1. Capacità portante delle fondazioni

(1)

1. Capacità portante delle fondazioni

1.1. Formula generale della capacità portante in condizioni NON DRENATE

(

²

)

^c ^s ⁱ ^D

q_ult_,_B= +π ⋅ _u⋅ _c_,_B⋅_c_,_B+γ₁⋅

(

²

)

^c ^s ⁱ ^D

q_ult_,_L = +π ⋅ _u⋅ _c_,_L⋅_c_,_L+γ₁⋅ 1.1.1. Eccentricità del carico:

Flessione con rotazione attorno a x: B*=B−2⋅e_y Flessione con rotazione attorno a y: L*=L−2⋅e_x 1.1.2. Fattori di forma della fondazione:

⋅ +

=

⋅ +

=

* B

* 2 L . 0 1 s

* L

* 2 B . 0 1 s

L , c B , c

fondazioni rettangolari

20 . 1 s

s_c_,_B= _c_,_L = fondazioni quadrate e circolari

1.1.3. Fattore di inclinazione del carico:

Considerando una forza orizzontale H si determina il fattore di inclinazione come segue:

⋅

− ⋅ +

⋅

=

u B y

,

c B*L*c

1 H 1 5 . 0 i

⋅

− ⋅ +

⋅

=

u L x

,

c B*L*c

1 H 1 5 . 0 i

L* B*

D

L

B γ

¹

γ

²

2e

^y

2e

x

y x

(2)

1.2. Formula generale della capacità portante in condizioni DRENATE

B , B , 2

B , q B , q q 1 B , c B , c c B

,

ult B*N s i

2 i 1 s N D i

s N c

q = ⋅′ ⋅ ⋅ +γ′⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅γ′⋅ ⋅ _γ⋅ _γ ⋅ _γ

L , L , 2

L , q L , q q 1 L , c L , c c L ,

ult B*N s i

2 i 1 s N D i

s N c

q = ⋅′ ⋅ ⋅ +γ′⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅γ′ ⋅ ⋅ _γ⋅ _γ ⋅ _γ

1.2.1. Fattori di capacità portante:

L’angolo di attrito φ′ si riferisce al terreno s cui è appoggiata la fondazione:

( )⋅ +φ′

= ^π^⋅ ^φ

45 2 tan e

N_q ^tan ²

(

⁻

)

^⋅

( )

^φ′

= N 1 cot N_c _q

(

⁻

)

^⋅

( )

^φ′

⋅

γ =2 N 1 tan

N _q vale se la base è ruvida:

2

≥φ′

δ

1.2.2. Fattori di forma della fondazione:

( ) ( )

^φ′

⋅ +

=

φ′

⋅ +

=

* sin B

* 1 L s

* sin L

* 1 B s

L , q B , q

( )

^φ′

+

=

=s 1 sin

s_q_,_B _q_,_L fondazioni quadrate e circolari

⋅

−

=

⋅

−

=

γ γ

* B

* 3 L . 0 1 s

* L

* 3 B . 0 1 s

L ,

B ,

70 . 0 s

s_γ_,_B = _γ_,_L= fondazioni quadrate e circolari

−

= ⋅

−

= ⋅

1 N

1 N s s

1 N

1 N s s

q q L , q L , c

q q B , B q , c

forma qualsiasi della fondazione

1.2.3. Fattori di inclinazione del carico:

( ) ( )

−

= ⋅

φ′

⋅′

⋅

− +

=

φ′

⋅′

⋅

⋅ +

− ⋅

=

γ

1 N

1 N i i

cot c

* L

* B V 1 H i

cot c

* L

* B V

H 7 . 1 0

i

q q B , B q , c

3 B y

,

3 y

B , q

( ) ( )

−

= ⋅

φ′

⋅′

⋅

− +

=

φ′

⋅′

⋅

− +

=

γ

1 N

1 N i i

cot c

* L

* B V 1 H i

cot c

* L

* B V 1 H i

q q L , q L , c L x ,

L x , q

(3)

2. Esempi di calcolo della capacità portante - Metodo di Hansen

2.1. Fondazione con carico eccentrico

L=1.50 B=1.50

D=1.80

y

x N

My Mx

Dati di progetto:

Forza normale di progetto: N=500 [kN]

Momento flettente attorno a x: M_x =100 [kNm]

Momento flettente attorno a y: M_y=50 ^[kNm]

Caratteristiche geotecniche del terreno:

Peso specifico del terreno: γ=18 [kN/m³]

Angolo di attrito: φ=30 [°]

Coesione: c=10 [kPa]

Determinazione dell’area efficace della fondazione:

Eccentricità della forza normale in direzione y: 0.20 500 100 N

e_y=M^x = = [m]

Eccentricità della forza normale in direzione x: 0.10 500

50 N

e_x =M^y = = [m]

La sezione del plinto che effettivamente reagisce in condizione di collasso si determina nel seguente modo:

Larghezza effettiva della fondazione: B*=B−2⋅e_y =1.50−2⋅0.2=1.10 [m]

Lunghezza effettiva della fondazione: L*=L−2⋅e_x =1.50−2⋅0.1=1.30 [m]

Le espressioni dell’area reagente effettiva si determina imponendo l’equilibrio alla traslazione e alla rotazione, e considerando una distribuzione delle tensioni sul terreno costanti:

Eq. Traslazione: N=B*⋅L⋅σ →

L

* B

N

= ⋅ σ Eq. Rotazione:

2

* L B

* B 2 e

N⋅ B− =σ⋅ ⋅ ⋅

Sostituendo si ottiene: e B 2 e

2 2 B

*

B = ⋅ − = − ⋅

Essendo L*>B* la capacità portante si calcola ancora rispetto a B*.

L B*

e B/2

N

σ

(4)

Determinazione dei fattori di capacità portante:

( ) 18.40

2 45 30 tan 2 e

45 tan e

N_q= ^π^⋅^tan^φ⋅ ² +φ = ^π^⋅^tan³⁰ ⋅ ² + =

(

^N ¹

)

^cot

(

¹⁸^.⁴⁰ ¹

)

^cot

( )

³⁰ ³⁰^.¹³

N_c= _q− ⋅ φ= − ⋅ =

(

^N ¹

)

^tan ¹^.⁵

(

¹⁸^.⁴⁰ ¹

)

^tan

( )

³⁰ ¹⁵^.¹⁰

5 . 1

N_γ= ⋅ _q− ⋅ φ= ⋅ − ⋅ =

Determinazione dei fattori di forma:

52 . 30 1 . 1

10 . 1 13 . 30

40 . 1 18

* L

* B N 1 N s

c

c= + q⋅ = + ⋅ =

( )

³⁰ ¹^.⁴⁹

30 tan . 1

10 . 1 1

* tan L

* 1 B

s_q= + ⋅ φ= + ⋅ =

66 . 30 0 . 1

10 . 4 1 . 0

* 1 L

* 4 B . 0 1

s_γ= − ⋅ = − ⋅ =

Determinazione dei fattori di profondità:

Il fattore di profondità dipende dal rapporto DB. In tale rapporto si deve necessariamente usare il termine B e non il termine ridotto B*.

1 2 . 50 1 . 1

80 . 1 B

D= = > → 0.87

B arctan D

k= = con DB espresso in radianti 35

. 1 87 . 0 4 . 0 1 k 4 . 0 1

d_c= + ⋅ = + ⋅ =

(

¹ ^sin

)

^k ¹ ² ^tan

( )

³⁰

(

¹ ^sin

( )

³⁰

)

⁰^.⁸⁷ ¹^.²⁵

tan 2 1

d_q= + ⋅ φ⋅ − φ²⋅ = + ⋅ ⋅ − ²⋅ =

00 . 1 dγ =

Determinazione della capacità portante e del carico ultimo:

γ γ γ⋅ ⋅ ⋅

⋅ γ

⋅ +

⋅

⋅ γ +

⋅

= N B*s d

2 d 1 s N D d s N c

q_ult _c _c _c ₁ _q _q _q ₂

1827 00 . 1 66 . 0 10 . 1 10 . 15 2 18 25 1 . 1 49 . 1 40 . 18 80 . 1 18 35 . 1 52 . 1 13 . 30 10

q_ult= ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = [kPa]

2613 1827 30 . 1 10 . 1 q

* B

* L

P_ult= ⋅ ⋅ _ult= ⋅ ⋅ = [kN]

La tensione indotta dai carichi e dai momenti sul terreno può essere calcolata nel seguente modo:

3 610 350 q 10 . 1 30 . 1

500

* B

* L

N _ult

=

<

⋅ =

=

σ [kPa]

La tensione in esercizio è abbastanza alta pertanto sarebbe opportuno controllare i cedimenti della fondazione.

(5)

2.2. Fondazione inclinata con carico inclinato

D = 0.3 [m]

+η=10°

N=600[kN]

V=200[kN]

B = 2 [m] x L = 2 [m]

Dati di progetto:

Forza normale di progetto: N=600 [kN]

Forza di taglio di progetto: V=200 [kN]

Caratteristiche geotecniche del terreno:

Peso specifico del terreno: γ=17.50 [kN/m³]

Angolo di attrito: φ=25 [°]

Angolo di attrito tra terreno e struttura: δ=25 [°]

Coesione: c=c_a =25 [kPa]

Verifica di scorrimento della fondazione:

Affinché la fondazione sia verificata a scorrimento la forza di attrito che si sviluppa all’interfaccia tra terreno e struttura deve essere maggiore della forza di taglio con grado di sicurezza maggiore di 1.30:

( )

²⁵ ³⁸⁰

tan 600 2 2 25 tan N L B c

F_R= _a⋅ ⋅ + ⋅ δ= ⋅ ⋅ + ⋅ = [kN]

30 . 1 90 . 200 1 380 V . F S .

F = ^R = = >

Determinazione dei fattori di capacità portante:

( ) 10.66

2 45 25 tan 2 e

45 tan e

N_q= ^π^⋅^tan^φ⋅ ² +φ = ^π^⋅^tan²⁵ ⋅ ² + =

(

^N ¹

)

^cot

(

¹⁰^.⁶⁶ ¹

)

^cot

( )

²⁵ ²⁰^.⁷²

Nc= q− ⋅ φ= − ⋅ =

(

^N ¹

)

^tan ¹^.⁵

(

¹⁰^.⁶⁶ ¹

)

^tan

( )

²⁵ ⁶^.⁸⁰

5 . 1

N_γ= ⋅ _q− ⋅ φ= ⋅ − ⋅ =

Determinazione dei fattori di forma:

I fattori di forma s_i sono tutti assunti pari ad uno in quanto si usano in concomitanza con i fattori di inclinazione del carico.

Determinazione dei fattori di profondità

Nel calcolo dei fattori di profondità si deve sempre assumere il valore D più piccolo.

1 15 . 00 0 . 2

30 . 0 B

D= = < → 0.15

B

k= D =

06 . 1 15 . 0 4 . 0 1 k 4 . 0 1

d_c= + ⋅ = + ⋅ =

(

¹ ^sin

)

^k ¹ ² ^tan

( )

²⁵

(

¹ ^sin

( )

²⁵

)

⁰^.¹⁵ ¹^.⁰⁵

tan 2 1

d_q= + ⋅ φ⋅ − φ²⋅ = + ⋅ ⋅ − ²⋅ =

00 . 1 d_γ =

(6)

Determinazione dei fattori di inclinazione del carico:

( )

²⁵ ⁰^.⁵²

cot 25 2 2 600

200 5 . 1 0

cot c L B N

V 5 . 1 0

i

5 5 a

q =

⋅

⋅ +

− ⋅ φ =

⋅

⋅ +

− ⋅

=

47 . 1 0 66 . 10

52 . 0 52 1 . 1 0 N

i i 1 i

q q q

c =

−

− −

− =

− −

=

( )

²⁵ ⁰^.⁴⁰

cot 25 2 2 600

450 200 7 10 . 0 cot 1

c L B N

450 V 7 . 0 1 i

5 5

a

⋅ =

⋅

⋅ +

⋅

−

− φ =

⋅

⋅ +

° ⋅

− η

−

γ =

Determinazione dei fattori di inclinazione della base della fondazione:

93 . 147 0 1 10 1 147

b_c = − =

°

− η

=

( ) [ ( )]

[ ]

= η

=

= ⁻^⋅^η^⋅ ^φ ⁻^⋅ ^⋅ 175

. 0 rad

85 . 0 e

e

b_q ² ^tan ²⁰^.¹⁷⁵^tan²⁵

( ) [ ( )]

[ ]

⁼

η

=

= ⁻ ^⋅^η^⋅ ^φ ⁻ ^⋅ ^⋅

γ

175 . 0 rad

80 . 0 e

e

b ²^.⁷ ^tan ²^.⁷⁰^.¹⁷⁵^tan²⁵

Determinazione della capacità portante e del carico ultimo:

γ γ γ γ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ γ

⋅ +

⋅

⋅ γ +

⋅

= N B i b d

2 d 1 b i N D d b i N c

q_ult _c _c _c _c ₁ _q _q _q _q ₂

304 80 . 0 40 . 0 2 80 . 6 5 . 2 17 05 1 . 1 85 . 0 52 . 0 66 . 10 30 . 0 5 . 17 06 . 1 93 . 0 47 . 0 72 . 20 25

q_ult= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = [kPa]

1216 304 00 . 2 00 . 2 q B L

P_ult= ⋅ ⋅ _ult= ⋅ ⋅ = [kN]

600 3 405

1216 3

P_amm=P^ult = = <

Poiché la verifica non risulta soddisfatta è necessario aumentare la larghezza B della fondazione.

(7)

2.3. Influenza della falda sulla capacità portante

2.3.1. Falda al di sotto del cuneo di pressione della fondazione

Se la falda si trova al di sotto del cuneo di pressione della fondazione, la si può trascurare ai fini del calcolo della capacità portante.

L’altezza approssimativa del cuneo risulta: = ⋅ ⋅ +φ 45 2 tan B 5 . 0 H

2.3.2. Falda al di sopra della base della fondazione

L B

D

y x

a

( )

[

^D ^a ^a

]

^N ^s ⁱ ^b ^d ₂¹ ^N ^B ^s ⁱ ^b ^d ^a

d b i s N c

q_ult= ⋅ _c⋅ _c⋅_c⋅ _c⋅ _c+ γ₁⋅ − +γ′₁⋅ ⋅ _q⋅ _q⋅ _q⋅ _q⋅ _q+ ⋅γ′₂⋅ _γ⋅ ⋅ _γ⋅_γ⋅ _γ⋅ _γ+γ_w⋅ 2.3.3. Falda coincidente con il piano di fondazione

L B

D

y

x

γ γ γ γ

γ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ γ′

⋅ +

⋅

⋅ γ +

⋅

= N B s i b d

2 d 1 b i s N D d b i s N c

q_ult _c _c _c _c _c ₁ _q _q _q _q _q ₂

Per il calcolo delle capacità portanti su terreni stratificati si rimanda a testi specifici.