Registro delle lezioni del corso di GEOMETRIA Ingegneria Meccanica A-L
Anno accademico 2013-14
24-09 Nozioni preliminari. Quantificatori e connettivi logici. Operazioni fra insiemi. Relazioni e funzioni. Struttura algebrica di gruppo.
25-09 Struttura algebrica di campo. Definizione di spazio vettoriale. Modelli di spazi vettoriali: lo spazio dei vettori liberi, lo spazio delle n-uple a coefficienti in un campo.
26-09 Lo spazio delle matrici. Esercizi. Definizione di sottospazio vettoriale. Esercizi ed esempi.
1-10 Sottospazio intersezione. Sottospazio vettoriale generato da un insieme. Insiemi di generatori. Sottospazio vettoriale somma.
2-10 Lineare dipendenza e indipendenza. Definizione di base. Teorema della base.
3-10 Teorema del completamento di base. Dimensione di uno spazio vettoriale. Teorema della dimensione. Dimensione e basi degli spazi vettoriali modello. Formula di Grassmann.
8-10 Basi ordinate e n-uple delle componenti di un vettore. Matrici. Prodotto riga per colonna e sue proprietà
9-10 Trasposizione di matrici e sue proprietà. Matrici invertibili. Matrice inversa e sue proprietà.
Gruppo generale lineare.
10-10 Definizione di determinante di una matrice. Permutazioni, loro orbite, rango e segno.
15-10 Proprietà del determinante. Esempi. Calcolo del determinante di una matrice mediante riduzione a scala.
16-10 Complemento algebrico. Teorema di Laplace. Calcolo del determinante di una matrice attraverso l'applicazione del teorema di Laplace.
17-10
Elementi dell'inversa di una matrice quadrata. Rango di una matrice e sue proprietà. Esempi.
Teoremi di Kronecker. Uso del rango per determinare la lineare dipendenza e indipendenza fra vettori
22-10
Sistemi lineari. Definizioni fondamentali: sistemi compatibili, determinati, indeterminati, impossibile. Sistemi a gradino. Algoritmo di sostituzione all'indietro e in avanti per sistemi a gradino. Primo metodo risolutivo dei sistemi lineari (riduzione ad un sistema a gradino).
23-10 Sistemi di Cramer. Teorema di Rouchè-Capelli. Secondo metodo dirisoluzione dei sistemi lineari.
24-10 Esempio di risoluzione di un sistema lineare dipendente da parametro. Applicazioni lineari.
Definizione, esempi, proprietà.
29-10
Dimostrazione delle proprietà di un'applicazione lineare. Nucleo ed immagine di un'applicazione lineare e loro relazione con le proprietà dell'applicazione. Teorema sull'iniettività di un'applicazione lineare.
30-10 Matrice associata ad una applicazione lineare rispetto ad una coppia di basi. Cambiamenti di base. Trasformazioni delle coordinate.
31-10 Relazione fra le matrici associate ad una stessa applicazione lineare. Rango di una applicazione lineare. Matrici simili.
5-11 Esercizi ed esempi sul problema di associare una matrice ad una applicazione lineare foirnita attraverso le equazioni e viceversa. Prodotto scalare. Norma.
6-11 Proprietà della norma. Angolo fra vettori. Ortogonalità. Vettori ortogonali, vettori paralleli.
Teorema di Carnot. Complemento ortogonale.
7-11 Ortonormalità. Esistenza di basi ortonormali. Procedimento di ortonormalizzazione di Gram- Schimdt. Esercizi ed esempi. Matrice associata ad un prodotto scalare.
12-11 Prodotto vettoriale, prodotto misto e loro interpretazioni geometriche. Definizione di autovalore, autovettore ed autospazio.
13-11
Polinomio caratteristico. Caratterizzazione degli autovalori come radici del polinomio
caratteristico. Molteplicità algebrica e molteplicità geometrica di un autovalore. Relazione fra molteplicità algebrica e molteplicità geometrica di un autovalore.
14-11 Diagonalizzazione di matrici ed endomorfismi. Base spettrale, matrici diagonalizzabili per similitudine. Criteri di diagonalizzabilità. Definizione di endomorfismo simmetrico.
19-11 Caratterizzazione degli endomorfismi simmetrici e loro matrici associate rispetto a basi ortonormali. Teorema spettrale e sue applicazioni.
20-11 Il piano euclideo reale. Sistemi di riferimento e cambiamenti di coordinate. Equazione vettoriale e parametrica della retta.
21-11
Equazione frazionaria ed equazione cartesiana della retta. Vettore direttore, coefficienti direttori e giacitura della retta. Posizioni reciproche fra rette. Parallelismo e perpendicolarità fra rette.
26-11 Distanza fra punti nel piano. Distanza fra un punto ed una retta e fra rette. Applicazioni:
bisettrici di due rette, area di un triangolo, circonferenza.
28-11
Coniche del piano euclideo. Descrizione delle coniche come luoghi geometrici.
Classificazione delle coniche a meno di isometrie. Centro di una coniche. Classificazione delle coniche degeneri. Equazioni canoniche.
3-12 Lo spazio euclideo. Riferimenti cartesiani e cambiamenti di coordinate. Piani dello spazio euclideo. Vettore direttore di un piano e sua interpretazione geometrica. Giacitura di un piano.
4-12 Posizioni reciproche fra piani. Rette dello spazio euclideo. Vettori direttori e giacitura di una retta.
5-12
Posizioni reciproche fra una retta e un piano e fra due rette dello spazio. Definizione di rette sghembe. Condizioni di parallelismo e perpendicolarità fra due piani, fra un piano e una retta e fra due rette dello spazio. Esercizi ed esempi.
9-12
Parallelismo e perpendicolarità fra due piani, fra una retta e un piano e fra due rette nello spazio euclideo. Distanze: distanza fra due punti, fra un punto ed un piano, fra un punto e una retta e fra due rette dello spazio euclideo.
10-12 Esercitazione sullo spazio euclideo.
11-12 Esercitazione di riepilogo. Svolgimento collettivo di una prova d'esame.
12-12 Esercitazione di riepilogo. Svolgimento collettivo di una prova d'esame.
