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Sistema di riferimentodel centrodi massa

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Academic year: 2021

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Testo completo

(1)

1

1

i

CM

N

i A i

A N

i i

m r r

m

=

=

=

Sistema di riferimento del centro di massa

- l’origine e’ istante per istante collocata nel

si assume

- gli assi mantengono sempre lo stesso

m3

m2 mn

m5

m1

O’

m4

z’

y’

x’

centro di massa del sistema di punti materiali

orientamento rispetto agli assi fissi

che abbia assi sempre paralleli agli assi fissi

ACM

r

zcm

ycm xcm

Oc.m.

poiche’ il centro di massa e’ un punto rappresentativo

lo utilizzeremo per definire un nuovo sistema di riferimento

S’ sistema di riferimento inerziale fisso

. . O

CM

C M

CM

0

A

=

dell’ intero sistema di punti materiali

in altri termini il sistema di riferimento del centro di massa non e’ in rotazione rispetto al sistema di riferimento inerziale fisso

(2)

( )

P P O

T R R A

a =  r +  r +a

2 v

C RP

a =

P P

A R T C

a = a + a + a

v v v

P P

A = R + T

v v

O P

T = A +  rR

dove

dove e

AP

r = rRP

AO

+ r

AP

r

RP

r

Ao

r

trasformazione della velocita’ e P

dell’ accelerazione

v v v

P P CM CM

scm scm

A

= +

A

+ 

A

r

P

tutte le grandezze riferite

saranno indicate con l’apice scm del C.M.

P P CM

scm

A A

a = a + a

Nota Bene:

un sistema inerziale

CM

0

a

A

il sistema del centro di massa in generale

invece che con il pedice R

v v v

P P O P

A

=

R

+

A

+ 

A

r

R

CM 0

A

=

2 v 0

ACM P

C R

a =   =

( ) 0

CM CM P

A A

r

R

    =

CM

0

A

=

se

v v v

P P CM

scm

A

= +

A

non e’

al sistema

(3)

Teoremi di Konig

1 i

n

A A

i

L L

=

= 

il momento angolare totale

di riferimento inerziale fisso e’

che relazione intercorre tra il momento angolare totale rispetto al

calcolato rispetto al sistema di riferimento del

ed il momento angolare totale

del sistema

L

A

rispetto

del sistema di punti

all’origine O’

1

i

v

i

n

A i A

i

r m

=

=  

i CM

scm

A i A

r = r + r v v v

i CM

scm

A

=

i

+

A

C.M.

zscm

yscm xscm

m2

mi

m5

m1

z’

y’

x’

m6

m3

A2

r

A6

r

A5

r

A1

r

scm

ri

A3

r

Ai

r

ACM

r

' O

ma e

del sistema di punti materiali sistema inerziale

centro di massa ?

(4)

1

( ) (v v )

CM CM

n scm scm

A i A i i A

i

L r r m

=

=  +  +

1

v

n scm scm

i i i

i

r m

=

 +

1

v

CM

n scm

i i A

i

r m

=

 +

1

CM

v

n scm

A i i

i

r m

=

 +

1

CM

v

CM

n

A i A

i

r m

=

 

1

i

v

i

n

A A i A

i

L r m

=

=  

dato che

e che

i CM

scm

A i A

r = r + r

v v v

i CM

scm

A

=

i

+

A

momento angolare totale del sistema momento angolare totale del

ACM

scm

L

L

di punti materiali

di riferimento del centro di massa

rispetto al

rispetto al sistema centro di massa

ma

1

v ?

CM

n scm

A i i

i

r m

=

 =

1

v ?

CM

n scm

i i A

i

r m

=

 =

e

L

A = +

1

v

CM

n scm

i i A

i

r m

=

 +

1

CM

v

n scm

A i i

i

r m

=

 +

sistema di riferimento inerziale fisso

(5)

1

v

CM

n scm

i i A

i

m r

=

1

CM

v

n scm

A i i

i

r m

=

 

1

v

CM

n scm

i i A

i

r m

=

 

moltiplicando e dividendo

1 n

i i

M m

=

=

per

1

v

CM

n scm

i i i

A

m r

M M

=

rCM 1 n

i i i

m r M

=

=

ma

1

n scm

i i i

m r M

= posizione del C.M.

rispetto al sistema del centro di massa stesso

1 0

n scm

i i i

m r M

= =

1

v 0

CM

n scm

i i A

i

r m

=

 =

1

CM

v

n scm

A i i

i

r m

=

 

1

v

CM

n scm

i i i

A

m

Mr M

 

=

QA

M

=

1

v

n

i i

m i

M

=

=

vCM

ma

1

v

n scm

i i i

m M

= quantita’ di moto del

C.M. rispetto al sistema del centro di massa stesso

v

CM

A A

Q = M

v 0

CM

scm scm

Q = M =

Qscm

=

1

v 0

CM

n scm

A i i

i

r m

=

 =

(6)

primo teorema di Konig (teorema di Konig per il momento angolare)

CM

scm

L

A

+ L L =

A

il momento angolare totale del sistema di punti

dovuto al moto del

C. M.

e del momento angolare totale

momento angolare la somma vettoriale del

rispetto al sistema di riferimento inerziale

rispetto al

C. M.

del sistema stesso

nel sistema inerziale e’

dovuto al moto del sistema di punti

(7)

Secondo teorema di Konig

energia cinetica totale del sistema di punti nel sistema

di riferimento inerziale fisso 1

1 2

2

v

A i

n

C i A

i

E m

=

= 

2 1

1

2

(v v )

CM

n scm

i i A

i

m

=

 +

1

2 2

1 2

( v v 2 v v )

CM CM

n scm scm

i i i A A

i

m

=

+  +

ma

1

1 2

2

v

n scm

i i i

m

=

= 

1

1 2

2

v

CM

n

i A i

m

=

+ 

1

v v

n scm

i i CM

i

m

=

+  

v

2

= v  v

1

1 (v v v v v v v v )

2

CM CM CM CM

n scm scm scm scm

i i i A i i A A A

i

m

=

 +  +  + 

2

1

1 (v v )

2 CM

n scm

i i A

i

m

= +

1

1 (v v ) (v v )

2 CM CM

n scm scm

i i A i A

i

m

=

=

+  +

dato che

v v v

i CM

scm

A

=

i

+

A

CA

E

( teorema di Konig per l’energia cinetica )

(8)

1

1 2

2

v

n scm

i i i

m

=

1

1 2

2

v

CM

n

i A i

m

=

1

v v

ACM

n scm

i i i

m

=

1

v ( v )

CM

n scm

A i i

i

m

=

 

v

CM

scm

A

Q

energia cinetica totale del sistema di punti rispetto al sistema del centro di massa

energia cinetica di un punto

scm

0 Q =

e’quantita’ di moto totale del C.M. rispetto a se stesso

massa totale

del centro di massa

energia cinetica del C.M.

rispetto al sistema inerziale

1

1 2

2

v

CM

n

A i

i

m

=

1 2

2

v

ACM

M

Qscm

1

v v 0

ACM

n scm

i i i

m

=

 =

che si muova’

materiale di massa pari alla

v 2 ACM

rispetto al sistema inerziale con la stesssa velocita

M del sistema di punti

ma

(9)

quindi

l’energia cinetica totale del sistema di punti rispetto al sistema inerziale

C

A

E =

ACM

scm

C C

E + E

➢ dell’energia cinetica dei punti del sistema rispetto al centro di massa del centro di massa

secondo teorema di Konig

➢ e dell’energia cinetica e’ uguale alla somma

rispetto al sistema inerziale

( teorema di Konig per l’energia cinetica)

(10)

sia concentrata tutta la massa delle forze esterne ma

e’ un punto rappresentativo

e su cui si applica la risultante del sistema di punti

il centro di massa di un sistema di punti materiali

nel quale si puo’ pensare

per il momento angolare totale

sufficiente conoscere la quantita’ di moto

tenere anche conto del moto del sistema di punti ossia il moto del centro di massa

rispetto al centro di massa ma bisogna

e la risultante delle forze esterne, rispetto al sistema inerziale,

e l’energia cinetica totale non e’

riassumendo:

del sistema di punti

(11)

Ai

r v

Ai

Ai

a

i

v

i

A i A

q = m

i i v i

A A i A

L = rm

1 2

2

v i

Ai i A

C m

E

=

m

i

( rispetto all’origine o rispetto al polo fisso prescelto )

le grandezze

di un sistema per ogni punto Pi

di massa mi ciascuno

1 n

i i

M

m

=

=

1 i

n

i

Q qA

=

=

2 1

1

2 v

i

n

i A i

C m

E

=

=

1 n

i i

L

L

=

=

di tutti i punti relativamente all’insieme

si introducono

di punti materiali il sistema di punti materiali

1

i

n

i A i

m r M

=

=

rCM

drCM

= dt

v

CM

a

CM

=

dvCM

dt

espresse in funzione di

rCM e

v

CM

Ai

dr

= dt

vAi

d

= dt

le grandezze si introducono

costituenti

m3

m2

mn

m5

m1

O’

m4

z’

y’

x’

rcm

E e

Fi e FjiI

1 n

E E

i i

R F

=

=

RI

1 1

n n

I I

ji ij

j i

j i i j

F F

= =

=

+

' ?

Q =

' ?

L =

'

?

E

C

=

v

CM

Q

= M

S’ sistema di riferimento inerziale fisso

scm

LCM + L L =

E =

C CCM

scm

E + EC

(12)

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