5.131. SISTEMA A TRE CORPI: ENERGIA NEL SISTEMA DEL CENTRO DI MASSA?
PROBLEMA 5.131
Sistema a tre corpi: energia nel sistema del centro di massa ?
Mostrare che l’energia cinetica per un sistema di tre punti materiali di massa m1, m2e m3e velocità~v1,~v2e~v3può essere scritta nella forma
Ec = 1
2(m1+m2+m3)v2cm+ 1
2µ12(~v1− ~v2)2+1
2µ23(~v2− ~v3)2+ 1
2µ31(~v3− ~v1)2 dove
~vcm = m1~v1+m2~v2+m3~v3 m1+m2+m3
è la velocità del centro di massa e le costanti µ12, µ23e µ31 sono funzioni delle masse.
Determinare esplicitamente µ12, µ23e µ31. Soluzione
Sostituendo l’espressione della velocità del centro di massa troviamo Ec = 1
2
1
m1+m2+m3 (m1~v1+m2~v2+m3~v3)2 + 1
2µ12(~v1− ~v2)2+1
2µ23(~v2− ~v3)2+ 1
2µ31(~v3− ~v1)2 e sviluppando i quadrati
Ec = 1 2
m21v21+m22v22+m23v23+2m1m2~v1· ~v2+2m2m3~v2· ~v3+2m3m1~v3· ~v1
m1+m2+m3
+ 1
2µ12 v21+v22−2~v1· ~v2
+ 1
2µ23 v22+v32−2~v2· ~v3 + 1
2µ31 v23+v12−2~v3· ~v1
Questa espressione si deve ridurre a Ec = 1
2m1v21+1
2m2v22+1 2m3v23
quindi i termini misti si devono annullare. Questo da le condizioni m1m2
m1+m2+m3
= µ12 m2m3
m1+m2+m3
= µ23 m3m1
m1+m2+m3 = µ31
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5.131. SISTEMA A TRE CORPI: ENERGIA NEL SISTEMA DEL CENTRO DI MASSA?
Quello che rimane è
Ec = 1 2
m21
m1+m2+m3 +µ12+µ31
v21
+ 1 2
m22
m1+m2+m3 +µ12+µ23
v22
+ 1 2
m23
m1+m2+m3 +µ23+µ31
v23
ma il primo termine tra parentesi si riduce a m21
m1+m2+m3 +µ12+µ31= m
21+m1m2+m1m3 m1+m2+m3 =m1
e similmente gli altri si riducono rispettivamente a m2e m3, per cui la relazione cercata è verificata.
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