Exercice II-3 : Linéarisation avec vitesse de rotation importante

Exercices de cours du chapitre II : Mise en équations

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Exercice II-3 : Linéarisation avec vitesse de rotation importante

Considérons un disque D tournant à une vitesse angulaire constante

ω

(arbre du rotor). Une des ailettes de la turbine est modélisée par une tige T de masse m de longueur 2a. Elle est ramenée vers sa position initiale par un ressort de torsion de raideur C (élasticité de la liaison).

Déterminez l’équation des petits mouvements de la tige.

O

G

x

_o

g G

D

G ω y

_o

θ

T c

G x

₂

x G

₁

Corrigé de l’exercice II-3 :

Mise en équations :

Paramètre, la rotation

θ

(mouvements relatifs de T/D) Î

δ T

_L

= 0

2( ) . ( , )

2 Ec = mV G

_o G

+

Ω^Got J G T Ω^Got

avec V GG_o( ) (=R yωG₁+aω θ+ )yG₂ et ot^{. ( , )J G T} ot

₃

²

( )

²

ma ω θ

Ω^G Ω^G

= + 

D’où

² (

^{2 2 2}

^{( )}

²

^{2 ( ) cos} )

²

^{( )}

²

3

Ec = m R ω + a ω θ +  + aR ω ω θ +  θ + ma ω θ + 

( )

2

(

0

) cos cos( )

2

Ep = C θ θ − − mg R ω t + a ω θ t + + Cte

D

0

δ T =

Pas d’autre effort donné

Équation de Lagrange

4

2

( ) cos

3 Ec ma

ω θ maR ω θ θ

∂ = + +

∂ 



^et

Ec ( ) sin

maR ω ω θ θ θ

∂ = − +

∂ 

D’où

2

4

2

sin sin( ) 0

3

ma θ  + maR ω θ + C θ + mga ω θ t + =

Soit

⁴

^{2 2}

^sin ( ^{sin cos cos sin} ) ⁰

3

ma θ  + maR ω θ + C θ + mga ω t θ + ω t θ =

Linéarisation pour

θ

petit Î

⁴

²

(

²

^cos ) ^sin

3

ma θ  + maR ω + + C mga ω θ t = − mga ω t

Solution plus rapide :

on effectue directement le Développement sur les énergies

2 2

4 2

2 ( ) 2 ( ) 1

3 2

Ec≅ ma

ω θ

+ + maR

ω ω θ

+ ^⎛⎜ −

θ

^⎞⎟+Cte

⎝ ⎠

 

2

2 2 2

2 4 ( ) 2

3

Ec ≅ ma ω θ +  + maR ωθ  − maR ω θ + Cte

2 Ep = C θ

2

− 2 mga cos( ω θ t + ) + f t ( )

Ressort non contraint pour θ=0

Î

θ

₀ =0.

sin(a b+ =) sin cosa b+cos sina b

cos(a b+ =) cos cosa b−sin sina b

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2 Ep ≅ ( C + mga cos ω θ t )

2

+ 2 mga θ sin ω t + f t ( )

Lagrange (on retrouve) :

⁴

²

(

²

^cos ) ^sin

3

ma θ  + maR ω + + C mga ω θ = − mga ω t

Pour obtenir une équation différentielle à coefficient constant il faut supposer que

mga << + C maR ω

²

Cette hypothèse revient à considérer que la vitesse de rotation est importante :

ω

²

>> g R /

L’équation des petits mouvements est alors :

⁴

²

(

²

) ^sin

3

ma θ  + maR ω + C θ = − mga ω t