Esercizi svolti
Insiemi di esistenza
Prof. Chirizzi Marco
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1) Trovare l’insieme di esistenza della funzione:
1 5 12 ) (x =x3 − x2 + x− f
Siccome le operazioni da eseguire sulla variabile x sono sempre possibili, l’insieme di definizione della funzione data è costituito da tutti i numeri reali, quindi possiamo scrivere:
I =
]
−∞, +∞[
2) Trovare l’insieme di esistenza della funzione:
4 )
(x = x− f
Affinché questa funzione sia definita nell’insieme dei numeri reali, la funzione radicanda, cioè la quantità x−4, deve essere positiva o nulla, quindi bisogna imporre la seguente condizione:
0 4≥
−
x
che è soddisfatta per x≥4. In definitiva, l’insieme di esistenza della funzione data è:
[
+∞[
= 4,I
N.B.
La funzione radice ad indice pari è definita nell’insieme dei numeri reali, se la funzione radicanda è positiva o nulla; mentre la funzione radice ad indice dispari è definita in tutto l’insieme dei numeri reali.
3) Trovare l’insieme di esistenza della funzione:
5 3 14 6 ) (x = x + x− f
Questa funzione è definita in tutto l’insieme dei numeri reali, in quanto l’indice della radice è dispari e la funzione radicanda è una funzione razionale intera.
4) Trovare l’insieme di esistenza della funzione: 3 1 5 ) ( 2 − + − = x x x x f
Questa funzione è definita per ogni valore di x che non annulli il denominatore, per cui bisogna imporre la seguente condizione:
0 3≠ − x da cui si ricava: 3 ≠ x
quindi, possiamo scrivere:
]
−∞[ ]
∪ +∞[
= , 3 3,
I
5) Trovare l’insieme di esistenza della funzione:
5 ) ( + = x x x f
Ricordiamo che l’estrazione di radice ad indice pari è possibile solo quando il radicando è positivo o nullo, quindi dobbiamo imporre la seguente disequazione fratta:
0 5≥
+
x x
le cui soluzioni sono:
0
5 ≥
− < e x x
In definitiva, l’insieme di definizione della funzione data è:
]
−∞ −[ [
∪ +∞[
= , 5 0,
I
6) Trovare l’insieme di esistenza della funzione:
) 2 ( log ) (x = x+ f
Ricordiamo che il logaritmo, qualunque sia la base positiva e diversa da uno, esiste soltanto quando l’argomento è positivo, di conseguenza bisogna imporre la seguente disequazione:
0 2>
+
x
L’insieme di definizione della funzione data è:
]
− +∞[
= 2,I
7) Trovare l’insieme di definizione della funzione:
2 2 2 25 ) 12 ( ) 3 2 ( log ) ( x x x x x x f − − − − − =
Dobbiamo attribuire alla variabile x valori soddisfacenti alle seguenti condizioni:
> − − > − ≠ − − 0 3 2 0 25 0 12 2 2 2 x x x x x
Risolvendo il sistema di disequazioni, possiamo dire che l’insieme di esistenza della funzione è costituito dall’unione dei seguenti intervalli aperti:
]
−5, −3[ ]
∪ −3, −1[ ]
∪ 3, 4[ ]
∪ 4, 5[
=I
8) Trovare l’insieme di esistenza della funzione:
) 3 ( log ) (x = 10 x− f
Dobbiamo imporre la seguente condizione:
0 ) 3 (
log10 x− ≥
Questa disequazione si risolve come segue:
0 ) 3 (
log10 x− ≥ ⇔ x−3≥1 ⇔ x≥4 In definitiva, l’insieme di esistenza della funzione è:
[
+∞[
= 4,I
9) Trovare l’insieme di esistenza della funzione:
x x
x
f( )= −2+ 3−
La funzione è definita per tutti i valori di x che soddisfano al seguente sistema di disequazioni:
≥ − ≥ − 0 3 0 2 x x
che risolvendo si ha: 3 2≤x≤ L’insieme di definizione è:
[
2, 3]
= I10) Trovare l’insieme di esistenza della funzione:
x x x x
f( )= 3 −4 2 +3 E’ opportuno che questa funzione venga scritta nella seguente forma:
) 3 4 ( ) (x = x x2 − x+ f
Dobbiamo imporre che la funzione radicanda sia positiva o nulla:
0 ) 3 4 (x2 − x+ ≥ x dove : 3 1 0 4 4 2 − + ≥ ⇔ ≤ ≥ x e x x x
Intersecando queste soluzioni con la soluzione x≥0, si ricava l’unione dei seguenti intervalli:
