Introduzione alle geometrie

Introduzione alle geometrie non euclidee

Prof. Daniele Ippolito

Liceo Scientifico “Amedeo di Savoia” di Pistoia

Gli “Elementi” di Euclide (III sec. a.C.) si aprono con una serie di “definizioni”, tra cui:



Un punto è ciò che non ha parti.



Una retta è una linea che giace ugualmente rispetto ai suoi punti.



Un piano è una superficie che giace ugualmente rispetto alle sue rette.

. ^P

r

Il metodo assiomatico della geometria euclidea

Nel 1800, la matematica ha rivisto le “definizioni” di Euclide, interpretandole invece come descrizioni di enti geometrici.

Punto, retta e piano sono termini primitivi della geometria euclidea piana: concetti che non si possono definire e dai quali derivano le definizioni di altri enti (segmento, semiretta, ecc.).

Alle descrizioni degli enti fondamentali, seguono cinque postulati, ossia affermazioni non dimostrabili:

1) Per ogni coppia di punti distinti passa una ed una sola retta.

. ^r .

A

B

2) Ogni retta si può estendere infinitamente.

3) Si può descrivere una circonferenza con qualsiasi centro e qualsiasi raggio.

4) Tutti gli angoli retti sono uguali tra loro.

5) Se una retta che interseca due rette forma gli angoli interni da una stessa parte minori di due angoli retti, le due rette, prolungate infinitamente, si incontrano dalla parte in cui i due angoli sono minori di due angoli retti.

t

r s

Nel primo libro degli “Elementi”, che contiene 48 proposizioni, Euclide ricorre al quinto postulato soltanto alla proposizione 29.

Dal quinto postulato dipendono tuttavia teoremi importanti

della geometria piana, come quello sulla somma degli angoli

interni di un triangolo e il teorema di Pitagora.

Il dibattito sul quinto postulato di Euclide

Numerosi sono stati i tentativi di dedurre il quinto postulato di Euclide dai primi quattro o di sostituirlo con una versione più semplice. Tra questi:



Posidonio (I sec. a.C.) si illuse di aver trovato un postulato alternativo, deducendolo dai primi quattro, mentre in realtà fece ricorso (inconsapevolmente) anche al quinto postulato:

Rette parallele sono equidistanti.

r'

r

Il dibattito sul quinto postulato di Euclide

Numerosi sono stati i tentativi di dedurre il quinto postulato di Euclide dai primi quattro o di sostituirlo con una versione più semplice. Tra questi:



Posidonio (I sec. a.C.) si illuse di aver trovato un postulato alternativo, deducendolo dai primi quattro, mentre in realtà fece ricorso (inconsapevolmente) anche al quinto postulato:

Rette parallele sono equidistanti.

r'

r



Proclo (V sec. d.C.) elaborò un enunciato equivalente al postulato di Euclide ma molto più semplice:

Data una retta r ed un punto ad essa esterno, esiste una ed una sola retta r' parallela ad r.

s r



Omar Khayyam (1077) mutuò da Aristotele un'altra versione del postulato:

Se due rette cominciano ad avvicinarsi, esse si intersecano.

. ^r'

P

r



Girolamo Saccheri (1733) propose un'altra versione equivalente al quinto postulato:

Dato un quadrilatero ABCD,

se AD = BC e e sono retti, allora anche e sono retti.

Saccheri suggerì che, negando invece la validità del quinto postulato, nel suo quadrilatero potevano verificarsi due tesi alternative:

2) e sono ottusi

1 e sono acuti



Johann Heinrich Lambert (1766), perseguendo la stessa strada di Saccheri, giunse a verificare che, negando la validità del postulato delle parallele:

In un triangolo la somma degli angoli interni è variabile ed è minore di due angoli retti.

Saccheri e Lambert vengono considerati due precursori delle

geometrie non euclidee.

La geometria iperbolica

Intorno agli anni '20 del 1800, Gauss, Lobačevskij e Bolyai giunsero, indipendentemente l'uno dall'altro, alla formulazione della prima geometria non euclidea.

Tale modello è detto geometria iperbolica, perché Lobačevskij fece riferimento alla trigonometria iperbolica.

Nella geometria iperbolica valgono i primi quattro postulati di

Euclide ma viene riformulato il quinto.

Fondamentale per rappresentare le geometrie non euclidee è il concetto di geodetica, elaborato da Joseph Liouville nel 1850.

Data una superficie, le geodetiche su di essa sono le curve che minimizzano la distanza tra punti.

Sul piano euclideo, le geodetiche sono le rette.

. ^A

. ^B . ^C

. ^D

Su una sfera, le geodetiche sono le circonferenze di diametro

massimo.

Diversi modelli per la geometria iperbolica sono stati proposti a partire dal 1868.

1) La pseudosfera (Eugenio Beltrami):

una superficie infinita che si ottiene

ruotando una curva detta “trattrice”

attorno al suo asintoto.

Proprietà della

pseudosfera è di

avere curvatura

negativa costante.

I termini primitivi della geometria euclidea sono così sostituiti:

Piano Pseudosfera

Retta Geodetica sulla pseudosfera

Punto Punto

2) Il disco di Klein:

Piano Cerchio (aperto) Retta Corda (aperta)

Punto Punto

3) Il disco di Poincaré

Piano Cerchio (aperto) Retta

Diametro (aperto) o arco perpendicolare al bordo

Punto Punto

Un altro modello, che giustifica pienamente la definizione di geometria “iperbolica” è l'iperboloide a due falde, proposto da Helmholtz (1870) e da Weierstrass (1880).

Piano Iperboloide

Retta

Intersezione tra l'iperboloide e un

piano passante per il suo centro di

simmetria

Punto Punto

Questo modello ha forti analogie con lo spazio-tempo di Minkowski (1907), adottato per la rappresentazione degli eventi nella teoria della relatività ristretta di Einstein.

La geometria iperbolica si

impone quindi anche come

uno strumento per la

descrizione della realtà

fisica.

Geometria assoluta

1) Per ogni coppia di punti distinti passa una ed una sola geodetica.

2) Ogni geodetica si può estendere infinitamente.

3) Si può descrivere una circonferenza con qualsiasi centro e qualsiasi raggio.

4) Tutti gli angoli retti sono uguali tra loro.

Geometria euclidea Geometria iperbolica 5) Data una geodetica r ed un

punto P ad essa esterno, esiste una ed una sola geodetica r' parallela ad r e passante per P.

5) Data una geodetica r ed un punto P ad essa esterno, esistono infinite geodetiche parallele ad r e passanti per P.

Postulati della geometria euclidea e della geometria iperbolica

.

r r'

La geometria ellittica

Nel 1854, Bernhard Riemann formulò il modello della geometria sferica, già noto ai greci, ma che era stato abbandonato perché violava diversi postulati di Euclide.

Nella geometria sferica, oltre al quinto postulato, vanno rivisti anche i primi due.

Piano Superficie sferica Retta Circonferenza

massima

Punto Punto

Una variante al modello di Riemann è stata avanzata nel 1871 da Felix Klein, che ha identificato le coppie di punti agli antipodi della sfera come un unico ente geometrico.

Il modello di Klein è equivalente al piano proiettivo, già noto ai matematici, e pertanto viene rappresenta una geometria proiettiva.

Il corpo comune alla geometria sferica e a quella proiettiva è detto geometria ellittica.

Piano Superficie sferica Retta Circonferenza

massima

Punto Coppia di punti

antipodali

Geometria sferica Geometria proiettiva 1) Per ogni coppia di

punti distinti passa una ed una sola geodetica, ad eccezione dei punti antipodali.

1) Date due coppie distinte di punti antipodali, per esse passa una ed una sola geodetica.

Geometria ellittica

2) Ogni geodetica si può estendere illimitatamente (non infinitamente).

3) Si può descrivere una circonferenza con qualsiasi centro e qualsiasi raggio.

4) Tutti gli angoli retti sono uguali tra loro.

5) Data una geodetica r ed un punto P ad essa esterno, non esistono geodetiche parallele ad r e passanti per P.

Postulati della geometria sferica e della geometria proiettiva

C

.

.

Curvatura di una superficie

Per comprendere il tipo di geometria descritto da una superficie, introduciamo il concetto di curvatura, a cominciare dalla curvatura di una curva.

Definiamo cerchio osculatore di una curva in un punto il cerchio che, con un procedimento di passaggio al limite, approssima la curva in tale punto.

A

.

.

La curvatura di una curva in un punto, già definita da Newton

e da Huygens, è uguale al reciproco del raggio del cerchio

osculatore nel punto: k = 1/r

Nel piano, le uniche curve a k costante sono:

1) la retta (k = 0);

2) la circonferenza (k = 1/R)

Per definire la curvatura di una superficie S in un punto P, si

adotta il procedimento descritto da Eulero.

1) Si determina il piano tangente alla superficie S in P e il vers. normale n.

2) Si considerano tutti i piani perpendicolari a passanti per P. Le loro intersezioni con S sono delle curve.

3) Tra le curve, ne esiste una con k_max e una con k_min. La curvatura di S in P ha per valore assoluto: |k| = k_max · k_min.

.

S k_max

k_min n

Il segno della curvatura della superficie è:

a) positivo se le curve principali si trovano dalla stessa parte rispetto al versore normale;

b) negativo se si trovano da parti opposte.

n

n

k > 0 k < 0

Se una delle due curve principali ha k = 0, la curvatura della

superficie è nulla.

Alcune superfici a curvatura costante nulla

Superficie a curvatura costante positiva

k = 1/R²

Alcune superfici a curvatura costante negativa

La curvatura di una superficie in un punto ne determina quindi la geometria.

k > 0 Geometria

ellittica

k = 0 Geometria

euclidea

k < 0 Geometria

iperbolica

Differenze tra le tre geometrie

Modificando i postulati di una geometria, cambiano anche alcuni teoremi. Vediamo alcuni esempi.

Somma degli angoli interni di un triangolo

> 180° < 180° = 180°

Angoli superiori del quadrilatero di Saccheri

angoli acuti angoli retti angoli ottusi

Inoltre, nelle geometrie non euclidee:

- non vale il teorema di Pitagora;

- il rapporto tra una circonferenza e il suo raggio non è 2 ;

- un angolo alla semicirconferenza non è 90°.

Tassellazione del piano

Il problema della tassellazione del piano con poligoni regolari assume differenti soluzioni a seconda della geometria considerata.

Nella geometria euclidea, poiché la somma degli angoli

concorrenti in un vertice deve essere 360°, sono possibili solo

tre tipi di tassellazione.

Nella geometria sferica è possibile solo la tassellazione con triangoli equilateri e con quadrati.

Nella geometria iperbolica sono possibili infinite tassellazioni.