16ottobre2014 PaolaMannuccieAlviseSommariva Esercizi.

Esercizi.

Paola Mannucci e Alvise Sommariva

Universit`a degli Studi di Padova Dipartimento di Matematica

Estremo sup, inf, max e min.

Determinare estremo superiore e inferiore, e dire se sono massimo e minimo rispettivamente, dei seguenti insiemi:

1. E = {x ∈ R : x = (−1)n+ 4, n ∈ N}.

2. E = {x ∈ R : x = 2 +(−1)n+1n, n ∈ N}.

3. E = {x ∈ R : x = n2_{cos (nπ) − 1), n ∈ N}.}

4. E = {x ∈ R : x = _x2xy_+y2, x , y ∈ R, x < y } (usare la

Disequazioni.

Risolvere le seguenti disequazioni

1. 3sin2(x ) + cos2(x ) < 2 + cos (x ).

Funzioni.

Determinare dominio, segno, eventuali simmetrie e periodicit`a delle seguenti funzioni reali di variabile reale:

1. f (x ) = arccos (|x3− 1/2|).

2. f (x ) = log (sin (2ex)).

3. f (x ) = log (sin (e2x − 4ex_{+ 4)).} 4. f (x ) = arcsin (|x+2|_x ). 5. f (x ) = _|x+1|−21 . 6. f (x ) = 3 q x +2 tan (x ).

7. f (x ) = arcsin (_{cosh (sin x )}1 ).

8. f (x ) = arctan (√4e2x _{− 9e}x_{+ 2 − 2e}x_).

9. f (x ) = log (4sinh2(x ) − 5sinh (x ) + 1).

10. f (x ) = log sin (x )_{sin (x )−1}.

11. f (x ) = arccos |x + 1| − 6 −π₃.

12. f (x ) = log (1 − (x + 1)x2−1) (solo dominio).

Successioni.

I Utilizzando il criterio del rapporto mostrare che 1. limnb n n! = 0; 2. limn_nn!n = 0; 3. se b > 1 allora limnn α bn = 0; I Calcolare al variare di α il limite