1
1
i
CM
N
i A i
A N
i i
m r r
m
=
=
=
Sistema di riferimento del centro di massa
- l’origine e’ istante per istante collocata nel
→ si assume
- gli assi mantengono sempre lo stesso
m3
m2 mn
m5
m1
O’
m4
z’
y’
x’
centro di massa del sistema di punti materiali
orientamento rispetto agli assi fissi
che abbia assi sempre paralleli agli assi fissi
ACM
r
zcm
ycm xcm
Oc.m.
poiche’ il centro di massa e’ un punto rappresentativo
lo utilizzeremo per definire un nuovo sistema di riferimento
S’ → sistema di riferimento inerziale fisso
. . O
CM C M
CM
0
A=
→
dell’ intero sistema di punti materiali
in altri termini il sistema di riferimento del centro di massa non e’ in rotazione rispetto al sistema di riferimento inerziale fisso
( )
P P O
T R R A
a = r + r +a
2 v
C RP
a =
P P
A R T C
a = a + a + a
v v v
P P
A = R + T
v v
O P
T = A + rR
dove
dove e
➢
➢
AP
r = rRP
AO
+ r
AP
r
RP
r
Ao
➢ r
trasformazione della velocita’ e P
dell’ accelerazione
v v v
P P CM CM
scm scm
A
= +
A+
A r
P→ tutte le grandezze riferite
saranno indicate con l’apice scm del C.M.
P P CM
scm
A A
a = a + a
Nota Bene:
un sistema inerziale
CM
0
a
A
→ il sistema del centro di massa in generaleinvece che con il pedice R
v v v
P P O P
A
=
R+
A+
A r
RCM 0
A=
2 v 0
ACM P
C R
a = =
( ) 0
CM CM P
A A
r
R =
→
→
→ CM
0
A=
se
v v v
P P CM
scm
A
= +
Anon e’
al sistema
Teoremi di Konig
1 i
n
A A
i
L L
=
=
il momento angolare totale
di riferimento inerziale fisso e’
che relazione intercorre tra il momento angolare totale rispetto al
calcolato rispetto al sistema di riferimento del
ed il momento angolare totale
del sistema
L
Arispetto
del sistema di punti
all’origine O’
1
i
v
in
A i A
i
r m
=
=
i CM
scm
A i A
r = r + r v v v
i CM
scm
A
=
i+
AC.M.
zscm
yscm xscm
m2
mi
m5
m1
z’
y’
x’
m6
m3
A2
r
A6
r
A5
r
A1
r
scm
ri
A3
r
Ai
r
ACM
r
' O
ma e
del sistema di punti materiali sistema inerziale
centro di massa ?
1
( ) (v v )
CM CM
n scm scm
A i A i i A
i
L r r m
=
= + +
1
v
n scm scm
i i i
i
r m
=
+
1
v
CMn scm
i i A
i
r m
=
+
1
CM
v
n scm
A i i
i
r m
=
+
1CM
v
CMn
A i A
i
r m
=
1
i
v
in
A A i A
i
L r m
=
=
dato chee che
i CM
scm
A i A
r = r + r
v v v
i CM
scm
A
=
i+
Amomento angolare totale del sistema momento angolare totale del
ACM
scm
L
L
di punti materiali
di riferimento del centro di massa
rispetto al
rispetto al sistema centro di massa
ma
1
v ?
CM
n scm
A i i
i
r m
=
=
1
v ?
CM
n scm
i i A
i
r m
=
=
eL
A = +1
v
CMn scm
i i A
i
r m
=
+
1
CM
v
n scm
A i i
i
r m
=
+
sistema di riferimento inerziale fisso
1
v
CMn scm
i i A
i
m r
=
1
CM
v
n scm
A i i
i
r m
=
1
v
CMn scm
i i A
i
r m
=
moltiplicando e dividendo
1 n
i i
M m
=
=
per
1
v
CM
n scm
i i i
A
m r
M M
=
rCM 1 n
i i i
m r M
=
=ma
1
n scm
i i i
m r M
= posizione del C.M.rispetto al sistema del centro di massa stesso
1 0
n scm
i i i
m r M
= =
1
v 0
CM
n scm
i i A
i
r m
=
=
1
CM
v
n scm
A i i
i
r m
=
1
v
CM
n scm
i i i
A
m
Mr M
=QA
M
=
1
v
n
i i
m i
M
=
=vCM
ma
1
v
n scm
i i i
m M
= quantita’ di moto delC.M. rispetto al sistema del centro di massa stesso
v
CMA A
Q = M
v 0
CM
scm scm
Q = M =
Qscm
=
1
v 0
CM
n scm
A i i
i
r m
=
=
primo teorema di Konig (teorema di Konig per il momento angolare)
CM
scm
L
A+ L L =
Ail momento angolare totale del sistema di punti
dovuto al moto del
C. M.
e del momento angolare totale
momento angolare la somma vettoriale del
rispetto al sistema di riferimento inerziale
rispetto al
C. M.
del sistema stessonel sistema inerziale e’
dovuto al moto del sistema di punti
Secondo teorema di Konig
energia cinetica totale del sistema di punti nel sistema
di riferimento inerziale fisso 1
1 2
2
v
A i
n
C i A
i
E m
=
=
2 1
1
2
(v v )
CM
n scm
i i A
i
m
=
+
1
2 2
1 2
( v v 2 v v )
CM CM
n scm scm
i i i A A
i
m
=
+ +
ma
1
1 2
2
v
n scm
i i i
m
=
=
1
1 2
2
v
CM
n
i A i
m
=
+
1
v v
n scm
i i CM
i
m
=
+
v
2= v v
1
1 (v v v v v v v v )
2
CM CM CM CMn scm scm scm scm
i i i A i i A A A
i
m
=
+ + +
2
1
1 (v v )
2 CM
n scm
i i A
i
m
= +
1
1 (v v ) (v v )
2 CM CM
n scm scm
i i A i A
i
m
=
=
+ +dato che
v v v
i CM
scm
A
=
i+
ACA
E
( teorema di Konig per l’energia cinetica )
1
1 2
2
v
n scm
i i i
m
=1
1 2
2
v
CM
n
i A i
m
=1
v v
ACM
n scm
i i i
m
=
1
v ( v )
CM
n scm
A i i
i
m
=
v
CMscm
A
Q
energia cinetica totale del sistema di punti rispetto al sistema del centro di massa
energia cinetica di un punto
scm
0 Q =
e’quantita’ di moto totale del C.M. rispetto a se stesso
massa totale
del centro di massa
→ energia cinetica del C.M.
rispetto al sistema inerziale
1
1 2
2
v
CM
n
A i
i
m
=1 2
2
v
ACM
M
Qscm
1
v v 0
ACM
n scm
i i i
m
=
=
che si muova’
materiale di massa pari alla
v 2 ACM
rispetto al sistema inerziale con la stesssa velocita
M del sistema di punti
ma
quindi
l’energia cinetica totale del sistema di punti rispetto al sistema inerziale
C
AE =
ACM
scm
C C
E + E
➢ dell’energia cinetica dei punti del sistema rispetto al centro di massa del centro di massa
secondo teorema di Konig
➢ e dell’energia cinetica e’ uguale alla somma
rispetto al sistema inerziale
( teorema di Konig per l’energia cinetica)
sia concentrata tutta la massa delle forze esterne ma
e’ un punto rappresentativo
e su cui si applica la risultante del sistema di punti
il centro di massa di un sistema di punti materiali
nel quale si puo’ pensare
per il momento angolare totale
sufficiente conoscere la quantita’ di moto
tenere anche conto del moto del sistema di punti ossia il moto del centro di massa
rispetto al centro di massa ma bisogna
e la risultante delle forze esterne, rispetto al sistema inerziale,
e l’energia cinetica totale non e’
riassumendo:
del sistema di punti
Ai
r v
AiAi
a
i
v
iA i A
q = m
i i v i
A A i A
L = r m
1 2
2
v i
Ai i A
C m
E
=m
i( rispetto all’origine o rispetto al polo fisso prescelto )
le grandezze
di un sistema per ogni punto Pi
di massa mi ciascuno
1 n
i i
M
m=
=
1 i
n
i
Q qA
=
=
2 1
1
2 v
i
n
i A i
C m
E
=
=
1 n
i i
L
L=
=
di tutti i punti relativamente all’insieme
si introducono
di punti materiali il sistema di punti materiali
1
i
n
i A i
m r M
=
=rCM
drCM
= dt
v
CMa
CM=
dvCMdt
espresse in funzione di
rCM e
v
CMAi
dr
= dt
vAi
d
= dt
le grandezze si introducono
costituenti
m3
m2
mn
m5
m1
O’
m4
z’
y’
x’
rcm
E e
Fi e FjiI
1 n
E E
i i
R F
=
=
RI1 1
n n
I I
ji ij
j i
j i i j
F F
= =
=
+
' ?
Q =
' ?
L =
'
?
E
C=
v
CMQ
= MS’ → sistema di riferimento inerziale fisso
scm
LCM + L L =
E =
C CCMscm
E + EC