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Thème : Développement limité de l’énergie de déformation d’un ressort précontraint dans le cadre de l’hypothèse des petits mouvements. Influence sur les vibrations du système mécanique.

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Academic year: 2021

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Vibrations des systèmes mécaniques Exercices d’application : Mise en équations

Exercice MEC-1 : Précontraintes dans un ressort

Thème : Développement limité de l’énergie de déformation d’un ressort précontraint dans le cadre de l’hypothèse des petits mouvements. Influence sur les vibrations du système mécanique.

Soit un ressort linéaire de raideur k , de longueur à vide A

o

. Le déplacement relatif de l’extrémité est défini par rapport à une position d’équilibre du système mécanique, la longueur du ressort à l’équilibre est A

e

.

u G

u v

A

e

Pour des déplacements plan ( , ) u v , supposés du premier ordre, montrez que l’expression de l’énergie de déformation développée jusqu’au deuxième ordre, est de la forme :

E

p

k

e

u

e

u

e

v

e

= ⎡ − + + − + −

⎣ ⎢ ⎤

⎦ ⎥ 1

2 (

0

)

2 2

2 (

0

) (

0

)

2

A A A A A A

A Application

Considérons une plaque carrée de masse m de coté a . Cette plaque articulée en O, est reliée au bâtit par deux ressorts identiques de raideur k et de longueur à vide A

o

. A l’équilibre, dans le champ de pesanteur, la plaque est horizontale et le ressort k

1

n’est pas contraint.

Écrivez l’équation des petits mouvements par rapport à l’équilibre.

y G

o

O G

x

o

k

1

k

2

P

g G

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