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Rappresentazione binaria dei numeri interi senza segno

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Academic year: 2022

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(1)

Rappresentazione binaria

dei numeri interi senza segno

(2)

Conversione Decimale-Binario:

55 mod 2 =1 = a0

(55 div 2) mod 2 = 27 mod 2 = 1 = a1

((55 div 2) div 2) mod 2= (27 div 2) mod 2=13 mod 2=1=

a2

(13 div 2) mod 2= 6 mod 2 = 0 =a3 (6 div 2) mod 2 = 3 mod 2 = 1 =a4 (3 div 2) mod 2 = 1 mod 2 = 1 = a5 Dunque:

5510=1101112

Conversione Binario-Esadecimale:

1) Raggruppo i bit a blocchi di 4:

11 0111

2) Converto ciascun blocco in base 16 112=316 01112=716

Dunque: 1101112 = 3716

00110111 37

(3)

Conversione Binario-Decimale:

01010010 =0*20+1*21+0*22+0*23+1*24+0*25+1*26+0*27=

=2+16+64=8210

Conversione Binario-Esadecimale:

1) Raggruppo i bit a blocchi di 4:

0101 0010

2) Converto ciascun blocco in base 16 01012=516 00102=216

=>5216

82 52

00110111 37

(4)

Conversione Esadecimale-Decimale:

A7 =10*161+7*160=10*16+7=167 3E = 3*161+E*161=48+14=62

Conversione Esadecimale-Binario:

1) Traduco ciascuna cifra esadecimale in un blocco di 4 bits :

A16 = 1010= 23+21=10102 716 = 710= 22+21+20=01112 2) Il binario corrispondente si ottiene

sostituendo ciascuna cifra esadecimale con il relativo blocco di 4 bit:

A716=101001112

167

52

00110111 37

82

62

10100111

(5)

Somma tra Numeri Binari Interi Positivi

Regole base:

• 0+0=0

• 0+1=1+0=1

• 1+1=0 con riporto di 1

• 1+1+(1)=1 con rip.1, dove (1) e’ il riporto proveniente dallo step precedente

Esempio:

0 0 0 0 1 1 1 0 riporti 0 0 1 0 1 1 1 0 +

0 1 0 0 0 1 1 1 = --- 0 1 1 1 0 1 0 1

1 0 0 0 1 1 1 0 riporti 1 0 1 0 1 1 1 0 +

1 1 0 0 0 1 1 1 = --- 1 1 1 1 0 1 0 1 Un trabocco indica

un overflow

(6)

Sottrazione tra Numeri Binari Interi Positivi

Regole base:

• 0-0=0

• 0-1=1 con prestito di 1

• 1-0=1

• 1-1=0

Esempio:

0 1 0 0 0 1 1 1 prestiti 1 0 1 0 1 1 1 0 -

0 1 0 0 0 1 1 1 = --- 0 1 1 0 0 1 1 1

1 1 0 1 1 1 1 1 prestiti 1 0 1 0 0 1 1 0 -

1 1 0 0 0 1 1 1 = --- 1 1 0 1 1 1 1 1 Un trabocco indica

un underflow.

(7)

Moltiplicazione tra Numeri Binari Interi Positivi

• La moltiplicazione puo’ essere realizzata banalmente sommando al moltiplicando se stesso, un numero di volte pari al valore del moltiplicatore. 5*3=5+5+5=15.

• Assumendo che la somma abbia costo costante operando su addendi

rappresentabili con un numero di bits noto a priori, tale algoritmo ha complessità

computazionale pari a O(N), dove N è il valore del moltiplicatore.

• Se moltiplicando e moltiplicatore sono rappresentati con k bits, il prodotto può richiedere fino a un max di 2k bits per la sua rappresentazione.

00110 x 00101 = 00110

00000 00110 00000 00000

000011110

somme

parziali

(8)

Moltiplicazione tra Numeri Binari Interi Positivi: Potenze di 2

• Nel caso di moltiplicazione per potenza k-esima di 2 il risultato è uno shift a

sinistra di k posizioni:

00110 x 10 = 00000

00110 001100

00110 x 100 = 00000

00000 00110

0011000

(9)

Divisione tra Numeri Binari Interi Positivi

10011011 1001 1001 10001

00001011 1001 0010

Verifichiamo la correttezza del calcolo:

1001*

10001=

1001 0000 0000 0000 1001

10011001+

0010=

(resto)

10011011

resto

quoziente

(10)

Divisione tra Numeri Binari Interi Positivi: Potenze di 2

• Nel caso di divisione per potenza k-esima di 2 il risultato è uno shift a destra di k posizioni:

10011011 1000 1000 10011

0001101

1000

1011

1000

11

(11)

Rappresentazione binaria

dei numeri interi con segno

(12)

101011012 = 1+4+32+128 =16510 (senza segno) 101011012=-1*(1+4+8+32)=-4510 (segno e modulo) 101011012=-1*27+1+4+32=-9110 (complemento a 2)

per verificare: a) invertiamo 1 con 0 e viceversa: 0101000102, b) sommiamo 1: 0101000112=91

Proprietà della rappresentazione in complemento a 2:

1) L’operazione di cambiamento di segno è eseguibile complementando alla base 2) La sottrazione si può ricondurre ad una somma (vedi prox slide)

3) E’ possibile rappresentare lo stesso numero con un numero maggiore di bit semplicemente copiando il bit + significativo:

es: -710=10012 (con 4 bit)=111110012 (con 8 bit)= 11111111111110012

(13)

Somma tra Numeri Binari in Complemento a 2

• Siano a e b due numeri e sia R(a) e R(b) la rappresentazione di a e b in complemento alla base (ad es. base 2)

• Sommando R(a) ed R(b), e ignorando l’eventuale riporto dalla posizione più significativa, otteniamo R(a+b).

• A meno che non vi sia discordanza tra il segno del risultato e quello comune dei due addendi (ovvero a>0,b>0,a+b<0 oppure

a<0,b<0,a+b>0): in tal caso si ha un supero di capacità.

00102+11012=11112 [2 + (-3) = -1] riporto 0000 0010+

1101=

1111 01102+01112=OVERFLOW[6 + 7 = 13>7!] riporto 0110

0110 0111

In generale per calcolare a – b basta:

1) Trovare il complemento a 2 di b, cioè -b 2) Sommare a+(-b)

(14)

Somma tra Numeri Binari in Complemento a 2

• Siano a e b due numeri e sia R(a) e R(b) la rappresentazione di a e b in complemento alla base (ad es. base 2)

• Sommando R(a) ed R(b), e ignorando l’eventuale riporto dalla posizione più significativa, otteniamo R(a+b).

• A meno che non vi sia discordanza tra il segno del risultato e quello comune dei due addendi (ovvero a>0,b>0,a+b<0 oppure

a<0,b<0,a+b>0): in tal caso si ha un supero di capacità.

11112+10002=OVERFLOW [-1 + (-8) = -9<-8] riporto 1000 1111+

1000=

0111 01102+11112=0111 [6 + (-1) = 5] riporto 1110

0110 1111 0101 L’overflow è possibile solo se gli

addendi hanno segno comune!

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