ESEMPIO DI CALCOLO DI UN TELAIO IPERSTATICO SOGGETTO AD UNA FORZA ORIZZONTALE CONCENTRATA CON IL METODO DEGLI SPOSTAMENTI
(Redattore: Dott. Ing. Simone Caffè – 27 Agosto 2008)
1
2 3
P
EIc
EIt EAt
H/2
H/2
L
Sistema “zero” a nodi fissi
Nel sistema a nodi fissi, si analizza la colonna soggetta alla forza orizzontale di intensità “P” come se fosse incernierata nel nodo “1” e perfettamente incastrata nel nodo “2”. Le caratteristiche di sollecitazione derivanti da questa configurazione risultano:
3 16PH
2
11 16P
1
5 16P
2
1
P P
MEd VEd
Sistema “uno” a nodi spostabili: - Rotazione del nodo “2”
Si impone una rotazione antioraria “ϕ” al nodo “2”, e si determinano le caratteristiche di sollecitazione che tale distorsione provoca negli elementi convergenti nel nodo:
1
2 3
ϕ
ϕ
3EIc
2
1
H ϕ
3
4EIt
L ϕ 2EIL t ϕ
2
1
3
6EIt
L2 ϕ
6EIt
L2 ϕ
3EIc
H2 ϕ
3EIc
H2 ϕ
Sistema “due” a nodi spostabili: - Traslazione orizzontale del nodo “2”
Si impone una traslazione orizzontale “∆” al nodo “2”, e si determinano le caratteristiche di sollecitazione che tale distorsione provoca negli elementi convergenti nel nodo:
1
2 2 3
∆
3EIc
2
1
H ∆
3 2
1
3
2
3EIc
H3 ∆
3EIc H3 ∆
EAt
L ∆ EALt ∆
Risoluzione del sistema :
Si costruisce il sistema a due equazioni in due incognite “ϕ” e “∆”, imponendo l’equilibrio delle forze agenti sul nodo “2” di cui sono appunto incogniti gli spostamenti. Il verso positivo del momento agente nel nodo è
“Antiorario”, mentre il verso positivo della forza orizzontale è assunto “da sinistra verso destra”:
⋅ +
=
⋅ +
=
∑
∑
i
i ik o
nodo
i
i ik o
nodo
F F
F
M M
M
δ δ
∆
⋅ ⋅
−
∆
⋅ ⋅
− ⋅
⋅ ⋅
− ⋅
⋅
=
∆
⋅ ⋅
− ⋅
⋅ ⋅
− ⋅
⋅ ⋅
− ⋅
⋅
⋅
=
L A E H
I E H
I P E
H I E H
I E L
I H E
P
t c
c
c c
t
3 2
2
3 3
16 0 11
3 3
4 16
0 3
ϕ
ϕ ϕ
Esempio pratico:
Modulo elastico Area della sezione Momento d’inerzia Dimensioni Colonna E=25000000 [kN/m2] Ac=0.42=0.16 [m2] Ic=0.44/12=0.00213 [m4] H=5.00 [m]
Trave E=25000000 [kN/m2] At=0.6ּ0.2=0.12 [m2] It=0.2ּ0.63/12=0.0036 [m4] L=10.0 [m]
Il carico “P” è stato assunto pari a 500 [kN]
Sostituendo i valori nel sistema precedente si ottengono gli spostamenti incogniti del nodo “2”:
∆
⋅
−
∆
⋅
−
⋅
−
=
∆
⋅
−
⋅
−
⋅
−
=
300000 1280
6400 75
. 343 0
6400 32000
36000 75
. 468 0
ϕ
ϕ
ϕ ⇒ [ ]
[ ]
=
∆
=
m rad 000996 .
0 0068 . ϕ 0
Determinazione dei momenti agenti sui nodi:
Nodo 1:
1 =0 M
Nodo 2 (lato colonna):
∆
⋅ ⋅
− ⋅
⋅ ⋅
− ⋅
⋅
⋅
−2 = 2
1
3 3
16 3
H I E H
I H E
P
M c ϕ c
77 . 244 37 . 6 60 . 217 75 .
2 468
1− = − − =
M
[kNm]
Il segno del momento è positivo pertanto il verso sul nodo è antiorario come da convenzione.
Nodo 2 (lato trave):
ϕ
⋅ ⋅
− ⋅
− =
L I
M 4 E t
3
2 M2−3 =−244.77 [kNm]
Il segno del momento è negativo pertanto il verso sul nodo è orario.
Nodo 3:
ϕ
⋅ ⋅
− ⋅
= L
I M 2 E t
3 M3 =−122.20 [kNm]
Il segno del momento è negativo pertanto il verso sul nodo è orario.
1
2 3
244.77 [kNm]
244.77 [kNm]
122.20 [kNm]
Determinazione delle forze agenti sui nodi:
Nodo 1:
∆
⋅ ⋅ + ⋅
⋅ ⋅ + ⋅
⋅
= 2 3
1
3 3
16 5
H I E H
I P E
V c ϕ c
201 275 . 1 52 . 43 25 .
1=156 + + =
V [kN]
Il segno della forza è positivo per tanto la direzione della forza agente sul nodo è da sinistra verso destra come da convenzione.
Nodo 2 (lato colonna):
∆
⋅ ⋅
− ⋅
⋅ ⋅
− ⋅
⋅
−2 = 2 3
1
3 3
16 11
H I E H
I P E
V c ϕ c
96 . 298 275 . 1 52 . 43 75 .
2 343
1− = − − =
V [kN]
Il segno della forza è positivo per tanto la direzione della forza agente sul nodo è da sinistra verso destra come da convenzione.
Nodo 2 (lato trave):
ϕ
⋅ ⋅
− ⋅
−3= 2
2
6 L
I
V E t
72 .
3 36
2− =−
V [kN]
Il segno della forza è negativo per tanto la direzione della forza agente sul nodo è dall’alto verso il basso.
Nodo 3:
ϕ
⋅ ⋅
= ⋅ 2
3
6 L
I
V E t
72 .
3 =36
V [kN]
Il segno della forza è positivo per tanto la direzione della forza agente sul nodo è dal basso verso l’alto come da convenzione.
Forza assiale sulla trave:
80 .
3 298
2− =− ⋅ ⋅∆=−
L A
N E t [kN]
Forza assiale sulla colonna:
72 . 6 36
1 2
2− =− ⋅ ⋅ ⋅ϕ=−
L I
N E t [kN]
1
2 3
201 [kN]
298.96 [kN]
500 [kN]
36.72 [kN]
36.72 [kN]
Diagramma della forza Normale:
1
2 3
-298.96
-36.72
Diagramma della forza di Taglio:
1
2 3
+201
-298.96
+36.72
Diagramma del Momento flettente:
1
2 3
-244.77
-244.77
+122.20 M=201*2.5=502.50
