Esercizi sugli insiemi
Esercizio 1. Rappresentare per elencazione i seguenti insiemi e, nel caso in cui siano niti, rappresentarli attraverso i diagrammi di Eulero-Venn:
1. L'insieme delle vocali della parola geometria.
2. L'insieme dei divisori di 30.
3. L'insieme dei numeri pari minori o uguali a 15.
4. L'insieme dei multipli di 5 maggiori di 10 e minori di 40.
5. L'insieme dei numeri primi minori di 25.
Suggerimento: studiare le lezioni 1 e 2. Ripassare le de nizioni di divisore, multiplo e numero primo.
Esercizio 2. Rappresentare i seguenti insiemi precisando la proprietà che caratterizza tutti i loro elementi e, nel caso in cui siano niti, rappresentarli attraverso i diagrammi di Eulero-Venn:
1. L'insieme dei divisori di 25.
2. L'insieme dei numeri naturali maggiori o uguali a 20.
3. L'insieme dei numeri naturali maggiori di 3 e minori di 10.
4. L'insieme dei numeri razionali minori o uguali a 3.
5. L'insieme dei numeri reali che, elevati al quadrato, sono minori o uguali a 25.
6. L'insieme dei numeri pari.
7. L'insieme dei numeri dispari.
Suggerimento: studiare le lezioni 1 e 2.
Esercizio 3. Indicare se ciascuno dei seguenti numeri appartiene o non appartiene agli insiemi numerici N, Z, Q, R e ordinare i numeri nella retta reale:
5 8
4 − 0, 1 √
2 − 85 1, ¯5 0
10 − 3
10 2 0
√ 5
Suggerimento: studiare la lezione 2. Attenzione: alcune espressioni potrebbero non avere signi - cato.
Esercizio 4. Indicare se ciascuno dei seguenti numeri appartiene o non appartiene agli insiemi numerici N, Z, Q, R e ordinare i numeri nella retta reale:
9 − 0, 9 π − 28 0
21
√
9 10
5 −2
7 3, ¯8 √
−3 0 3
0 Suggerimento: studiare la lezione 2. Attenzione: alcune espressioni potrebbero non avere signi - cato.
Esercizio 5. Siano A = {−3, −1, 1, 3} e B = {±1, ±2, ±3}. Dire se ciascuna delle seguenti aermazioni è vera o falsa e motivare la risposta.
1. A è un sottoinsieme di B.
2. B è un sottoinsieme di A.
3. A ∩ B 6= ∅.
4. B ∪ A = ∅.
5. A ⊆ B.
6. B \ A = ¯A.
Suggerimento: studiare le lezioni 1 e 2. Se si hanno di coltà rappresentare gli insiemi attraverso i diagrammi di Eulero-Venn.
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Esercizio 6. Dire se ciascuna delle seguenti aermazioni è vera o falsa e motivare la risposta.
1. N 6⊂ Z 2. N ⊂ Q.
3. Z ∩ Q = Z.
4. Z ∪ Q = R.
5. Se A ∩ B = A, allora A è un sottoinsieme di B.
6. A ∪ B = A ⇒ A ⊆ B.
7. A ⊂ B ⇒ A \ B = ∅.
Suggerimento: studiare le lezioni 1 e 2.
Esercizio 7. Scrivere ciascuna coppia di insiemi come intervalli e determinare A ∪ B, A ∩ B, A \ B, B \ A, A,¯ B,¯
1. A = {x ∈ R|0 ≤ x ≤ 10} e B = {x ∈ R|1 ≤ x ≤ 3}.
2. A = {x ∈ R| − 0.77 ≤ x < 10} e B = {x ∈ R| − 0.7 ≤ x ≤ 20}.
3. A = {x ∈ R| − 3 ≤ x < 13} e B = {x ∈ R| − 3.1 < x < 0.3}.
4. A = {x ∈ R|2.¯2 < x ≤ −105} e B = {x ∈ R| − 1.9 < x ≤ 2.2}.
5. A = {x ∈ R| − 73≤ x ≤ −56} e B = {x ∈ R|0.5 < x ≤ 0.54}.
Suggerimento: studiare le lezioni 1 e 2. Scrivere ciascuna coppia di insiemi come intervallo, prestando attenzione agli estremi (se c'è l'uguaglianza sono inclusi e si indicano con una parentesi quadra, se c'è il minore o il maggiore stretto sono esclusi e si indicano con una parentesi tonda).
Rappresentare gli intervalli sulla retta per calcolare con più facilità le operazioni richieste.
Esercizio 8. Scrivere ciascuna coppia di intervalli come insiemi e determinare A ∪ B, A ∩ B, A \ B, B \ A, A,¯ B,¯
1. A = (0, 3) e B = [0, 4].
2. (−13, 2] e B = (−14,√ 2). 3. A = [0.11,1011)e B = [0.1,109].
4. A = [−1.01, −0, 2] e B = (−1.1, −0.21).
5. (−9.9, −9.81) e B = (−9.¯9, −9.8).
Suggerimento: studiare le lezioni 1 e 2. Scrivere gli insiemi utilizzando la proprietà che caratterizza tutti gli elementi. Rappresentare gli intervalli sulla retta per calcolare con più facilità le operazioni richieste.
Esercizio 9. Utilizzando i diagrammi di Eulero-Venn stabilisci se, per tre qualsiasi insiemi A, B e C, sono vere le seguenti uguaglianze:
1. A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ C.
2. A \ (B ∪ C) = (A \ B) ∩ (A \ C).
3. A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ C.
4. (A \ B) \ C = A \ (B \ C).
5. A \ (B ∩ C) = (A \ B) ∪ (A \ C).
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Suggerimento: studiare le lezioni 1 e 2. Per stabilire se l'uguaglianza è vera disegnare tre insiemi A, B e C e colorare le parti rappresentate dall'operazione del primo membro dell'uguaglianza. Ri- petere lo stesso per il secondo membro dell'uguaglianza. L'uguaglianza sarà vera se le parti colorate sono le medesime.
Esercizio 10. Trova un opportuno controesempio per dimostrare che A ∩ B = A ∩ C non implica necessariamente B = C.
Esercizio 11. Qual è la dierenza fra insieme complementare e dierenza insiemistica?
Esercizio 12. Perché un numero razionale può essere sempre scritto come rapporto di due numeri non entrambi pari?
Esercizio 13. Dimostrare che
1. la somma di due numeri pari è un numero pari;
2. la somma di due numeri dispari è un numero pari;
3. la somma di un numero pari e uno dispari è un numero dispari.
Esercizio 14. Riscrivi le seguenti espressioni in modo da far comparire potenze aventi tutte la stessa base, poi sempli ca applicando le proprietà delle potenze e calcola la potenza nale:
532
· 252: 510 432
· 162: 410
Esercizio 15. Risolvi la seguente espressione:
42: 8 + 2 · 3 + 100 : 10 + 23+ 03− 22+ 7 · 0 Esercizio 16. Risolvi le seguenti espressioni:
h68: 31· 216i
−nh 432
: 252i
· 23o
− 24· 520
34· 520
+h
88: 41· 216i
−nh 272
: 423i
· 23o
Esercizio 17. I lati di un triangolo misurano 217 cm, 85 cm e 164 cm. Qual è il lato più lungo del triangolo? E quello più corto?
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