema di Weierstrass sull'esistenza del massimo e del minimo per una funzione di classe C([a,b]).

Dimostrazione dell'equivalenza tra il teorema degli zeri e il teorema dei valori intermedi (i due teoremi sono stati enunciati nella lezione del 27 novembre). Dimostrazione del teorema degli zeri mediante un procedimento di bisezione.

Derivabilità e continuità.

Sviluppo del primo ordine di una funzione derivabile in un punto. Conseguenza: la derivabilità implica la continuità.

Verifica del fatto che la funzione f(x) = |x| è continua per ogni x∊R, è derivabile per x≠0 e non è derivabile per x=0.

Definizione della derivata destra e della derivata sinistra.

La funzione sett senh y. Il differenziale di una funzione: introduzione.

Suggerimenti per mettere a frutto l'attività del tutor, che incomincerà il 4 dicembre.

Determinazione della funzione inversa della funzione senh x, indicata con sett senh y, o anche con senh^(-1) y.

Espressione dell'incremento ∆f, di una funzione derivabile, in termini di ∆x.

(23)

Il differenziale di una funzione: definizione. Il simbolo di Landau o piccolo. Formula di Taylor con il resto di Peano. Equazione della retta tangente.

Definizione del differenziale di una funzione. Definizione del simbolo di Landau o piccolo. Formula di Taylor con il resto di Peano (enunciato). Equazione della retta tangente al grafico di una funzione derivabile in un punto dato.

Interpretazione geometrica della derivata. Derivata delle funzioni potenza.

Interpretazione geometrica della derivata, illustrata anche mediante un'animazione grafica computerizzata.

Derivata delle funzioni potenza, ricavata con l'utilizzo della formula del binomio di Newton.

Linearità dell'operatore di derivazione. Regola di derivazione del prodotto.

Dimostrazione della linearità dell'operatore di derivazione. Applicazione: derivata di un polinomio.

Dimostrazione della regola di derivazione del prodotto.

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La forma indeterminata zero elevato zero: concetto.

Illustrazione del concetto di "forma indeterminata", già presentato in generale il 20/10, con particolare riferimento alla forma zero elevato zero.

Limiti notevoli: dimostrazione del fatto che le funzioni esponenziali b^x, con base b>1, tendono a +infinito quando x tende a +infinito. Lo stesso risultato si ottiene, a maggior ragione, sostituendo l'esponente x con x^2.

Derivata della funzione y=1/x. Derivata di una funzione composta.

Determinazione della derivata della funzione y=1/x mediante applicazione della definizione della derivata.

Espressione della derivata della funzione f(g(x)) mediante le derivate delle funzioni f(t) e g(x) (ammesso che tali derivate esistano). Notazione di Leibniz. Dimostrazione.

Rassegna di vari limiti di potenze (g(x))^f(x), con f e g infinitesime (limiti della cosiddetta forma "zero elevato zero").