Si usino come coordinate l’ascissa s del baricentro B dell’anello e l’angolo θ che l’asta forma con la direzione verticale

(1)

Compito di Meccanica Razionale 14 Febbraio 2017

(usare fogli diversi per esercizi diversi)

Primo Esercizio

In un piano verticale si fissi un sistema di riferimento Oxy, con asse Oy verticale ascendente. Si consideri un sistema meccanico formato da un anello che rotola senza strisciare sull’asse Ox. All’interno dell’anello si muove un sistema formato da due dischi e un’asta, con gli estremi dell’asta incernierati nei due baricentri dei dischi, che rotolano senza strisciare all’interno dell’anello (vedi figura).

00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000

11111 11111 11111 11111 11111 11111 11111 11111 11111 00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000

11111 11111 11111 11111 11111 11111 11111 11111 11111 11111

000000000 000000000 000000000 000000000 000000000 000000000 000000000 000000000 000000000 000000000 000000000

111111111 111111111 111111111 111111111 111111111 111111111 111111111 111111111 111111111 111111111 111111111

00 00 00 00 00 00 00 00

11 11 11 11 11 11 11 11

P x

B A

C θ y

O s

Assumiamo che l’anello, l’asta e i dischi siano omogenei. Inoltre l’anello ha massa M e raggio R, i dischi hanno massa m e raggio r, l’asta ha massa m e lunghezza 2`, e si ha R = r + ` per cui i punti dei dischi a contatto con l’anello sono diametralmente opposti.

Si usino come coordinate l’ascissa s del baricentro B dell’anello e l’angolo θ che l’asta forma con la direzione verticale.

a) Calcolare le velocit`a angolari dell’anello, dell’asta e dei dischi.

b) Determinare i centri istantanei di rotazione dell’anello, dell’asta e dei dischi.

c) Scrivere l’energia cinetica del sistema.

Secondo Esercizio

Si consideri un piano verticale Oxz, con asse z verticale ascendente ed una curva di equazione x = e^−z². Un punto P di massa unitaria `e vincolato a muoversi sulla superficie ottenuta ruotando la curva di equazione x = e^−z² attorno all’asse verticale. Sul punto agisce una forza elastica di richiamo verso l’origine e costante elastica unitaria. Si trascuri la forza di gravit`a.

a) Scelta un’opportuna parametrizzazione per la superficie di rotazione si scriva la lagrangiana per il punto materiale.

b) Si utilizzi il metodo di Routh per scrivere la lagrangiana ridotta.

c) Studiare i moti nel sistema ridotto e in quello originario.

1

(2)

Terzo Esercizio

Un sistema materiale, mobile in un piano verticale Oxy, `e cos`ı composto (vedi figura):

• un disco omogeneo D1di massa 2 m e raggio 2 r che rotola senza strisciare sull’asse delle ascisse (sia A il punto di contatto);

• un disco omogeneo D2di massa m e raggio r che rotola senza strisciare su D1(sia C il punto di contatto tra i due dischi).

Sull’intero sistema agisce la forza di gravit`a, mentre sul disco D₂ agiscono le seguenti forze:

• una forza elastica applicata nel baricentro D del disco avente la forma F~₁= −k (D − E), dove il punto E ha coordinate (0, 5 r) (k > 0);

• una forza orizzontale applicata nel baricentro D avente la forma ~F2 = f (s) ˆe1, con f (s) = (k/2) s, dove s ´e l’ascissa del punto A.

Si utilizzino come parametri lagrangiani l’ascissa s ∈ R del punto A e l’angolo θ ∈ S¹ tra (B − C) e la direzione verticale ascendente, crescente in verso orario, in modo che quando i punti B, C, D sono allineati verticalmente θ assuma i valori 0 oppure π.

a) Scrivere la lagrangiana del sistema.

b) Studiare gli equilibri del sistema e la loro stabilit`a al variare del parametro positivo α = m g/(k r).

c) Supposto α = 3, si scrivano le frequenze delle piccole oscillazioni attorno ad una posizione di equilibrio stabile.

.

θ

s A

B C

D

O x

y

g

D D2

1

E F

F₂

(0 , 5r) 1

2