CORSI DEL REALE ISTITUTO NAZIONALE DI ALTA MATEMATICA
LUIGI AMOROSO
MECCANICA
ECONOMICA
Lezioni tenute 1zelt'anno accademico I94o-41
'.'
...
(./1.
.91
dORSI DEL REALE ISTITUTO NAZIONALE DI ALTA MATEMATIOA..
Cug
\SlO-1
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11)
LUIGI AMOROSO
MECCANICA
ECONOMICA
LEZIONITENUTE NELL'ANNO AOCADEMICO 1940-41
MAORI - 1942-XX
2-PROPRIETÀ LETTERARIA
STAMPATO IN ITALIA
PREFAZIONE
Gli studi di Econometrica in Italia si riattaccano
prin-cipalmente
a due
nomi:
di
P ANTALEONIe
di
PARETO.P ANTALEONI
ftt
un
grande
economista:
dallo sguardo
acuto come di aquila,
tagliente come spada; ma fu
soprat-tutto un grande
cuore.
Per lui si
potrebbe ripetere
il verso
dantesco che
fu
«luce intellettual piena d'amore '1-e questo
spiega come egli sia
stato
centro
natumle di
attrazione,
in-torno a cui
gravitò
per oltre un
trentennio tutta la
lette-ratura economica italiana.
La sua attività
scientifica
si
svolse in
l'tttti
i
campi
della scienza economica.
Nella
Eco-nomia pura, nella
quale
isuoi
« Principi»costituiscono
un gioiello pe1'
la
chiara, precis:t,
elegante
esposizione
delle
dottrine dell'Econometrica;
nella
Finanza,
in cui si
cimentò
col massimo problema
della incidenza
e
della traslazione
dei
tributi; nella Economia applicata e nella Statistica
economica,
nelle quali il suo nome
è
legato alle
ricerche
di semiotica, che
fanno di lui
il
primo felice
costruttore
di
barometri
economici,
pur se la parola non appare nelle
sue pagine;
nella
Storia
economica, in cuz' le sue
mono-gmfie - classica quella sulla caduta della Società di
Cre-dito Mobiliare
-
sono
celebri
per l'acutezza della diagnosi
'l ,
V! MECCANICA ECONOMICA
e la tacitiana vivacità della rappresentazione
jnella Politica,
in cui
isuoi articoli ed
isuoi saggi costituiscono la più
efflcace documentazione della crisi sociale che travagliò
l'Eu-ropa dopo la prima guerra mondiale. Ma non solo
a
que-sti monumenti
èlegata la sua fama, quanto ancora
al ri·
cordo della sua viva voce, nell'insegnamento e nella
conver-sazione, nella scuola e fuori della scuola, nella
sua casa
ospitale, dove si faceva tutto a tutti, dove tu per trent'anni
l'animatore di tutti gli studi
economici
in Italia. Lo
stesso
PARETO,che pure era più anziano di età, amava
ripetere
che dallo studio dei
« Principi»di
PANTALEONIaveva
tratto
il primo
impulso
allo
studio
teorico dell'Economica,
PARETO,
che
PANTALEONIproclamava il maest1'o
dei
maestri, fu un vero e
proprio
malem,
atico. Nella sua
po-liedrica opera scientifica si possono distinguere
tre direttrici:
quella della Statistica, nella quale egli ha legato
il suo nome
soprattutto alla C'Ltrva dei redditi, la
cui
formulazione
resta
sempre la più semplice,
la più geniale, la più
elegante
tra
le rappr-esentazioni matematiche delle leggi empiriche
del-l'Economica
jdella teoria generale dell'equilibrio
econo-mico, della quale
PARETOè
universalmente
riconosciuto
fondatore, pur
essendo pacifico che la sua
costruzione
ana-litica
è
direttamente collegata a quella di
W
ALRAS jdella
So cio logia, di cui la sua rappresentazione naturalistica
totalitaria della vita delle società umane costituisce un
mo-numento più perenne del bronzo.
PREFAZIONE VII
Ecco
q~talene
èin sintesi il concetto fondamentale.
Se
rappresentiamo
la scena
economica come
1tniperspazio, di
cui
le
coordinate
rappresentano le quantità dei diversi beni,
la
posizione di ogni
attore
sulla 8cena
può essere assimilata
a
quella di
un punto materiale che sia sollecitato da forze,
alle
c~tiazioni
si oppongono
certi vincoli.
Le forze
sono
espressioni dei
bisogni
odei
gusti
individuali
e
costitui-scono il motore primo da cui ha oriqine l'atto
economico.
I
vincoli rappresentano invece
le difficoltà che
si
incon-trano
per
il
fatto
che
ibeni
economici
sono limitati
e che
ciò che consuma
uno
ètolto
ad
ogni altro; che
le
cose
n:m
si trovano
generalmente in
natura nella
forma in
cui
noi
le deside1'iamo, ma debbono
essere
faticosamente
trasfor-mate e gli strumenti
della trasformazione,
cioè
le materie,
le macchine e
l'opem umana, sono alla loro volta limitati.
Sicchè
l'atto
economico è in
ultima analisi il risultato
di
un
contrasto immanente tra
i
gusti e gli ostacoli
e trova
la
sua composizione nella
configurazione di
equilibrio,
che
è
definita
come
quella in
cui i
movimenti che
sarebbero
vo-luti
dalle
forze sono impediti dagli ostacoli e viceversa.
L'Econolllica può
così esser pensata come una-
Statica
e
quindi
esser contenuta
essenzialmente in tre capitoli: un
primo capitolo,
che studia
i
gusti. quali sono
espressi
dalla
funzione che misura
il piacere
ed alla
quale
PARETOdà il
nome di
ofelimità
jun secondo capitolo, che studia le
equa-zioni
che rappresentano gli ostacoli
jun terzo, in cui
si
considerano
le condizio
ni che
dete1'minano l'equilibrio.
Se
in
particolare
fissiamo le idee sul caso elementare
di
tre beni, le cui
q~tantitàindichiamo genericamente con
x,
y,
z,
la
scena si 1'iduce all'ordinario spazio a t're
VIII MEOOANICA EOONOMICA
sioni,.
la
ofelimità è rappresentata
da
una funzione delle
tre coordinate
(1)
<I> (x,y,
z),m
entre
'ivincoli
nella ipotesi più semplice
possono veni1'e
espress't da 'Lma equazione
come
(2)
F
(x,
y,
z)
=O.
L'attore
obbligato
a
restare
sulla
superficie (2),
cerca di
raggiungere su di essa
la
posl:
zione preferita. Essa
è q
'
uella
cui corrisponde la massima ofelimità, ed è caratterizzata,
come è
immediatamente
evidente, dalla catena di
propor-zioni
(3)
a
a
<I>x
aFa
x
aF ayaF
a
z
che insieme
alla (2) det
erminano
le
incognite
x,y,
ze
de-finiscono
così la configurazione paretiana di equilibrio, Le
derivate della
fun
zione
<I>possono essere interpretate come
componenti delle forze
applicate
,.
le derivate della
F
come
componenti delle tensioni dei vincoli; sicchè
le equazioni
(3)
esprimono appunto che
imovimenti che sarebb
ero provocati
dalle
for
ze
sono
imp
editi dai vincoli e viceversa.
PREFAZIONE IX
Un istante di
riflessione fa subito vedere
che con
questi
interrogativi abbiamo
posto il problema fondamentale della
dinamica economica.
Se la funzione
<I>ditferisce da
F
solo
per una costante
di propor
z
ionalità, l'equazione
(2) è una
supe1/icie di
livello per l'ofelimità. Costituisce quindi un
vincolo,
c
he
pone
l'attore in una situazione analoga a quella
in cui
è
una
palla pesante che rotola senza attrito su una
superficie oTizzontale.
ilprincipio galileiano d'ineTzia
po-stu7a che
la palla seguita a
rotolare indefinitamente
con
moto rettilineo uniforme e
da questo postulato discende che
le
eq'
uazioni
ditfeTenziali della Meccanica sono del secondo
ordine.
C'è
nella
Economica qualche
cosa;
che
è analogo a
quello che
è
l'in
e
rzia in Meccanica? E l'analogia
può
es-sere spinta al punto
da
in,'"erirne che
le equazioni
ditfeTen-zial'i della
Economica sono del secondo
ordine.~La risposta a
queste domande
ècontenuta nelle presenti
Lezioni, delle quali il punto centrale
sta nella
identifica-zione
del principio economico
del minimo mezzo
col
prin-cipio meccanico della
minima
azione,
come
èspiegato nelle
Lezioni XIII e
Xl
V.
Da
essa
discende appunto che le
al--
-MEOOANICA EOONOMICA
l'altra forma di energia la natura opera come
ttn
pro
duttore che tende a realizzare le sue combinazioni col
mi-nimo costo.
Si
intende che il
costo
deve esser valutato
in
termini di una data forma di energia, per
esempio
mec-canica, avendo identificato
ip1'ezzi cogli
equivalenti mec
-caT/,ici delle altre forme di ener,qia
.
Il parallelismo
è
com-pleto, quando
iprezzi sono supposti costanti,
come si suole
poshtlare nella dott1'ina classica, nella quale il movimento
economico
è
pensato stazionario nel tempo.
lo penso
che
questa dttalità possa essere sttscettibile di
ulteriori sviluppi che potr'anno
essere
fecondi tanto
pe1'
la
Meccanica
quanto per la Economica
e
questa
mia
fiducia
ha il suo fondamento nelle
considerazioni seguenti.
La Meccanica
èoggi
in
crisi e la
crisi
tocca
i
fonda-menti teorici della
costruzione classica,
in quanto la
più
recente
corrente
di
pensiero,
che
si
impersonifica
nei nomi
di
DE BROGLIE, SCHRODINGER, HEISENBERGed in generale
nei teorici della Meccanica ondulatoria
e della
Meccanica
quantistica, afferma che nella meccanica dell'atomo
(micro-meccanica) viene meno
il
carattere
deterministico del
mo-vimento, quale era in sito nella forma differenziale delle
equa-zioni
classiche. Siffatto sconvol.qimento
èconseguenza
del
principio di indeterminazione ( di
HEISENBERG),in forza
del
quale il movimento dell'atomo
è pensato dipendere non soloda
elementi
intrinseci al moto (forze, ostacoli,
resistenze
d'inerzia), ma ancora da elementi ad esso
estranei,
legati
all'azione
e
talora alla sola presenza
dell'03servatore.
Ne
deriva che la rappresentazione della configurazione
futura
non può essere pensata se non in termini di
probabilità,
relativi ad un fenomeno
collettivo
di massa.
"
PRl!]FAZIONE XI
la concezione del fenomeno del moto, quale era teorizzato
dalla dottrina classica, esprimono
invece caratteri del
feno-meno economico che
appariscono w'LÌversalmente evidenti.
Chi non vede, per
esempio, che per quanto possa esser
so-lida la
situazione di
una banca, un improvviso panico dei
depositanti può d'un
colpo rovesciaTla e p1'ovocare prop1'io
quel
danno,
che
originariamente non esisteva se non nel
•
pensiero di una
folla.'e Chi non vede che se tutti si
imma-ginano che possa
manifestarsi deficienza di una merce ed
in conseguenza corrono all'accaparramento,
la
deficienza si
produrrà
effettivamente, anche se la preesistente situazione
delle scorte era più
che soddisfacente
rispetto
al consumo
normale
~Nel settore economico
èpacifico che
in
generale non
solo
la
configurazione
futura, ma anche la configurazione
presente
_
dipende
tanto dagli elementi
che
caratterizzano
quella situazione in
linea di fatto, quanto,
e
talora soprat
tutto,
dalla idea che
gli uomini si fanno di essa
.
Così, per
esempio,
il
valore
di ogni capitale - mobile od immobile,
agricolo,
industriale
ocommerciale
-
non
èche
il valore
attuale
dei redditi futuri, quali sono
presuntipro tempore,
capitalizzati al
saggio di interesse del mercato. Ed in
ge-ne?'ale
da questa interferenza dell'oggettivo col soggettivo
deriva la difficoltà della previsione
economica (*).
imme-"
fJ
.
v,
.
•
XII MECCANIOA ECONOMIOA
Ma vi
è
di più
.
Non solo la previsione scientifica
nel
settore economico
non può essere espressa
se
non in termini
di
probabilità
relativi ad un fenomeno di massa,
ma sta
di fatto
che in
questo settore lo stesso fatto
singolo
è
senza
significato. Che per esempio una signora compri
o
non comp1'i
una pelliccia, non è tln problema
economico: è tln p1'oblema
economico prevedere quante pelliccie
si
vendono
in un anno
in
'/,lndete1'minato mercato. Il che significa che
quando in
astratto
si
studia il caso individuale, q'/,lesto
studio non è
fine a se stesso e solo ha importanza in tanto
in q'/,lanto
è
tipico per. la valutazione del fenomeno
collettivo. Se ciò
nQn
è
sempre evidente a tutti,
è
perchè
il
fenomeno
col-lettivo di massa
è conosciuto
d'ordinario
attraverso
leggi
empiriche, che trovano la loro
espressione solo nella
cosi-detta Economica induttiva
a
base statistica,
che in
fondo
poi non
è
che la
Statistica
economica, il
cui
collegamento
colle leggi teoriche della economica
è,
oggi,
appena
rudi-mentale.
La conclusione
che
può trarsi da queste
considera-zioni
è che
la nuova meccanica trova n
el fenomeno
eco-nomico uno schema reale, al quale
inuovi principi
teorici
hanno viva aderenza, sicchè si può
dire che
la
Meccanica
si
va
evolvendo
i'(t
Wlsenso che è quello proprio della
PREFAZIONE XIII
vedere la identificazione almeno parziale della Fisica e della
Economica.
Se questo gi01'no verrà, sarà allora colmato
ilfosso che
oggi ancora divide sotto l'aspetto teoretico la Economica
dalla Statistica e,
ciò che
èancora più importante per la
Filosofia
naturale, la negazione della concezione
determi-nista
nella natura fisica
che
oggi
è un enigmae per questo
ripugna a tanti spiriti illuminati, troverà nel modello
eco-nomwo
una spiegazione
aderente
alle ragioni prime della
vita.
*
*
*
Ringrazio
i
colleghi del R. Istituto Nazionale di Alta
N/atematica
ed in modo particolare il Presidente
SEVERI,che mi
hanno
dato
modo di richiamare su questi problemi
l'attenzione
dei matematici: ringrazio pure_
il collega
D'AD-DARIO,che
ha ?'iveduto
icalcoli, disegnato le figure ed in
generale
curato con amore la pubblicazione di questa
Mono-gmfia.
Mi
ègradito menzionare ancora
idiscepoli del·
l'Istituto Dottori
EUGENIO MORENO, VITTORIA GIUNTI, LUIGI MARCH~TTI, GIUSEPPE MESSINA,che mi hanno
aiutato
nella
raccolta
delle Lezioni; mio fratello Ing
.
ERNESTO,che
ha
coadiuvato
il Prof
D'ADDARIOnella revisione dei calcoli
e
la
Signorina
ALICE SPILLER,che con pazienza ed
intelli-genza ha curato la revisione delle bozze di stampa.
"
(f
.'
INDICE
PREFAZIONE LEZIONE L Le funzioni fondamentali. 1. - Ofelimità e produttività 2. - L'ofelimità marginale . 3. - Rappresentazioni analitiche 4. - Produttività marginali . LEZIONE II.Le funzioni indici dell' ofelimità. 1. - Le linee di indifferenza.
2. - Le funzioni indici . 3. - Il colle dell'ofelimità 4. - La curvatura nel colle 5. - Risparmio e lavoro LEZIONE III. · Pago V · Pago 1 » 3 » 6 » 8 · P}Lg. 11 » 12 » 15 » 16 » 17
La distribuzione del reddito fra i mri cons~(1Jti.
1. - Impostazione del problema · Pago 21
2. - Le equazioni dell'equilibrio » 22
3. - Il principio marginale . » 25
~
XVI MECCANICA ECONOMICA
~
}
4. - Le equazioni della domanda. . Pago 26 5. - Il problema generale dell'equilibrio del
consu-matore » 30
LEZIONE IV.
La fonna:tione dei pre:t:ti in un ?nercato d·i cons'umo.
1. - Impostazione del problema Pago 35
2. - Le equazioni dell'equilibrio » 36
3. - Il massimo collettivo di ofelimità » 39 4. - La teoria quantitativa della moneta » 41
LEZIONE V. Il bctratto.
1. - Oonsumo e possesso Pago 45
2. - Le equazioni paretiane . » 47
3. - La rappresentazione di Edgeworth > 49
LEZIONE VI. L'eqnihbrio del proc11.1 t to're.
1. - Impostazione del problema. Pa,g. 57
2. - Le equazioni dell'equilibrio » 60
3. - Il principio marginale » 61
4. - Esempio » 63
LEZIONE VIL La cm'va dei costi.
l. Illivellamento delle produttività marginali fisiche Pago 65
2. - La curva dei costi. » 66
..
INbIOE 4. - Esempio . '5. - Il punto di equilibrio 6. - La rendita ricardiana LEZIONE VIII. La cwrva di offerta.1. - Numero delle imprese operanti ad un determi-nato prezzo
2. - Ourva di offerta 3. - Esempio .
4. La configurazione ideale della perfetta concor-renza
LEZIONE IX.
Lct 'rendita C01ne fenomeno sociale. Sintesi dei p'roblemi d,i economùt i'n{lividtlale.
XVII Pag.· 70 » 72 » 74 Pago 77 » 78 80 » 83
1. - Il produttore nelle alterne fasi della congiuntura Pago 85
2. - Il saggio reale d'interesse » 87
3. - Riduzione dei teoremi marginali ad un unico
princ1pio di massimo » 89
4. - Equilibrio fra gusti ed ostacoli » 92
LEzrONE X.
Il PToblentct geneutle dell' eqttilib'rio economico.
1. - Riassunto della precedente trattazione Pago 95
2. - Impostazione del problema » 96
3. - I dati e le incognite » 98
4-. - Le equazioni dell'equilibrio » 100
5. - Lo schema classico clelia formazione dei prezzi » ]01
6. - Le teorie del valore » 103
t
l
I,j
XVIii MECCANICA ECONOMICALEZIONE XI. MonolloUo totale e parziale. 1. - L'equazione fondamentale del monopolio 2. - Monopolio totale . 3. - Monopolio parziale Pag.107 » 109 » 113 4. - Monopolio e concorrenza » 114
5. - Le equazioni generali dell'equilibrio in
condi-zioni di monopolio. » 116
LEZIONE XII.
I fondamenti della dinami,ca econo?n'ica. 1. Oritica della concezione dell'equilibrio
2. Le resisttlnze d'inerzia .
3. - Significato della eqllazione euleriana 4. - Proprietà della ofelimità lagrangiana ApPENDIOE:
Nota del Prof. Fantappiè sull'integrazione del-l'equazione [3].
LEZIONE XIII.
La dinamica jctrniliare. 1. - L'ofelimità del sistema .
2. - L'equazione differenziale del pareggio del bilancio 3. Equazioni differenziali del movimento.
4. - Estensione del principio del livellamento delle ofelimità marginali.
5. - Domanda ed offerta
6. - Integrazione delle equazioni del movimento in
INDICE
LEZroNE XIV.
Lct {Unltlwicct (H Wl imp'ianto industrÌltle. l - La produttività dell'impÌlwto
2 - Valore e costo della produzione
3. Eqllazioni della dinamica dell'impianto
4. Condizioni che determinano il movimento. Sin-tesi dell::), Rcnola classica e clelia scuola storica. 5 Domanda ed offerta
6. - Estensione del principio marginale
LEZIONE XV. Meccctn-icct ed Economicct.
1. - Riassunto dei risultati della lezione precedente. 2 - Differenze fra la Meccanica e l'Rconomica. 3. Il potenziale economico.
4. Interpretazione energetica del principio marginale 5 Interpretazione marginalistica del principio della
conservazione dell'energia
6. - Interpretazione economica del principio della mi-nima azione
7. - Cumuli di interessi e rendite ricardiane LEZIONE XVI. La din{tmiClt dei prezzi.
1. - Lo schema classico della formazione dei prezzi. 2. - Consumo e produzÌ0ne come funzionali dei prezzi 3. - Il movimento delle scorte
4. - Le equazioni del movimento dei prezzi 5. - Confronto colla esperienza ,
INDIOE DEI NOMI
.'
LEZIONE I
LE FUNZIONI FONDAMENTALI
1. OFELIMITÀ E PRODU'J'TIVITÀ. - L'universo economico SIi può immaginare costituito da un numero grandissimo di sog'getti od unità che possono esser distinti in due categorie: unità di con-sumo ed unità di produzione. Sono unità di consumo la famiglia, la caserma, il collegio, il monastero, etc. Sono unità di produ-zione l'azienda agricola, industriale e commerciale, la fattoria, la fabbrica, l'officina, la bottega, etc.
La economia delle unità di consumo è dominata da una fun-zione fondamentale: l'ofelimità. Diamo questo nome allA. quan-tità ~, che misura j] piacere clle reca ad una determinata per-sona (soggetto economico) il consumo - nella unità di tempo -di certe quantità -di certi beni economici. Nella definizione è im-plicita lct ipotesi della mis'ttrabilità del piacere, in consegnenza della quale la ofelimità deve esser considerata funzione della quantità Xl'
X. ,
...
, X,.,
che indicano quali sono le quantità consumate nell'unità di tempo. Scriveremo cosi:[1] ~ = <I>(xI , X. , ••• , x .. ) .
2 MECCANICA ECONOMicA
reca alla collettività familiare il consumo nell'unità di tempo eli certe quantità di certi beni. Ed in questo senso parleremo in generale della funzione ofelimità relativa ad una unità di consumo.
Reciprocamente la economia di ogni unità di produzione è signoreggiata da un certo numero di funzioni fondamentali, cbe rappresentano le p1·od~~ttività. Esse misurano il rendimento dei singoli fattori della produzione, espr@ssi in termini del pro-dotto. Precisamente, se in un determinato impianto industriale o più in generale in una qualsiasi unità di produzione, determi-nate quantità 'ili, tt. , . . . , 'Um di certi p'rodott'i sono ottenute com-binando determinate quantità Xl'
X.,
...
,
Xn di certi fattori della prodnzione, ciascuna delle quantità prodotte 'U è funzione di tutte le quantità impiegate X e le equazioni che esprimono questa dipendenza[2]
~~I = ']fl (Xl' X. , .• , Xn) ~~. = ']f. (Xl , X. , •• , Xn)
rappresentano la produttività dell'impia,nto c più in generale la produttività dell'unità di produzione considerata.
Le funzioni ']f17 ']f., ... ']fm SOllO caratteristiche di ciascuna unità economica, perchè se le leggi della tecnica (cioè della mec-cc~nica, dellct fisicct, della chi?n'ica, etc.) sono universali, sono in-vece variabili i sistemi ed i metodi, con cui le stesse leggi sono applicate e sfruttate. Il pOSSf\SSO di un macchinario più o meno perfetto, la presenza di maestranze più o meno capaci, la mag-giore o minore vicinanza ai centri di rifornimento ed ai mer-cati di consumo e mille altre circostanze fanno sì che ogni unjtà economica abbia una sua fisonomia particolare.
con-LEZioNE I - LR FUNZIONI FONDAMENTALI
corrono alla formazione di determinate quantità dei prodotti; vale a dire che le equazioni [2] non sono risolubili rispetto nd Xl , x. , ... , Xn •
La ragione della ipotesi è evidente: He fosse possibile
deter-minare xl) x., .. ,Xn in funzione delle quantità prodotte,
l'Econo-mica sarebbe dominata da una legge analoga a quella delle
pro-porzioni definite e si ridurreblJe ad una Ohimica. La esperienza dimostra invece che sono moltissime (teoricamente infinite) le
combinazioni Xl' X" .•• , Xn , cui corrispondono gli stessi valori per
1/1 , ~~., • • • ,'nm , tutte tecnicamente possibili; il produttore sceglie fra esse quella che è la più conveniente sotto l'aspetto econo-mico. Appunto percbè sono possibili queste scelte, l'Economica
non si riduce ad una Ohimica.
Le definizioni date tanto per la ofelimità quanto per la
produttività sussistono solo in unapr'inta app1'ossi?nc~zione, cùe è caratterizzat,a dalla ipotesi, che le azioni economiche sieno ~m'i
j01Ynemente ripetute e quindi le variabili (quantità consumate od impiegate) restino costanti nel tempo; vale a dire nella ipotesi che il movimento economico l'i sul ti stazionctrio. Vedremo più avanti come le definizioni debbono essere modificate,
per-chè le funzioni risultino atte a rappresentare le scelte, che av-vengono in una economia, in cui le quantità consumate od
im-piegate variano nel tempo ('movimento variabile).
2. L'OFELIMITÀ MARGINALE. - Se ~l' ~2 , • • • , ~ sono n numeri
che rappresentano (pel soggetto considerato) le quantità corri-spondenti alla saturazione dei di versi consumi, il campo in cui è definita la funzione ofelimità è rappresentato dalle
disugua-glianze
[3]
e dicesi la zona del consunto.
Supporremo che nella zona del consumo l'ofelimità sia
4 MECCANICA ECONOMICA
due ordini continue. In questa ipotesi esiste il differenziale
a
w
aw
aw
dw
=
-
a
-
dx,+
-
-
dXa+
.... +
-
dx
1,XI
ax.
ax"
.
e rappresenta l'incremento di piacere che il soggetto prova pas-sando dalla combinazione
X, , X. , • • • . , Xn ,
alla combinazione
X,
+
llx, ,
X.+
clx. , ...
, Xn
+
dx", .
Ad esso diamo il nome di ofeli1nità 11w'rginale.Le singole derivate
ax,
'
ax.
, ...
,
si dicon o coeffic'lenti o tltssi della ofelimità l1w1'ginale, relati vi ai singoli consumi. Nel lingua,ggio corrente, quando non può nascere equivoco, i tassi delle ofe]jmità marginali sono detti essi stessi ofelimità marginali ed in questo senso esistono tante ofelimità marginali, quanti sono i consumi. Nell'interno della zona del consumo sussistono sempre le disuguaglianze
[4]
...
,
aw
ax"
> ,
Operchè evidentemente ivi un incremento del COllsumo è sempre gradito.
corrispon-
.-LEZIONE I - LE FUNZI01'II FONDAMENTALI 5
denti ofelimità marginali possono tendere all'infinito, perchè, per un uomo affamato - per esempio - è grandissima l'ofeh-mità di un primo tozzo di pane.
Quale è il segno delle derivate seconde Y
Il secondo pezzo di pane reca minor piacere del primo; il terzo meno del secondo e così via. Di mano in mano che si mangia, il piacere (11u:~rginale) va sempre diminueudo e si riduce a zero per chi è sazio. In geJJerale è legge fondamentale della nostra sensibilità che s'!wcessive dosi (li nno stesso bene 'reç(~no llempr6 minor piacM·e.
]l ciò significa che sussistono le disuguaglianze
valide in ogni punto interno alla zona del consumo.
Per ciò che si riferisce alle derivate seconde miste, OS8er-,iamo che, consumate insieme, le quantità Xr e Xs possono recare maggior piacere (li quello che recherebbero, se fossero consumate separatamente: i due beni sono allora co?nplem,entl~r'i,. Esempio: zucchero e caffè. Sono invece supplementari, se, come carne e pesce, recano maggior piacere consumate separatamente. Beni che non sono nè complementari nè supplementari sono incU,pell-denti e recano lo stesso piacere, tanto se sono consumati in-sieme, quanto se lo >;ono separatamente. Beni assolutamente indipendenti non esistono: fa piacere sentire una bella mnsica dopo avere bene mangiato, ma insomma se la musica è bella,
il piacere non varia gran clie, anche se si è mangiato un po' meno bene.
La derivata mista
è positiva, nulla o negativa, secondo che i consumi r ed Il sono complementari, indipendenti o supplementari.
6 MECCANICA ECONOMICA
3. RAPPRESENTAZIONI ANALITIOHE. - Nell'ipotesi che
l'ori-gine dei consumi sia nel punto
X,
=
° ,
xa=
° , ..
.
.
,
xn=
° ,
la funzionen
[6] <P
=
~ Ar log (Xr+
1) ,T=l
in cui le Ar sono costanti positive, è atta a rappresentare la ofelimità di consumi indipendenti praticamente insat'Urabili, in quanto è
a
2<p
ax'
rLa derivata prima di <P rispetto ad Xr tende a zero, quando
Xr cresce indefinitamente e resta finita, quando Xr tende a zero.
Analogamente la funzione
[7] <P
=
AX,~I . x"~, ... xn~nin eui A è una costante positiva e f.t" f.t2' .••. f.tn sono costanti
comprese tra
°
ed 1, è atta a rappresentare l'ofelimità di consumi complementari praticamente insaturabili. rnvero le derivate sonoa<p
f.tr<P >0,aX
r x r 'a"
<P f.tr (f.tr - 1)<P<O
.-LEZIONE I - LE FUNZIONI FONDAMENTALI 7
Se Xr tende all'infinito, la corrispondente derivata prima tende a zero. Tende invece all'infinito, quando Xr tende a zero.
Per considerare un terzo esempio supponiamo che
rappresenti una forma quadratica simmetrica con i coefficienti po-sitivi. Se f.t. è un numero positivo compreso tra O e
~
,la fun-zionepuò anche essa rappresentare la ofelimità di consumi comple
-mentari praticamente insaturabili. Abbiamo infatti:
dove con ~* si intende la somma estesa ai valori di s da l ad n,
escluso il valoTe r.
Per Xr tendente all'infinito il corrispondente tasso della ofe-lirnità marginale tende a zero; e tende invece all'infinito per
Xr tendente a zero.
Infine, fermo restando la precedente espressione di
i,
se è inoltre ara = asr>
O e ~1 , ~, , . . , ~ sono n numeri positivi, la/,
i
8 MECCANICA ECONO~IICApuò rappresentare la ofelimità di consumi supplemeutari Del campo
[8] O
<
X,<
1;, , O<
X,<
1;. , • • . • • O<
X 71<
1;71 ,come è evidente dalle formule
a
2 <I> - - o= -
2arr<
O ax,.a
'<I>- - -
=
-
2(/,,.8< O ax,. 8xsAvvicinandosi al contorno del campo in un direzione in cui tutte le Xr tendono alle 1;,., lungo la diagonale dell'iperrettan-golo definito dalle [8], le a<I>
a
tendono tutte a zero.x,.
4. PRODUTTIVITÀ MARGINALI. - Ritorniamo alle equazioni
della produttività rappresentate dalle formule [2] ed indicbiamo con V,, 'Pa, .. ,
rm
i prezzi dei prodotti, che supponiamo costanti rispetto al tempo. L'espressionem m
[9] T
=
~ p,. ~~,.=
~ p,. 'P,. (XI' X. , ... , X,,)r=l r=l
rappresenta il valo're clellct pTodt~$ione erogata nell'unità di tempo. Essa è nna funzione di x,, X. , . . • Xl1 , ed il suo differenziale
aT
a
T
aT
(lT
=
- -
ax, cix,+
--
ex, dx,+ ... +
--
ex", dx,/! rappresenta il valore del prodotto rncwginale.Alle deri vate parziali
...
LEZIONE I • LE FUNZIONI FONDAMENTALI 9
cliamo il nome di coefficienti delle prod~~ttivitù 11w1'ginali, o più
semplicemente - se non può nascere equivoco - di
produt-tivitèt ma'rginal'i economiche, relative ai singoli fattori della
produzione,
Se il prodotto è unico (m = 1) ed H e p ne indieano rispet-ti vamente la quantità ed il prezzo, le produttività marginali economiche sono a1t a1t au p
aX
1 ,2) - -ax.
, ' .. , p -aXn
- , e le derivate parziali di u, ...
,
possono esser definite come proeluttivitù marginali fisiche.
[lO]
Sussistono in generale le disuguaglianze
a
2T-
a
Xr
-.<0.
Quelle di sinistra traducono in termini matematici. il fatto ovvio che le quantità dei singoli prodotti crescono o per lo meno non diminuiscono, se uno dei fattori della prodnzione cresce, mentre tutti gli altri rimangono inalterati.
Le disuguaglianze di destra esprimono invece la legge empirica
della produttivitèt decrescente, che si ennncia dicendo che snccessive
elosi di WIO stesso fetttore dell(~ l)roduzione (fermo restan do le
quantità impiegate di tutti gli altri) detnno un rendimento se1n-p1'e minore. Oosì successive dosi di concime chimico accrescono sempre meno la fertilità del terreno. OosÌ ancora se un pastore a guardia di un gregge di 1000 pecore sal va dai lupi 900 pe-core all'anno, un secondo pastore salverà al più 100 pecore, etc.
Secondo che la derivata mista
MECCANICA ECONOMICA
è positiva, nulla o negativa i fattori l' ed s si dicono co mple-mentari, indipendenti o supplementari.
Le disuguaglianze [lO] valgono qualunque sia il sistema dei
prezzi, purchè costanti. Ne deriva che esse debbono valere per
ciascuna delle funzioni 'lil ,
'li., ... ,
'lim •,.
LEZIONE Il
LE FUNZIONI INDICI DELV OFELIMITÀ
1. LE LINEE DI INDIFFERENZA. - Oonsideriamo la funzione
ofelimità <I> (Xl' X. , ..• , Xn) e prendiamo in esame quelle combi-nazioni Xl , X. , ••• , Xn , che - per essere ugualmente gradite al soggetto - attribuiscono alla <I> un medesimo valore. Esse ve-rificano alla equazione
[1]
in cui o è uua costante arbitraria positiva. Nello spazio ad n dimensioni, rappresentato dalle variabili x, questa equazione
rappresenta una varietà ad n - I dimensioni, che diremo vctrietà
di indifferen~a.
Per n
=
2 si hanno le linee di indifferenza di EDGEWORTH,che hanno la forma indicata nella figura 1 e costituiscono un
fascio. I diversi punti di una stessa linea del fascio sono
indif-ferenti pel soggetto nel senso che ad essi corrisponde la stessa
ofelimità. Passando da una ad un'altra linea del fascio
l'ofeli-mità varia. Il movimento lungo una linea l che non coincide
con una linea di indifferenza è gradito, quando avviene nel senso
in cui le ofelimità vanno crescendo.
Se, per esempio,l'ofelimità è rappresentata dalla formula [7]
della precedente lezione, le varietà di indifferenza hanno equa-zione
[2]
12 MECCANICA ECONOMICA
La importanza della varietà di indifferenza sta nel fatto che esse possono essere ricavate direttamente dalla esperienzo.,
indi-pendentemente dalla nozione di ofelimità e possono anzi servire,
o
l<'ig. 1.
come ha mostrato P .A.RElTO, a stabilire il concetto stesso di
ofe-limi tà su basi sperimentali. In tal modo ]a teoria resta affrancata
dalla ipotesi della misurabilità del piacere, la quale lascia
per-plessi, perchA nou è suffragata da nessuna intuizione
sperimen-tale, come è evidente a cùiunque rifletta che, se tutti sappiamo
dire se una cosa piace più o meno di un'altra, nessuno
pense-rebbe di ag'giungere che piace il doppio o la metà.
2. LE FUNZIONI INDIOI. - Per eliminare l'ipotesi, PARETO
.'
LEZIONE II ' LE FUNZIONI INDICI DELL'OFELIMITÀ 13
piacere una funzione che cresce, quando il piacere cresce; dimi-nuisce, quando il piacere diminuisce,
Per dimostrare come una funzione di questo genere possa
!/,
---T
o
Fig. 2,
costruirsi sperimentalmente, fissiamo le idee su due consumi
(fi-g~lra 2); e diciamo x, y due quantità generiche dell'uno e dell'altro. È un fatto sperimentale che date due combinazioni Xl 'Yl ed
X.
,Y.
siWlno sempre in grado di clecidere quale delle d'/,t6 è prefe?"ita.Segue allora che rispetto ad una qualsiasi combinazione Xl , Yl'
rappresentata dal punto PIl tutti i pnnti del piano x, y possono
esser distinti in due regioni: la prima S corrispondente a com-binazioni preferite e la seconda T corrispondente a combinazioni,
14 ~IECCANICA ECONOMICA
conti'l'lt~ità separate da una linea, che è la linea di indifferenza passan te per P l'
Partendo da un secondo punto p. fuori di questa linea, si
costruisce la linea di indiflerenza passante per p. e COS1 via.
Il piano viene coperto in tal modo da un fascio di linee di
indifferenza costruibili sperimentalmente. Se ad ognuna di esse è applicato un indice crescente nel senso in cui il piacere
cre-sce, veniamo a costruire sperimentalmente una fuuzione del1e
due variabili x, y che cresce quando il piacere cresce, diminuisce quando il piacere diminuisce.
Ed analogamente - con una estensione immediata - nel caso di n consumi.
Ad una funzione COS1 fatta, il P .A.RUl'rO dà i L nome di ftmzione indice dell' ofelimità o semplicemente funzio'l1e indice. Nei
pro-blemi di equi librio economico essa può pienamente eSi:>eL'
sosti-tuita all'ofelimità.
:ID conveniente limitare l'arbitrarietà della legge con cui è
costruita la funzione indice, ponendo la condizione che sieno
mantenute le disuguaglianze fondamentali, che caratterizzano
la ofelimità.
Oiò porta che se .e = <I> (Xl' X., ... , xn ) è una funzione indice debbono esser verificate le disuguaglianze
[3 ]
r = l, 2, ... , n e quindi, se
z
è una funzione indice, lo è pure ogni funzione.el
=
'P (.z)per cui sia
LEZIONE II - LE FUNZlc'NI INDICI DELL;OFELIMITÀ
15
e quindi per [3] e [4]
r
=
1, 2, ... , n In particolare se !t è una funzione indice, lo sono pure log ~ ; e !tn , se è O<
n<
l.3. IL OOLLE DELL'OFELIMITÀ. - Ogni funzione indice in due
variabili
[5] !t = <l> (x, y)
può nello spazio x, y, z essere interpretata come l'equazione di
una superficie, la quale (supposto il piano x y orizzon tale e l'asse
!t verticale) è stata detta da PARETO il colle dell' ofelirnità. Esso
si estende nella zona del consumo in cui è definita la ofelimità e cioè nella, zona
X <: Xo , y <: yo
xo, Yo essendo i valori per cui i due consumi sono saturati. Le linee di indifferenza di EDGEWORTH sono le curve di livello del
colle; e la legge generale della nostra sensibilità, per cui suc-cessive dosi dello stesso consumo recano sempre minore piacere
è espressa dal fatto che la pendenza diventa sempre meno
ri-pida quanto più si sale. Al limite quando entrambi i valori di
x e di y tendono rispetti vamente ad Xo ed Yo , la pendenza tende a zero. Se, come succede sempre nella realtà, si può lasciare
perdere il superfiuo (e cioè le quote di consumo che vanno oltre il puuto di saturazione) possiamo pensare la ofelimità definita
oltre la zona di consumo, sicchè il colle dell'ofelimità è definito
in tutto il quadrante delle x e delle y positive. Si ha allora
per x:::: xo, y :::: Yo
a<l> _ O
ax -
,
a<l>=
O16 MECCANICA ECONOMICA
e quindi
~ = costan te.
La regione (piana) in cui sono verificate queste uguaglianze costituisce la vet.ta del colle. Non è un cucuzzolo, ma un terra -pieno orizzontale.
4. LA OURV.A.'l'URA NEL OOT,LE. - Riprendiamo le condizioni
[3] a cui deve soddisfare ogni funzione indice e vediamo se è possibile sintetizzarle in un'unica disuguaglianza relativa alla cur\atura del colle dell'ofelimità.
A tale scopo estendiamo la legge fondamenta,le della nostra
sensibiUtà, postulando che successivi incrementi delle stesse
oO'l1lbin(t,~ioni di consumi recano sempre minor piacere.
Rifcren-doci alla equazione [5], questo postulato si. traduce nella
condi-zione che il differenziale secondo di :z sia una forma
differen-ziale negativa.
Posto colle usuali notazioni:
dz = pdx
+
qdy d'z=
1'llx"+
2 Sdxlly+
tdV' dove a~ a~ p = -ax
q=-a
y
a~ a~ a~ r=ax'
,
s=---ax
a
y
,
t= --By"La condizione che d'~ sia nna forma definit,a negativa, porta
come conseguenza che deve essere positiva la curvatura totale
di GAUSS, cioè la espressione
'rt - s' K = --:-=---:---;;--:--;=
(l
+
p"+
q")'."
LEZIONE II " LE FUNZIONI INDICI DELr}OFELIMlTÀ 17
sia una forma definita negativa; occorre inoltre che sia 1"
<
O (da cui segue pure t<
O) si ottengono così le condizioni[6]
cbe sono più 1"est?"ittive delle [3].
L'ultimo asserto evidente sotto l'aspetto matematico ha la sua ragioue economica nel fatto che postulare la decresceD7;a del piacere corrispondente a successive cornbinazioni degli stessi
consumi rappresen ta un vincolo più stretto di quello che si stabilisce, quando si post'llla la decrescenza del piacere per suc-cessive elosi dello stesso consumo, tutti gli altri restando
in-variati.
Per la funzione indice
le condizioni [3] portano alle disuguaglianze
Le [6] portano invece
Q
<
ÀO<fA.<l.
O< fA. , À+ fA.<l come risulta immediatamente dal calcolo seguente:
az
Àzaz
fA.ZP=-ax=--X' q=ay-=-;y
r
=
_
~
+
(~)'
z
=
À (À - 1)z
x· X x'
s
=
ÀfA.Z t=
fA. (fA. -l)zxy , y'
AfA. ,$'
rt - S2
=
-
x' y' (1 - À - 11.) r5. RISPARMIO E LAVORO. - Gli argomenti Xl' X2 , ••• , Xn che
figurano nella definizione della fuuzione ofelimità possono
i8 MECCANICA ECONOMICA
presentare beni e servizi, presenti e futuri. Se una delle x rap-presenta beni futuri, la ofelimità marginale relativa raprap-presenta
l'ofelirnità del risparm.io; se rappresenta servizi personali, la x può essere quantità positiva o negativa in quanto i servizi pos-sono essere préstati o goduti e la ofelimità marginale relativa rappresenta, come meglio preciseremo più avanti, la penct del
lavoro.
In ambo i casi non sussistono le disugnaglianze [3].
Per H risparmio l'esperienza dimostra cbe in generale chi
più possiede, più desidera possedere. Oiò significa che, detto B
il risparmio, che per semplicità supponiamo valutato in moueta,
i corrispondenti tassi della ofelimità marginale verificano alle
disuguaglianze
[7]
a
aB
<I>>
O,a'<I>
aB'
>
o
che sostituiscono le [3].Per il lavoro invece diciamo L la quantità misurata in unità di tempo, per esempio in ore giornaliere e determinia-mone il segno, convenendo: che L assuma valori positivi quando
il lavoro è prestato per conto od a beneficio di terzi j che a valori
positivi di L corrispondono valori negativi di <1>, che rappre-senta la pena del lavoro. In tal modo la derivata di <I>
ri-spetto ad L rappresenta la pena marginale del lavoro e per
essa sussistono al posto delle [3] le disuguaglianze [8] aL
a
<I><
O
aL"a
'<I><
o.
Esse ci esprimono che il lavoro reca sempre una pena ed una pena progressi'/.:amente maggiore di mano in mano che si protrae nel tempo.
Indichiamo allora con X un indice generale del consumo e
"
LEZIONE II ' LE FUNZIONI INDICI DELL'OFELIMITÀ 19
a) che risultando iI lavoro, sempre più faticoso di mano in mano che si protrae nel tempo, condizione necessaria perchè le combinazioni Xl' LI ed X., L. risultino indifferenti, è
X. - Xl
>
,L. - LIb) che d'altra parte, giunti ad un certo limite Lo (per esem-pio 14 ore al giorno) nessun incremento di consumo può com-pensare la pena di un ulteriore incremento di lavoro,
L
---L,
o
X,x
Fig. 3.
Le linee di indifferenza rivolgono )a concavità verso l'asse dei consumi ed ammettono come asintoto la parallela all'asse dei consnmi di equazione L
=
Lo.Esse hanno quindi la forma delle linee qui indicate nella fìg~o'et 3.
Supponiamo che la corrispondente funzione indice (della ofe-limità) sia
[9] <I>
=
et log (1+
X)+
bIL
+
w log (w-L)I20 MEOOANICA EOONOMICÀ
essendo a, b, ro costanti-positive; x, L variando nei limiti
o
<
X , O<
L<
ro.Si ha allora a norma delle [3] :
a
([> _ aa"([>
aaX - l
+
X>
O , òX" = - (1+
X)"<
O ed a norma delle [8] :~~
=b (1-
ro-L ro)=_
ro-L bL <Oa"([>
aL2= Per b = 1, ro = 15 si ha: I- m-L O 15 1 H 2 13 3 J2 4 11 5 lO.
..
.
,.
13 2 H 1 15 O bro (ro - L)"<
O ~ i)2 <I> i)L i) L' O - 0.07 - 0.0714 - 0.08 - 0.1538 - 0.09 - 0.2500 - 0.10 - 0.3637 - 0.12 - 0.5000 - 0.15 .... ...
- 6.5 - 3.75 -14 - 15 - 00 - 00La tabella indica che (pel soggetto considerato) la prima ora di lavoro dà una pena, il cui indice è 0,07; la seconda una pena di indice 0,15; la terza di indice 0,25 e cosÌ via crescendo progressivamente fino a che la quindicesima darebbe una pena
di indice infinito, il che vuol dire che nessun ulteriore
incre-mento del consumo compenserebbe la pena di un lavoro
..
LEZIONE III
LA DISTRIBUZIONE DEL REDDITO FRA I VARI CONSUMI
1. IMPOSTAZIONE DEL PROBLEMA. - La teoria dell'equilibrio economico è incardi nata sulla presunzione clle le azioni economi-che sieno uniformernente ripetute e quiudi le variabili che indivi-duano la configurazione del sistema sieno iudipendenti dal tempo. Discuteremo più avanti questa ipotesi e vedl'emo quali sono i • limiti entro cui essa può esser considerata conforme alla espe-rienza. Per il momento la ammettiamo in prim,a approssim,azione.Il primo problema, che allora si presenta è quello della d'ist'
ri-bu.zione del reddito fra i vari consumi. È la forma più semplice del problema dell'equilibrio del consumatore. Si suppongono noti: il reddito in moneta, le ofelimità dei singoli consumi, i prezzi di mercato. Si assnmono come incognite le quantità con-sumate. Qnantità note ed incognite sono pensate invarianti ri-spetto al tempo,
[1]
Il problema si pone allora così: essendo noti:
a) una funzione indice della ofelimità
<P (Xl , X. , . • • , xn ) ,
i cui argomenti Xl , X. , .•• , xn indicano le quantità consumate
nell'unità di tempo;
b) la quantità R, che misura il reddito goduto nell'unità
di tempo;
22 MECCàNlUA ECONOMICA
detenninare le quantità consumate nell'unità di tempo, cioè
Xl , XI , •.• , xn•
2. LE EQUAzrONI DELL'EQUIL1BRIO. - Il problema si risolve
partendo dal principio che il soggetto tende, nei limiti (Ielle sue
possibilità, a raggiungere la posizione preferita, cioè il m(lssimo di ofel'im,ità. La frase «nei limiti delle possibilità », significa che
non tutte le posizioni Xl , X. , ... , Xn sono accessibili, in quanto
deve essere identicamente verificata la equazione
[2]
la quale esprime che si spende tutto e solo il reddito: è l(t 001 /-dizione del pareggio del biltmoio.
Il problema si riduce quindi ad un problema di massimo
con-dizionato e precisamente al problema di determinare i valori di
xl) x., ... , Xn , che attribuiscono alla funzione [1] un valore
mas-simo, compatibilmente colla condizione [2].
Per questo dobbiamo, detto À un moltiplicatore di LAGRANGlA,
uguagliare a zero il differenziale
nel quale i differenziali delle variabili dXl , dx. , .. , dXn sono
in-dipendenti. Avremo allora le condizioni
a
<I>--
aX
+
Àpr=
0,r
r=1,2, .. ,n
dalle quali, eliminando À, otteniamo il sistema di n-l equazioni
LEZIONE III - LA DISTRIBUZIONE DEL REDDITO FRA I V ARI CONSUMI 23
Si dimostra (*) che sotto certe condizioni, che sostanzialmente
riproducono quelle indicate nella Lezione II nei confronti della
curvatura del colle della ofelimità, il sistema formato dalle
equa-zioni [2] e [3] amLUette in generale una ed una sola soluzione:
determina quindi in modo univoco le incognite Xl' Xe , •• , Xn•
Senza dilungarci a dare la dimostrazione di questo teorema
generale, mostriamone la validità nel caso particolare che la
funzione et> assuma la forma
A essendo una costante positiva; [LI, [L. , .• ) [Ln essendo pure
costanti positive, la cui somma è inferiore all'unità.
Abbiamo
log et> = log A
+
L f-lr log Xre quindi le [3J dànno
[L.
= -- = - - -[Ln
P. x.
Oomponendo, tenendo presenti la [2], posto
[L = [LI
+
[L.+
. .
. +
[Ln ,liiegue
da cui si ottengono le formule risolutive:
[4]
XI'=(") Cfr. Disctt8sione del li8tema di equazioni che definiloollo l' eqt~ilibrio del
-... ~-~._-
-24 MECCANICA ECONOMICA
N el caso di due consumi si può dare una soluzione
geome-trica, valida in generale, qualunque sia la funzione indice della ofelimità.
!I
o
Fig. 4.
Dette x, y le quantità consumate; p, q corrispondenti prezzi, la equazione del pareggio del bilancio è
[5] px
+
qy=
Re rappresenta nel piano x, y una retta, s1tlla quale il soggetto è
obbligato Ct Testare.
' -
-""Iif. r,; ... ~ _ _ _ _ .LEZIONE III - LA DISTRIBUZIONE DKL REDDITO FRA I VARI CONSUMI 25
(che nella figurct 4 è indicato dalla freccia) e si arresterà quindi
al punto Q, in cui la retta stessa è tangente ad una linea di
i n di fIerenza.
Riferendoci alla rappresentazione paretiana del colle
del-l'ofelimità nello spazio x, y,~, l'intersezione di questo colle col piano di equazione [5], individua una linea che rappresenta il
sentiero seguito; il punto più elevato su questo sentiero
corri-sponde al massimo di ofelimità e rappresenta quindi la posi
-zione di equilibrio.
3. IL PRINOIPIO MARGINALE. - In generale le equazioni [3]
sono espressione del principio marginale, nel sensO che esse esprimono che nella configurazione di equilibrio i tassi delle ofeUm:ità marginctli sono propor~ionali (ti l)re~zi. Siffatta propor-zionalità indica che, se dX1 , dX2 , • • ,dxll sono quan tità delle
sin-gole merci, tali, che ai prezzi dati si abbia
segue Pl dX1
=
P. clx.= ...
= Pn
dXn ò<J> ò<J> - -dX1 = - - dx. ÒXl ÒX. ò<J> = -òX dx. lI 11Il che significa che ciascuno allarga o restringe i diversi con-sumi fino al punto in cui l'~(lti1no soldo impiegato a compl'are
le singole merci rechi sempre la stessa ofelimità.
Si afferma la stessa cosa dicendo che le cose si pagano in
ragione della ofelimità marginale e non già in ragione della
ofelimità totale. E ciò spiega come merci di lusso che hanno
bassa ofelimità totale sono pagate più di quanto lo sieno merci
di prima necessità che hanno alta ofelimità totale.
Il principio marginale si può esprimere in una terza forma
dicendo che successive unità della stessa merce costano sempre
26 MEOOANICA EOONOMICA
tutte le particelle precedenti sussiste un di vario fra
soddisfa-zione e pena nel senso che la prima supera la seconda: la
somma di tutti questi divari costituisce un' utilità, che dicesi rendita del oonSUnuttM-e. Essa è maggiore per le merci eli prima
o
o
Fig. 5.
neeessità, come è evidente dalla fig~~ra 5, nella quale le aree T
rappresentano appunto quale è nei due casi la rendita del
con-sumatore.
4. LE EQUAZIONI DELLA DOMANDA. - Ritorniamo al sistema
generale delle eq nazioni dell'equilibrio del consumatore, cioè al
sistema formato dalle equazioni [2] e [3]. Supponiamo che
que-sto sistema sia risoluto rispetto alle incognite Xl , X • ••• ,xn e
supponiamo che nelle formule risolutive i prezzi sieno
para-metri indeterminati. Otteniamo allora un sistema della forma
Xl
=
Xl (Pl , 1). , ... , Pn)[6] X.
