Eser izio 1.1. Sia T :R 4
!R 4
l'appli azionelineare tale he
T 2
6
6
4 x
1
x
2
x
3
x
4 3
7
7
5
= 2
6
6
4 x
1 +x
2 +2x
3 +x
4
x
1 +2x
2 +4x
3 +x
4
2x
1 +2x
2 +4x
3 +3x
4
x
1 2x
2
+(k 4)x
3 +2x
4 3
7
7
5
dove k 2R un parametro reale.
a) Dis utere l'iniettivita e suriettivita di T al variare di k 2R.
b) Determinare una base degli spazi vettoriali Im(T) e N(T) al variare di k 2R.
Soluzione:
Determiniamolamatri easso iata a T rispettoalla base anoni a al olando:
T(e
1
)=(1;1;2; 1)
T(e
2
)=(1;2;2; 2)
T(e
3
)=(2;4;4;k 4)
T(e
4
)=(1;1;3;2)
Quindila matri easso iatae:
2
6
6
4
1 1 2 1
1 2 4 1
2 2 4 3
1 2 k 4 2
3
7
7
5 )
II I
III 2I
IV +II 2
6
6
4
1 1 2 1
0 1 2 0
0 0 0 1
0 0 k 3 3
7
7
5 )
IV
III 2
6
6
4
1 1 2 1
0 1 2 0
0 0 k 3
0 0 0 1 3
7
7
5
a) Sappiamo he dim(Im(T))=rg(A) e dim(N(T))=4 dim(Im(T)), quindi
{ Se k 6=0,allora dim(Im(T))=rg(A) =4 e dim(N(T)) =4 4 =0,e T e sia
suriettiva he iniettiva.
{ Se k =0,allora dim(Im(T))=rg(A)=3e dim(N(T))=4 3=1, eT none
nesuriettivaneiniettiva.
b) An he inquesto aso dobbiamo distinguere due asi
{ Se k 6=0,allora
B(Im(T))=fT(e
1 ); T(e
2 ); T(e
3 ); T(e
4 )g
N(T)=f(0;0;0;0)g
{ Se k=0,allora
B(Im(T))=fT(e ); T(e ); T(e )g
Inoltre il nu leoedato dalle soluzioni delsistema omogeneo asso iato aA:
8
>
<
>
: x
1 +x
2 +2x
3 +x
4
=0
x
2 +2x
3
=0
x
4
=0
) 8
>
>
>
<
>
>
>
: x
1
=0
x
2
= 2t
x
3
=t
x
4
=0
8t2R
Quindi
B(N(T))=f(0; 2;1;0)g
Eser izio 1.2. Sia S l'endomor smo di R 4
on matri e asso iata
A= 2
6
6
4
1 2 2 4
0 1 0 0
0 1 0 2
0 1 0 2
3
7
7
5
rispetto alla base anoni a.
a) Determinare autovalori e autovettori di S.
b) Stabilire se S e diagonalizzabile e in aso positivo individuare la matri e diagona-
lizzante.
Soluzione:
a) Cal oliamoil polinomio aratteristi o diA:
p
A
()=det(A I)=(1 ) 2
( )(2 )
Gli autovaloridiA sono gli zeri delsuo polinomio aratteristi o:
1
=1 doppio
2
=0
3
=2
Consideriamo prima l'autovalore = 1. Il relativo autospazio e dato dalle
soluzioni delsistema omogeneo asso iato alla matri eA I:
2
6
6
4
0 2 2 4 j 0
0 0 0 0 j 0
0 1 1 2 j 0
0 1 0 1 j 0
3
7
7
5 )
1=2I
III+2I 2
6
6
4
0 1 1 2 j 0
0 0 0 0 j 0
0 0 0 0 j 0
0 1 0 1 j 0 3
7
7
5 )
(
y+z+2w =0
w=0
) 8
>
>
>
<
>
>
>
: x=s
y= t
z = t
w=t
) E(1)=h (1;0;0;0); (0; 1; 1;1) i
A questo punto possiamo gia a ermare he A e diagonalizzabilein quanto = 1
Consideriamooral'autovalore=0. Ilrelativoautospazioedatodallesoluzioni
del sistemaomogeneo asso iato allamatri e A
2
6
6
4
1 2 2 4 j 0
0 1 0 0 j 0
0 1 0 2 j 0
0 1 0 2 j 0
3
7
7
5 )
8
>
<
>
:
x+2y+2z+4w =0
y=0
y+2w =0
) 8
>
>
>
<
>
>
>
:
x= 2t
y=0
z =t
w=0
) E(0)=h ( 2;0;1;0)i
Consideriamooral'autovalore=2. Ilrelativoautospazioedatodallesoluzioni
del sistemaomogeneo asso iato allamatri e A 2I
2
6
6
4
1 2 2 4 j 0
0 1 0 0 j 0
0 1 2 2 j 0
0 1 0 0 j 0
3
7
7
5 )
8
>
<
>
:
x+2y+2z+4w=0
y=0
y+2z+2w =0
) 8
>
>
>
<
>
>
>
: x=2t
y=0
z = t
w=t
) E(2)=h (2;0; 1;1)i
b) Abbiamogiaosservato heT ediagonalizzabileinquantolasommadelledimensioni
dei suoi autospazie 4=dim(R 4
), inoltrela matri ediagonalizzanteP e:
P = 2
6
6
4
1 0 2 2
0 1 0 0
0 1 1 1
0 1 0 1
3
7
7
5
Notiamo he
P 1
AP = 2
6
6
4
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 0 0
0 0 0 2 3
7
7
5
Eser izio 1.3. Siano A e B le matri i reali
A= 2
4
1 0 4
0 1 2
0 0 3 3
5
e B = 2
4
3 0 0
k 1 0
5 k 1 1 3
5
a) Determinare, se esistono, i valori delparametro reale k per ui A e B sono simili.
Soluzione:
Duematri idiagonalizzabilisonosimilisesono similiallastessa matri ediagonale, ovvero
se hanno gli stessi autovalori. Inoltre se una delle due matri ie diagonalizzabilementre
l'altranonloe,alloraleduematri inonsonosimili. Studiamoquindiladiagonalizzabilita
diA e B.
p
A
()=(1 ) 2
(3 )
p ()=(1 ) 2
(3 )
quindi A e B hannogli stessi autovalori
1
=1,doppio, e
2
=3.
Per stabilirese Ae diagonalizzabile al oliamo ladimensione delsuo autospazio E
A (1)
risolvendo ilsistema omogeneo asso iato aA I:
2
4
0 0 4
0 0 2
0 0 3 3
5
) E
A
(1)=h(1;0;0); (0;1;0)i
ela matri eA e diagonalizzabile.
Aquestopuntopossiamoa ermare heAeB sonosimiliseesolosean heB ediagona-
lizzabile. Cal oliamoquindi la dimensione delsuo autospazio E
B
(1) risolvendo il sistema
omogeneo asso iato a B I:
2
4
2 0 0
k 0 0
5 k 1 0 3
5
) 8
>
<
>
:
2x=0
kx=0
5x+(k 1)y =0 )
8
>
<
>
: x=0
(k 1)y =0
z =t
Quindil'autospazio E
B
(1)hadimensione 2 se esolose k =1.
In ne A eB sono similisolamentese k =1, quando sono entrambesimiliallamatri e
D= 2
4
1 0 0
0 1 0
0 0 3 3
5
Eser izio 1.4. Sia W il sottospaziodi R 4
( on il prodotto s alare anoni o) generato dai
vettori
w
1
=(1;1;0;1); w
2
=(1; 2;0;0); w
3
=(1;0; 1;2):
a) Trovare una base ortonormale di W.
b) Trovare una base del omplemento ortogonaledi W.
Soluzione:
a) Notiamo he l'insiemefw
1
;w
2
;w
3
geuna basediW inquantoivettorisono linear-
mente indipendenti (la matri e asso iata ha rango 3). Per determinare una base
ortonormale fu
1
;u
2
;u
3
g dobbiamo utilizzareilmetododi Graham-S hmidt.
Il vettore u
1
lootteniamo normalizzandow
1 :
u
1
= w
1
kw
1 k
= 1
p
3
(1;1;0;1)
Per al olare il vettore u
2
omin iamo on il al olare ilvettore v
2
ortogonale a
u
1 :
v
2
=w
2 (w
2
;u
1 )u
1
=(1; 2;0;0) 1
p
3 1
p
3
(1;1;0;1)
= 1
3
[ (3; 6;0;0)+(1;1;0;1)℄= 1
3
(4; 5;0;1)
Determiniamoora il vettore didirezione parallelaa (4; 5;0;1)di norma1:
u
2
= 1
p (4; 5;0;1)
An he per al olareil vettore u
3
al oliamoprima ilvettore v
3
ortogonaleau
1 e
u
2 .
v
3
=w
3 (w
3
;u
1 )u
1 (w
3
;u
2 )u
2
=(1;0; 1;2) 3
p
3 1
p
3
(1;1;0;1) 6
p
42 1
p
42
(4; 5;0;1)
=(1;0; 1;2) 3
3
(1;1;0;1)+ 6
42
( 4;5;0; 1)
=(1;0; 1;2) (1;1;0;1)+ 1
7
( 4;5;0; 1)= 1
7
( 4; 2; 7;6)
Determiniamoquindi ilvettoredidirezione parallelaa ( 4; 2; 7;6)dinorma 1:
u
3
= 1
p
105
( 4; 2; 7;6)
In ne una base ortonormaledi W e
1
p
3
; 1
p
3
;0;
1
p
3
;
4
p
42
; 5
p
42
;0;
1
p
42
;
4
p
105
; 2
p
105
; 7
p
105
; 6
p
105
b) Il omplementoortogonaleW
?
eformato daivettoridi R 4
ortogonaliai vettori di
W, ovvero ortogonaliaglielementi diuna sua base, quindi
W
?
=f(x;y;z;w)j x+y+w=0; x 2y =0; x z+2w =0g
Risolviamo quindi il sistemaomogeneo ottenuto:
2
4
1 1 0 1 j 0
1 2 0 0 j 0
1 0 1 2 j 0
3
5
) II I
III I 2
4
1 1 0 1 j 0
0 3 0 1 j 0
0 1 1 1 j 0
3
5
)
3III II 2
4
1 1 0 1 j 0
0 3 0 1 j 0
0 0 3 4 j 0
3
5
) 8
>
>
>
<
>
>
>
: x=
2
3 t
y= 1
3 t
z = 4
3 t
w=t
8t2R
In ne
B(W
?
)=f ( 2; 1;4;3) g
Eser izio 1.5. Sia C
k
la oni a di equazione
C
k : x
2
+(k 2)xy+y 2
4=0 (k parametro reale)
a) Al variare di k 2R, ri onos ere di quale tipo di oni a si tratti.
b) Trovare le oni hedegeneri della famiglia.
) Mostrare he i sono due rette he sono assi di simmetria di ogni oni a della
famiglia.
Consideriamolematri i A 0
e A asso iate alla oni a:
A 0
= 2
4 1
k 2
2 0
k 2
2
1 0
0 0 4
3
5
a) Comin iamo adistinguere il aso degenere:
det(A 0
)= 4 1
k 2
2
2
!
quindi det(A 0
)=0 se
k 2
2
2
=1, ioe
k 2
2
=1 ) k 2=2 ) k
1
=4
k 2
2
= 1 ) k 2= 2 ) k
2
=0
In ne la oni aenon degenere sek 6=4e k 6=0. Inoltre:
det (A) =1
k 2
2
2
= k
2
+4k
4
Quindi
{ Se 0<k <4, siha det (A)>0e C e un'ellisse.
{ Se k <0o k >4, si hadet (A)<0e C eun'iperbole.
{ Se k =0o k =4 si trattadi una paraboladegenere.
b) Abbiamo giavisto he la oni aedegenere sek =0 o k=4, inoltre:
{ Se k =0, C diventax 2
2xy+y 2
4=0. An he senza risolvere l'equazione
on l'uso della formulaotteniamo:
(x y) 2
=4 ) x y=2
Quindi inquesto aso la oni a orrisponde alla oppia dirette parallele:
r
1
: x y=2; r
2
: x y= 2
{ Se k = 4, C diventa x 2
+2xy +y 2
4 = 0 e in maniera del tutto analoga
otteniamo:
(x+y) 2
=4 ) x+y=2
e la oni a orrisponde alla oppia dirette parallele:
r
1
: x+y=2; r
2
: x+y= 2
) Cal oliamoil entro delle oni he limitando ia onsiderare k 6=0;4, in quanto in
questi asi abbiamogiavisto he sitratta diuna oppiadirette parallele(equindi
privedi entro). Notiamoinoltre henell'equazionenon ompaionoiterminilineari,
quindi il entrosi trova gianell'origine: C=(0;0).
Pertrovare gliassidelle oni he al oliamogli autovaloridiA:
p
A
()=(1 ) 2
k 1
2
Quindi p
A
()=0 se 1 = k 1
2
e gliautovalorisono
1
= k
2
2
=
k+4
2
Cal oliamol'autospazio E k
2
2 k
2 k 2
2
j 0
k 2
2 2 k
2
j 0
)
II+I
2 k
2 k 2
2
j 0
0 0 j 0
Quindi se k 6= 2 si ha E k
2
=h(1;1)i. Tratteremo il aso k = 2 su essivamente
separatamente.
Analogamente al oliamoE k+4
2
:
k 2
2 k 2
2
j 0
k 2
2 k 2
2
j 0
)
II I
k 2
2 k 2
2
j 0
0 0 j 0
Quindi, sempresupponendok 6=2,si haE k+4
2
=h(1;1)i.
In ne perk 6=0;4;2 gliassidelle oni he sono le rette
a
1 :
(
x=t
y= t
)x+y=0
a
2 :
(
x=t
y=t
)x y=0
Notiamo he tali rette sono assi di simmetria an he per le oppie di rette he
ostituis ono la oni a nei asi degeneri.
In ne se k =2 la oni ae la ir onferenza x 2
+y 2
= 4 entrata nell'origine he
ha omeassi disimmetriaqualsiasi retta perl'origine. In parti olare quindi an he
a
1 e a
2
sono suoi assidisimmetria.
