1 Centro di massa di un sistema

(1)

1 Centro di massa di un sistema

Assumiamo un corpo complesso qualsiasi costituito da n punti elementari ciascuno di massa m i e lo chiameremo sistema di punti materiali. Partiamo da un sistema fatto da due masse m 1 ed m 2.

Consideriamo come asse x del sistema di riferimento, la retta passante per le due masse.

Definiamo Centro di Massa (CM) del sistema il punto individuato dalla coordinata:

2 1

2 2 1 1

CM m m

x m x x m

+

= +

Osservazioni:

a) d

m m

m

) x x ( m m

m

x m x m x m x x m

m m

x m x x m

x

2 1

2 2

1 1 2 2 2

1 1 2 1 1 2 2 1 1 1 2

1 2 2 1 1 1

CM = +

+

= − +

−

= + + −

= +

−

la posizione del CM rispetto ad un’altra massa dipende solo dalle masse e dalla distanza d fra esse ossia il CM è un punto specifico del sistema.

b)

1 2 1

2 1 2

1 2 2

CM 1 CM

m m d

m m m m d

m m x

x

x ⎟ ⎟ =

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎝

⎛ +

⎟ ⋅

⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎝

⎛

= +

−

la distanza del CM dalle masse è inversamente proporzionale alle masse; infatti:

c) se m 1 >>m 2 ⇒

1 1

CM x

m x

x ≈ m =

la posizione del CM coincide con quella della massa maggiore.

d) se m 1 = m 2 ⇒

2 x x m

2 ) x x ( m m

m

x m x m

x ¹ ²

1 2 1 1 1

1 2 1 1 1 CM

= +

= + +

= +

la posizione del CM coincide con il punto medio fra le masse.

Se il sistema è costituito da n masse m i allineate fra loro la generalizzazione della definizione di coordinata del CM del sistema è ovvia:

∑ ∑

=

i i i

CM m

x m

x .

O

• m 1

x ₁

x 2 • m 2

d

(2)

2 Consideriamo invece in caso generico di n masse m i distribuite nello spazio e ciascuna individuata da un vettore posizione r r _i in un dato sistema di riferimento.

Ricordiamo che : r x iˆ y jˆ z kˆ

i i i

i = + +

r

Considerando le componenti cartesiane di ciascun vettore posizione, possiamo calcolare le seguenti coordinate:

∑ ∑

∑ ∑ ₌ ₌

=

i i i CM

i i i

CM m

z m z

m , y m y

m , x m

x .

Definiamo CM il punto individuato dal vettore r x iˆ y jˆ z kˆ

CM CM

CM

CM = + +

r .

Osserviamo che possiamo scrivere:

∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑

=

+ ⇒

= + +

+

=

i i i CM

i i i i i i

i i i

i i

i i i

i i CM

m r r m

m

) kˆ z jˆ y iˆ x ( m m

kˆ z m jˆ

y m iˆ

x kˆ m

m z jˆ m

m y iˆ m

m x r m

r r r

e quindi il centro di massa di un sistema di punti materiali è individuato dal vettore:

r r CM . Estrapolando le osservazioni a,d,c,d precedenti possiamo dire:

a) il CM è un punto specifico del sistema

b) esso tende posizionarsi verso la zona con masse più grandi.

c) se un sistema è omogeneo il CM è nel punto di simmetria.

CM

•

CM

•

ℓ

b) c) ℓ/2

• m i

• m i-1

• m i+1

1 r r i ₋

1 r r i ₊

0 x i-1 x

CM

x i x i+1

y _i

y _i+1 y i-1

y

_CM

r r i

r r CM NB: Figura limitata a

punti materiali in un piano

(3)

3 Equazione del moto del Centro di Massa.

Considerato un sistema di n punti materiali ciascuno di massa m _{i ,} posto ∑ m _i = M massa totale del sistema, la posizione del CM può essere riscritta come:

∑ ∑

∑ _⇒ ₌

= _CM _i _i

i i i

CM M r m r

m r m

r r r r

r

.

Se tutti o alcuni dei punti materiali sono in moto, i corrispondenti r r varieranno con il tempo e _i quindi anche r r varierà nel tempo. Possiamo studiarne le variazioni per un tempo di osservazione _cm

∆ t.

⇒ ^M ^∆ ^r _∆ ^r ^CM _t ⁼ ∑ ^m _∆ ⁱ ^∆ _t ^r ^r ⁱ ^per ^∆ ^t ^→ ⁰ ^∆ _∆ ^r ^r _t ⁱ ⁼ ^v ^r ⁱ velocità del punto materiale i-esimo ^CM v _CM

t r r r

∆ =

∆ è definita come velocità del CM

(1) ⇒ ^M ^v ^r ^CM ⁼ ∑ ^m ⁱ ^v ^r ⁱ

Nel caso generico le v r varieranno nel tempo e quindi anche _i v r varierà nel tempo. Possiamo _cm studiarne le variazioni per un tempo di osservazione ∆ t.

⇒ ^M ^∆ ^v ^r _∆ ^CM _t ⁼ ∑ ^m _∆ ⁱ ^∆ _t ^v ^r ⁱ ^per ^∆ ^t ^→ ⁰ ^∆ _∆ ^v ^r _t ⁱ ⁼ ^a ^r ⁱ accelerazione del punto materiale i-esimo ^CM a _CM

t v r r

∆ =

∆ è definita come accelerazione del CM

(2) ⇒ ^M ^a ^r ^CM ⁼ ∑ ^m ⁱ ^a ^v ⁱ

Per la seconda legge della dinamica sappiamo, posto F v _i

la risultante delle forze agenti sul i-esimo punto materiale, che m _i a r = _i F r _i e quindi dalla (2)

(3) ^M ^a ^r _CM ⁼ ∑ ^F ^r _i

Per continuare facciamo riferimento ad un sistema di soli due punti materiali di massa m 1 ed m 2

interagenti con il modo esterno con due forze rispettivamente F r _e ₁ e F r _e ₂

.

(4)

4 Quindi F r ₁ F r ₁₂ F r _e ₁

+

= e F r ₂ F r ₂₁ F r _e ₂ +

= e dalla (3)

⇒ M a r _CM = F r ₁ + F r ₂ = F r ₁₂ + F r _e ₁ + F r ₂₁ + F r _e ₂ = F r ₁₂ + F r _e ₁ − F r ₁₂ + F r _e ₂ = F r _e ^R dove si è indicato con ⁼ e 1 ⁺ e 2 ⁼ ∑ ei

R

e F F F

F r r r r

la risultante delle forze esterne

In conclusione e generalizzando abbiamo: M a r _CM = F r _e ^R

Il moto del centro di massa è determinato dalla risultante delle sole forze esterne, ovvero il centro di massa si muove sotto l’azione della risultante delle forze esterne come se tutta la massa del sistema fosse concentrata in esso.

Quantità di moto del centro di massa

Ogni singolo punto materiale ha una quantità di moto

i i i m v

p r = r , di conseguenza la quantità di moto totale di un sistema è semplicemente ^P ^r ^T ⁼ ∑ ^p ^r ⁱ

Usando la (1) possiamo scrivere: _CM

i i i

T p m v M v

P r r r r

=

= ∑ ∑ ^⇒

la quantità di moto di un sistema di punti materiali è pari alla massa totale per la velocità del centro di massa, ossia coincide con la quantità di moto del punto CM se associamo ad esso la massa totale del sistema. Ancora, il centro di massa si comporta come se tutta la massa del sistema fosse concentrata in esso.

Nel caso generico, le p r _i variano nel tempo e quindi anche P r _t

varierà nel tempo.

Possiamo studiarne le variazioni per un tempo di osservazione ∆ t:

R e CM T

CM

t M a F

dt P d t

M v t

P r r r r r

=

∆ ⇒

= ∆

∆

∆ ⇒

solo le forze esterne possono cambiare la quantità di moto totale di un sistema di punti materiali.

• m ₂

• m 1

r r 2

r r 1

F r 12

F r 21

2 F r e 1

F r e

O

Le forze F r ₁₂

e F r ₂₁

(con F r ₁₂ F r ₂₁

−

= )

sono forze di interazione fra i costituenti il sistema è sono dette forze interne.

1 Centro di massa di un sistema