Università degli Studi di Siena
Dipartimento di Economia Politica e Statistica
Prova scritta di Matematica Generale (A.A. 12-13) 10 giugno 2013
Compito
") Da e disgiunti deriva œ g da cui $ Ð Ñ œ ÐgÑ œ g $ . É quindi sufficiente trovare due insiemi disgiunti con $ Ð Ñ œ g e questo si verifica se e solo se œ‘ da cui œ Ð ÑV con insieme qualsiasi non vuoto.
#) Basta scegliere 1ÐBÑ œ !ß aB; infatti in questo caso risulta:
1Ð0 ÐBÑ 1ÐBÑÑ œ 1Ð0 ÐBÑÑ œ 1Ð#B "Ñ œ !ß aB 0 Ð1ÐBÑÑ œ 0 Ð!Ñ œ ". .
$) Riflessiva: aB −‘, lBl † lBl Ÿ B † B? Vero, infatti risulta lBl † lBl œ B œ B † B# . Simmetrica : aÐBß CÑ −‘#, lBl † lCl Ÿ B † C Ê lCl † lBl Ÿ C † B? Vero, banale per la commutatività del prodotto.
Antisimmetrica: aÐBß CÑ −‘#, lBl † lCl Ÿ B † C lCl † lBl Ÿ C † BÑ Ê B œ C e ? Falso, controesempio B œ ! C œ " e .
Transitiva: aÐBß Cß DÑ −‘$, ÐlBl † lCl Ÿ B † C e
lCl † lDl Ÿ C † DÑ Ê ÐlBl † lDl Ÿ B † DÑ? Falso, controesempio B œ " C œ !, e D œ ".
Completa: aÐBß CÑ −‘#, ÐlBl † lCl Ÿ B † CÑ o ÐlCl † lBl Ÿ C † BÑ o ÐB œ CÑ? Falso, controesempio B œ " C œ " e .
% =/8 B =/8B œ =/8BÐ=/8B "Ñ œ " † Ð! "Ñ œ "
B B
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Segno: /#B / # ! Í Ð/ #ÑÐ/ "Ñ ! Ê / # ! Ê B B B B B log#, funzione positiva in Ólog#ß _Ò, negativa in Ó _ßlog#Ò.
Intersezioni: œB œ ! œB œ ! œ .
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È log Œ # $ È log .
Università degli Studi di Siena
Dipartimento di Economia Politica e Statistica
Prova scritta di Matematica Generale (A.A. 12-13) 10 giugno 2013
Compito
") Da e disgiunti deriva œ g da cui W Ð Ñ œ WÐgÑ œ g. É quindi sufficiente trovare due insiemi disgiunti con W Ð Ñ œ g e questo si verifica se e solo se e sono due insiemi privi di punti di accumulazione, ad esempio due insiemi finiti disgiunti.
#) Basta scegliere 1ÐBÑ œ "ß aB; infatti in questo caso risulta:
1Ð1ÐBÑ 0 ÐBÑÑ œ 1Ð" 0 ÐBÑÑ œ 1ÐB "Ñ œ "ß aB 0 Ð1ÐBÑÑ œ 0 Ð"Ñ œ ". .
$) Riflessiva: aB −‘, lBl † lBl B † B? Falso, controesempio B œ !.
Simmetrica : aÐBß CÑ −‘#, lBl † lCl B † C Ê lCl † lBl C † B? Vero, banale per la commutatività del prodotto.
Antisimmetrica: aÐBß CÑ −‘#, lBl † lCl B † C lCl † lBl C † BÑ Ê B œ C e ? Falso, controesempio B œ " C œ " e .
Transitiva: aÐBß Cß DÑ −‘$, ÐlBl † lCl B † C e
lCl † lDl C † DÑ Ê ÐlBl † lDl B † DÑ? Falso, controesempio B œ " C œ ", e D œ ".
Completa: aÐBß CÑ −‘#, ÐlBl † lCl B † CÑ o ÐlCl † lBl C † BÑ o ÐB œ CÑ? Falso, controesempio B œ " C œ # e .
% =/8ÐB =/8BÑ œ =/8ÐB =/8BÑÐ" =/8BÑ œ " † Ð" "Ñ œ !
B B =/8B B
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637 637
B Ä " B Ä "
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& GÞIÞ œ) ‘.
Segno: /#B / # ! Í Ð/ #ÑÐ/ "Ñ ! Ê / " ! Ê B !B B B B , funzione positiva in Ó!ß _Ò, negativa in Ó _ß !Ò.
Intersezioni: œB œ ! œB œ ! œ .
C œ / / # Ê C œ / / # Ê B œ ! C œ !
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B œ _ B œ 9Ð/ Ñ B Ä _
#B B
perché B per . La funzione
presenta asintoto orizzontale sinistro di equazione C œ #. Crescenza e decrescenza: C œ /w #B† # / œ / Ð#/ " ÑB B B .
/ Ð#/ " Ñ !ß aB −B B ‘ perché prodotto di due quantità positive. Funzione strettamente crescente.
Concavità e convessità: C œ /ww #B† % / œ / Ð%/ " ÑB B B .
/ Ð%/ " Ñ !ß aB −B B ‘ perché prodotto di due quantità positive. Funzione strettamente convessa.
Grafico:
') ( BÐ/ #Ñ .B œ ( ÐB/ #BÑ .B œ / B ‘ œ
! !
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B B "
# B # "
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# # #
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7) L'operazione Œ † non è corretta perché Œ ha un numero di colonne diverso dal
numero di righe di . X †Œœ ! ! " † œ ' " ;
! # " ' "
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8) 0 œ " † $B C œ $B C ;
B C C D B C C D
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B C C D # C D B C C D # C D
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