Definizione 1.1. Sia V uno spazio vettoriale di dimensione finita su un campo K. Lo spazio proiettivo P(V ) associato a V `e lo spazio quoziente

(1)

1 Lo spazio proiettivo

Definizione 1.1. Sia V uno spazio vettoriale di dimensione finita su un campo K. Lo spazio proiettivo P(V ) associato a V `e lo spazio quoziente

P(V ) := (V r {0})/ ∼

dove ∼ ` e la relazione di equivalenza su V cos`ı definita: u ∼ v in V se esiste λ ∈ K

^∗

(K

^∗

= K \ {0}) tale che u = λv. La dimensione di P(V )

dim P(V ) = dim V − 1.

Chiameremo P(V ) retta proiettiva se dim P(V ) = 1, piano proiettivo se dim P(V ) = 2. Indicheremo con [u] il punto di P(V ) costituito dalla classe di equivalenza del vettore u ∈ V .

Se V = K

ⁿ⁺¹

allora useremo la notazione P

ⁿ

(K) al posto di P(V ) e P

ⁿ

se K = R.

Chiameremo P

ⁿ

(K) lo spazio proiettivo strandard. In tal caso useremo le notazioni v = (x

₀

, . . . , x

_n

) ∈ K

ⁿ⁺¹

e

[v] = [x

₀

, . . . , x

_n

].

Definizione 1.2. Sia W un sottospazio vettoriale di V , W 6= {0}. Lo spazio proiettivo P(W ) si immerge in modo naturale in P(V ), infatti se u ∈ W e v ∈ V tale che v ∼ u allora v ∈ W . In altre parole

[u] ∈ P(W ) ⇐⇒ u ∈ W.

Diremo che S ⊂ P(V ) `e un sottospazio lineare di P(V ) (o semplicemente sottospazio di P(V )) se esiste un sottospazio vettoriale W di V tale che S = P(W ).

E immediato vedere che se S = P(W `

1

) = P(W

2

) allora W

₁

= W

₂

. Definiamo dim S := dim W − 1.

Se W = {0} allora poniamo P(W ) = ∅ e dim(∅) = −1. Chiameremo retta, piano, iperpiano (proiettivi) di P(V ) i sottospazi di dimensione 1, 2, n − 1, dove n = dim P(V ). I punti sono i sottospazi di dimensione 0.

Osservazione 1.3. Siano W

1

e W

2

due sottospazi vettoriali di V . Allora P(W

1

∩ W

₂

) = P(W

1

) ∩ P(W

2

).

In generale, se {W

_i

}

_i∈I

` e una famiglia di sottospazi vettoriali di V , allora

P

\

i∈I

W

_i

!

= \

i∈I

P(W

i

).

(2)

Definizione 1.4. Sia Y ⊂ P(V ), Y 6= ∅. Il sottospazio generato da Y `e l’insieme J(Y ) cos`ı definito

J(Y ) = \

S∈SY

S

dove S

_Y

` e l’insieme dei sottospazi di P(V ) che contengono Y . In altre parole J(Y ) = P(W )

dove W ` e il sottospazio vettoriale generato da {u ∈ V : [u] ∈ Y }. In particolare se S

_i

= P(W

i

), i = 1, . . . , m, sono sottospazi allora

J

m

[

i=1

S

_i

!

= P(hW

1

, . . . , W

_m

i) = P(W

1

+ · · · + W

_m

),

dove hW

₁

, . . . , W

_m

i `e il sottospazio vettoriale generato dai sottospazi W

₁

, . . . , W

_m

. Se Y

₁

, . . . , Y

_m

sono sottoinsiemi di P(V ) scriveremo anche J(Y

1

, . . . , Y

_m

) al posto di J(Y

₁

∪· · ·∪Y

_m

). Chiameremo J(Y

₁

, . . . , Y

_m

) anche il congiungente di Y

₁

, . . . , Y

_m

. Se Y

_i

= P

_i

∈ P(V ) sono punti, i = 1, . . . , m, allora

J(Y

₁

, . . . , Y

_m

) = P(hv

1

, . . . , v

_m

i)

dove [v

_i

] = P

_i

, i = 1, . . . , m, e hv

₁

, . . . , v

_m

i) `e il sottospazio generato dai vettori v

₁

, . . . , v

_m

.

• Siano V uno spazio vettoriale di dimensione finita su un campo K, W

₁

e W

₂

due suoi sottospazi, allora

W

1

+ W

2

= dim W

1

+ dim W

2

− dim(W

1

∩ W

2

). (1.1) Teorema 1.5 (Formula di Grassmann proiettiva). Siano S e T due sottospazi di P(V ). Allora

dim J(S, T ) = dim S + dim T − dim(S ∩ T ). (1.2) Dimostrazione. Poich` e S = P(W

¹

) e T = P(W

²

) con dim S = dim W

1

− 1 e dim T = dim W

₂

− 1 ed essendo, per l’ Osservazione 1.3, S ∩ T = P(W

1

∩ W

₂

), per la (1.1), avremo

dim J(S, T ) = dim(W

₁

+ W

₂

) − 1

= dim W

₁

+ dim W

₂

− dim(W

₁

∩ W

₂

) − 1

= dim S + 1 + dim T + 1 − (dim(S ∩ T ) + 1) − 1

= dim S + dim T − dim(S ∩ T ).

La tesi ` e cos`ı provata.

(3)

Definizione 1.6. Due sottospazi S e T di P(V ) sono detti sghembi se S ∩ T = ∅, incidenti se S ∩ T 6= ∅.

2 rette distinte in P

²

(K) si incontrano in un punto.

2 piani distinti in P

³

(K) si incontrano in una retta.

1 retta e 1 piano che non la contiene in P

³

(K) si incontrano in un punto.

In P

³

(K) esistono rette sghembe.

Definizione 1.7. Sia dim V = n + 1. Siano dati i punti P

_i

= [u

_i

] ∈ P(V ), u

i

∈ V , i = 1, . . . , m. Diremo che i punti P

1

, . . . , P

m

sono indipendenti (dipendenti) se i vettori u

₁

, . . . , u

_m

sono linearmente indipendenti (linearmente dipendenti). Os- serviamo subito che la definizione ` e ben posta, infatti se P

_i

= [v

_i

], i = 1, . . . , m, allora, essendo v

i

= λ

i

u

i

, λ

i

6= 0, i = 1, . . . , m, i vettori v

1

, . . . , v

m

sono linearmente indipendenti. Infatti

m

X

i=1

µ

_i

v

_i

= 0 =⇒

m

X

i=1

µ

_i

λ

_i

u

_i

= 0 =⇒ µ

_i

λ

_i

= 0, i = 1, . . . , m

ma, essendo λ

_i

6= 0, i = 1, . . . , m, ci` o implica che µ

_i

= 0, i = 1, . . . , m. In altre parole m punti P

1

, . . . , P

m

∈ P(V ) sono indipendenti se dim J(P

¹

, . . . , P

m

) = m − 1, sono dipendenti se dim J(P

₁

, . . . , P

_m

) < m − 1.

Pi` u in generale diremo che m sottospazi S

_r₁

, . . . , S

_r_m

, r

_j

= dim S

_r_j

per j = 1, . . . , m, sono indipendenti se

dim J(S

_r₁

, . . . , S

_r_m

) + 1 =

m

X

j=1

(r

_j

+ 1) =

m

X

j=1

r

_j

+ m.

Ci` o equivale a dire che, se S

rj

= P(W

^rj

) si ha

W

_r₁

+ · · · + W

_r_m

= W

_r₁

⊕ · · · ⊕ W

_r_m

.

Siano S

_m

e S

_t

due due sottospazi di P(V ) di dimensione m e t rispettivamente.

Sia S

_c

= J(S

_m

, S

_t

) lo spazio congiungente di dimensione c e S

_i

= S

_m

∩ S

_t

, di dimensione i. La (1.2) diviene quindi

c = m + t − i.

Essendo c ≤ n si ha

i ≥ m + t − n. (1.3)

(4)

• Se m + t ≥ n, i sottospazi S

_m

e S

_t

sono necessariamente incidenti.

• Se m + t < n allora i sottospazi S

_m

e S

_t

possono essere sghembi.

E immediato vedere che m sottospazi S `

r1

, . . . , S

rm

sono indipendenti se e solo se il congiungente di un numero qualsiasi di essi ` e sghembo con il congiungente dei restanti.

• Diremo che i sottospazi S

m

e S

t

sono in posizione generale se i ` e il pi` u piccolo possibile, cio` e se

i =

( −1 m + t < n m + t − n m + t ≥ n.

Diremo che k punti P

₁

, . . . , P

_k

∈ P(V ) sono in posizione generale se k ≤ n + 1 e P

₁

, . . . , P

_k

sono indipendenti, oppure se k > n + 1 e n + 1 punti comunque scelti tra essi sono indipendenti.

• Diremo che i sottospazi S

_m

e S

_t

sono complementari se sono sghembi e m + t = n − 1 cio` e se J(S

_m

, S

_t

) = P(V ).

In P

¹

(K) i soli insiemi di spazi indipendenti sono: 2 punti distinti.

In P

²

(K) i soli insiemi di spazi indipendenti sono: 2 punti distinti, 3 punti non allineati, una retta e un punto che non sta sulla retta.

In P

³

(K) i soli insiemi di spazi indipendenti sono: 2 punti, 3 punti non allineati, 4 punti non complanari, 2 rette sghembe, una retta e un punto che non sta sulla retta, un piano e un punto che non sta sul piano.

2 rette sghembe di P

³

(K) sono complementari.

Sono in posizione generale:

m punti distinti in P

¹

(K);

m punti distinti, a 3 a 3 non allineati in P

²

(K);

m punti distinti, a 4 a 4 non complanari e a 3 a 3 non allineati in P

³

(K).

Definizione 1.8 (Sistema di riferimento proiettivo). Sia V un K-spazio vettoriale di dimensione n + 1. Fissiamo una base ordinata E = {e

₀

, . . . , e

_n

} di V . Allora ad ogni v ∈ V possiamo associare biunivocamente la (n + 1)-upla (x

₀

, . . . , x

_n

) ∈ K

ⁿ⁺¹

in modo che

v = x

0

e

0

+ · · · + x

n

e

n

. (1.4)

e quindi scrivere v = (x

₀

, . . . , x

_n

)

E

. La scelta della base ordinata E di V definisce

in P(V ) un sistema di coordinate omogenee o anche un riferimento proiettivo, che

(5)

indicheremo con S(e

₀

, . . . , e

_n

): se P ∈ P(V ), P = [v] e v = (x

0

, . . . , x

_n

)

E

, diremo che x

₀

, . . . , x

_n

sono le coordinate omogenee di P rispetto a E e porremo

P = [x

₀

, . . . , x

_n

]

_S(e₀_,...,e_n₎

.

Se P = [w] e w = (y

₀

, . . . , y

_n

)

_E

allora x

_i

= λy

_i

, i = 0, . . . , n, λ ∈ K

^∗

e viceversa.

Le coordinate omogenee di P sono quindi definite a meno di un fattore di proporzionalit` a in K

^∗

. Pertanto se F = {f

₀

, . . . , f

_n

} `e un’altra base ordinata di V allora

S(e

0

, . . . , e

n

) = S(f

0

, . . . , f

n

) ⇐⇒ e

i

= λf

i

, i = 0, . . . , n,

con λ ∈ K

^∗

. Fissare un sistema di coordinate omogenee su P(V ) equivale pertanto a scegliere una base ordinata di V a meno di un fattore di proporzionalit` a.

Osserviamo ancora che fissare un sistema di coordinate omogenee su P(V ) induce l’“identificazione” di P(V ) con P

ⁿ

(K) data da

P ←→ [x

₀

, . . . , x

_n

] = [x

₀

, . . . , x

_n

]

_S(e₀_,...,e_n₎

e quindi realizza lo spazio proiettivo P(V ) con il “modello” P

ⁿ

(K).

Se V = K

ⁿ⁺¹

e la base E ` e quella canonica, il sistema di riferimento ad essa associato in P

ⁿ

(K) si dir` a sistema di riferimento proiettivo canonico.

E comodo introdurre la nozione di “combinazione lineare di punti in P(V )”, ` di cui faremo uso nel seguito.

Definizione 1.9 (Combinazione lineare di punti in P(V )). Siano P

i

= [v

_i

], v

_i

∈ V , i = 1, . . . , t, t punti di P(V ). Se λ

1

, . . . , λ

_t

∈ K sono costanti non tutte nulle consideriamo il punto P combinazione lineare dei punti P

i

` e definito mediante

P =

t

X

i=1

λ

_i

P

_i

:=

"

_t

X

i=1

λ

_i

v

_i

# .

Osserviamo che se P

i

= [w

i

], i = 1, . . . , t, allora w

i

= µ

i

v

i

, µ

i

∈ K

^∗

, i = 1, . . . , t, quindi, in generale, non esiste k ∈ K

^∗

tale che

t

X

i=1

λ

_i

w

_i

= k

t

X

i=1

λ

_i

v

_i

.

Pertanto la combinazione lineare dei punti P

i

dipende, in generale, dalla scelta dei vettori v

_i

rappresentanti i punti P

_i

. In ogni caso comunque si ha che

t

X

i=1

λ

_i

P

_i

∈ J(P

₁

, . . . , P

_t

).

(6)

Osservazione 1.10. Un sistema di riferimento proiettivo S(e

₀

, . . . , e

_n

) di P(V ) determina gli n + 1 punti fondamentali A

₀

= [e

₀

],. . . , A

_n

= [e

_n

], e il punto unit` a U = [e

0

+ · · · + e

n

]. Si vede immediatamente che i punti A

0

, . . . , A

n

, U sono in posizione generale. Diremo anche che i punti A

₀

, . . . , A

_n

, U sono i punti base del sistema di riferimento S(e

₀

, . . . , e

_n

) e scriveremo (cfr. Definizione 1.9) U = A

0

+ · · · + A

n

.

Viceversa una (n + 2)-pla di punti P

₀

, . . . , P

_n

, M in posizione generale determina un unico sistema di riferimento di cui essi sono i punti fondamentali e il punto unit` a. Consideriamo infatti n + 1 vettori v

0

, . . . , v

n

∈ V tali che [v

i

] = P

i

, i = 0, . . . , n. Poich´ e P

₀

, . . . , P

_n

sono indipendenti, v

₀

, . . . , v

_n

costituiscono una base di V . Quindi, se u ` e un vettore di V tale che [u] = M , risulta

u = λ

₀

v

₀

+ · · · + λ

_n

v

_n

per opportuni λ

0

, . . . , λ

n

∈ K tutti non nulli perch`e u 6= 0. Il sistema di riferimento S(λ

₀

v

₀

, . . . , λ

_n

v

_n

) ha le propriet` a richieste. Per quanto riguarda la sua unicit` a, si osservi che i coefficienti λ

₀

, . . . , λ

_n

dipendono in effetti dalla scelta del vettore u tale che [u] = M , ma sono unici a meno di una costante moltiplicativa e quindi il sistema di riferimento ` e unico.

In altre parole a scelta del punto unit` a equivale alla scelta della base di V a meno di una costante moltiplicativa non nulla.

Esempio 1.11. In P

⁴

(R) siano dati i punti

A

₀

= [1, 2, 3, 4, 5], A

₁

= [0, 1, 0, 1, 0], A

₂

= [0, 0, 0, 0, 1], A

₃

= [1, 0, 0, 0, 1], A

4

= [2, 1, 2, 1, 0], U = [−1, −1, 2, 3, 7]

Si verifica subito che A

₀

, A

₁

, A

₂

, A

₃

, A

₄

, U sono in posizione generale. Dobbiamo determinare λ

0

, λ

1

, λ

2

, λ

3

, λ

4

, tutti non nulli, in modo che

λ

₀

A

₀

+ λ

₁

A

₁

+ λ

₂

A

₂

+ λ

₃

A

₃

+ λ

₄

A

₄

= U, cio` e



 



 



λ

₀

+ λ

₃

+ 2λ

₄

= −1 2λ

₀

+ λ

₁

+ λ

₄

= −1 3λ

₀

+ 2λ

₄

= 2 4λ

₀

+ λ

₁

+ λ

₄

= 3 5λ

₀

+ λ

₂

+ λ

₃

= 7.

Avremo

λ

₀

= 2, λ

₁

= −3, λ

₂

= −4, λ

₃

= 1, λ

₄

= −2.

(7)

Si ` e pertanto scelto la base E di R

⁵

cos`ı costituita

e

₀

= (2, 4, 6, 8, 10), e

₁

= (0, −3, 0, −3, 0), e

₂

= (0, 0, 0, 0, −4), e

₃

= (1, 0, 0, 0, 1), e

₄

= (−4, −2, −4, −2, 0).

Le vecchie coordinate [x

₀

, x

₁

, x

₂

, x

₃

, x

₄

] sono espresse in funzione delle nuove coordinate [y

₀

, y

₁

, y

₂

, y

₃

, y

₄

] da



 



 



%x

0

= 2y

0

+ y

3

− 4y

4

%x

1

= 4y

0

− 3y

1

− 2y

4

%x

2

= 6y

0

− 4y

4

%x

3

= 8y

0

− 3y

1

− 2y

4

%x

4

= 10y

0

− 4y

2

+ y

3

,

% 6= 0,

o, in forma matriciale,







%x

₀

%x

₁

%x

2

%x

₃

%x

₄







=







2 0 0 1 −4

4 −3 0 0 −2

6 0 0 0 −4

8 −3 0 0 −2

10 0 −4 1 0











 y

₀

y

₁

y

2

y

₃

y

₄





 .

Le nuove coordinate [y

₀

, y

₁

, y

₂

, y

₃

, y

₄

] sono espresse in funzione delle vecchie coordinate [x

₀

, x

₁

, x

₂

, x

₃

, x

₄

] da







%y

₀

%y

₁

%y

₂

%y

₃

%y

₄







=







2 0 0 1 −4

4 −3 0 0 −2

6 0 0 0 −4

8 −3 0 0 −2

10 0 −4 1 0







−1





 x

₀

x

₁

x

₂

x

₃

x

₄





 .

NB. La presenza di % sta a significare che queste sono coordinate omogenee, quindi definite a meno di una costante moltiplicativa non nulla.

Definizione 1.12 (Equazioni parametriche e cartesiane di un sottospazio).

Sia dim V = n + 1. Siano dati, in P(V ), m + 1 punti P

0

, . . . , P

_m

indipendenti con m ≤ n − 1 aventi coordinate

P

_i

= [p

_i0

, . . . , p

_in

], i = 0, . . . , m,

(8)

rispetto ad un sistema di riferimento proiettivo fissato S = S(e

₀

, . . . , e

_n

). Il sottospazio S

_m

= J(P

₀

, . . . , P

_m

) da essi generato ha equazioni parametriche (rispetto ad S)



 

 

%x

₀

= λ

₀

p

₀₀

+ · · · + λ

_m

p

_m0

.. . .. . .. .

%x

_n

= λ

₀

p

_0n

+ · · · + λ

_m

p

_mn

.

(1.5)

NB. La presenza di % sta a significare che queste sono coordinate omogenee, quindi definite a meno di una costante moltiplicativa non nulla.

Siano [x

₀

, . . . , x

_n

] le coordinate di un generico punto di P(V ) (rispetto ad S) e

M =







x

₀

· · · x

_n

p

₀₀

· · · p

_0n

.. . .. . .. . p

_m0

· · · p

_mn





 .

Imponendo che

rk(M ) = m + 1,

dove rk(M ) ` e il rango della matrice M , diamo origine ad un sistema lineare di n − m equazioni ottenute annullando gli n − m determinanti m + 2 × m + 2 che orlano un minore non nullo m + 1 × m + 1 della matrice (di caratteristica m + 1)







p

₀₀

· · · p

_0n

.. . .. . .. . p

m0

· · · p

mn





 . Tali equazioni sono le equazioni cartesiane di S

_m

.

• L’iperpiano S

_n−1

= J(P

₀

, . . . , P

_n−1

) ha equazione

x

₀

· · · x

_n

p

₀₀

· · · p

_0n

.. . .. . .. . p

n−1 0

· · · p

n−1 n

= 0,

che ` e, sviluppando il determinante secondo la prima riga, della forma α

0

x

0

+ · · · + α

n

x

n

= 0

dove

α

_j

= (−1)

^j

p

₀₀

. . . p c

_0j

. . . p

_0n

.. . .. . .. .

p

_{n−1 0}

. . . p [

_{n−1 j}

. . . p

_{n−1 n}

, j = 0, . . . , n,

(9)

dove il simbolo b sugli elementi della colonna j-esima indica che la stessa ` e eliminata. Pertanto

- la retta di P

²

(K) passante per i punti (distinti)

P

₀

= [p

₀₀

, p

₀₁

, p

₀₂

], P

₁

= [p

₁₀

, p

₁₁

, p

₁₂

], ha equazione

x

₀

x

₁

x

₂

p

₀₀

p

₀₁

p

₀₂

p

₁₀

p

₁₁

p

₁₂

= 0;

- il piano di P

³

(K) passante per i punti (non allineati)

P

₀

= [p

₀₀

, p

₀₁

, p

₀₂

, p

₀₃

], P

₁

= [p

₁₀

, p

₁₁

, p

₁₂

, p

₁₃

], P

₂

= [p

₂₀

, p

₂₁

, p

₂₂

, p

₂₃

] ha equazione

x

0

x

1

x

2

x

3

p

₀₀

p

₀₁

p

₀₂

p

₀₃

p

₁₀

p

₁₁

p

₁₂

p

₁₃

p

20

p

21

p

22

p

23

= 0.

• La retta S

1

= J(P

0

, P

1

) di P

ⁿ

(K) ha n−1 equazioni che si possono pi` u facilmente ottenere dalle equazioni parametriche



 

 

%x

₀

= λ

₀

p

₀₀

+ λ

₁

p

₁₀

.. . .. . .. .

%x

_n

= λ

₀

p

_0n

+ λ

₁

p

_1n

. eliminando i parametri λ

0

e λ

1

.

Osservazione 1.13. Si consideri in K

ⁿ⁺¹

il sistema lineare omogeneo



 

 

a

₀₀

x

₀

+ · · · + a

_0n

x

_n

= 0 .. . .. . .. . a

_m0

x

₀

+ · · · + a

_mn

x

_n

= 0.

Sia r il rango della matrice

M =







a

₀₀

· · · a

_on

.. . . .. .. . a

_m0

· · · a

_mn





 .

(10)

Il sottospazio vettoriale W di K

ⁿ⁺¹

delle soluzioni ha dimensione n + 1 − r; ad esso corrisponde il sottospazio lineare di P

ⁿ

(K)

S

_n−r

= P(W ) = J(P

1

, . . . , P

_n+1−r

)

con P

_j

= [v

_j

], j = 1, . . . , n + 1 − r, dove {v

₁

, . . . , v

_n+1−r

} `e una base di W . Esempio 1.14. Nel Esempio 1.11 l’iperpiano di P

⁴

(R) di equazione 2x

0

− 3x

₂

− x

₃

+ 5x

₄

= 0 nelle vecchie coordinate ha, nelle nuove coordinate, equazione

2(2y

₀

+ y

₃

− 4y

₄

) − 3(6y

₀

− 4y

₄

) − (8y

₀

− 3y

₁

− 2y

₄

) + 5(10y

₀

− 4y

₂

+ y

₃

) = 0 cio` e 28y

0

+ 3y

1

− 20y

2

+ 7y

3

+ 6y

4

= 0.

Osservazione 1.15 (Sistema di riferimento su un sottospazio). Dalle equazioni parametriche (1.5) del sottospazio S

_m

= J(P

₀

, . . . , P

_m

) della Definizione 1.12 otteniamo subito il riferimento proiettivo per S

_m

dato dalle coordinate omogenee [λ

₀

, . . . , λ

_m

]. I punti base di questo riferimento sono P

₀

, . . . , P

_m

e U = P

₀

+ · · · + P

_m

. Possiamo scegliere un altro punto unit` a Q = [q

₀

, . . . , q

_n

] ∈ S

_m

. In questo caso, se P

_i

= [p

_i0

, . . . , p

_in

], i = 0, . . . , m, dobbiamo determinare una m + 1-upla omogenea (a

₀

, . . . , a

_m

) tale che

m

X

i=0

a

_i

p

_ik

= q

_k

, k = 0, . . . , n.

Siffatta m-upla omogenea ` e unica. Per il sottospazio S

_m

si ha quindi la rappresentazione parametrica



 

 

ρx

0

= λ

0

a

0

p

00

+ λ

1

a

1

p

10

+ · · · λ

m

a

m

p

m0

.. . .. . .. . .. . .. . ρx

_n

= λ

₀

a

₀

p

_0n

+ λ

₁

a

₁

p

_1n

+ · · · λ

_m

a

_m

p

_mn

.

In tal modo [λ

₀

, . . . , λ

_m

] sono per S

_m

il sistema di coordinate proiettive rispetto al quale P

₀

, . . . , P

_m

e Q sono i punti [1, 0, . . . , 0], . . . , [0, 0, . . . , 1] e [1, 1, . . . , 1].

1) Consideriamo la retta di equazione cartesiana 2x

₀

+ x

₁

− x

₂

= 0 in P

²

(R) e su di essa i tre punti distinti P

₀

= [1, 1, 3], P

₁

= [1, 0, 2], Q = [−1, 2, 0]. Vogliamo mettere su r un riferimento proiettivo in modo che P

₀

e P

₁

siano i punti fondamentali e Q sia il punto unit` a. Dobbiamo quindi determinare la coppia omogenea (a, b) tale che

a(1, 1, 3) + b(1, 0, 2) = (−1, 2, 0).

(11)

Dobbiamo risolvere il sistema



 

 

a + b = −1

a = 2

3a + 2b = 0,

che d` a a = 2, b = −3. Quindi P

₁

= [2, 2, 6] e P

₂

= [−3, 0, −6] Per la retta r si ha quindi la rappresentazione parametrica



 

 

ρx

₀

= 2λ

₀

− 3λ

₁

ρx

₁

= 2λ

₀

ρx

₂

= 6λ

₀

− 6λ

₁

.

Si ha in tal modo per r il sistema di coordinate proiettive [λ

₀

, λ

₁

] rispetto al quale P

1

, P

2

e Q sono i punti [1, 0], [0, 1] e [1, 1].

2) In P

³

sia dato il piano π di equazione x

₀

− 2x

₁

+ x

₃

= 0. Mettiamo su di esso un sistema di coordinate, S, e scriviamo l’equazione in π, rispetto al sistema S, della retta r di P

³

di equazioni x

0

− 2x

1

+ x

3

= x

0

+ x

2

= 0.

Scegliamo su π i punti P

₀

= [1, 0, 2, −1], P

₁

= [2, 1, 1, 0], P

₂

= [0, 1, 0, 2], Q = [−3, 0, 1, 3]. Determiniamo la terna (a

₀

, a

₁

, a

₂

) in modo che

(−3, 0, 1, 3) = a

0

(1, 0, 2, −1) + a

1

(2, 1, 1, 0) + a

2

(0, 1, 0, 2).

Otteniamo a

₀

= 5

3 , a

₁

= − 7

3 , a

₂

= 7 3 e P

0

= [ 5

3 , 0, 10 3 , − 5

3 ], P

1

= [− 14 3 , − 7

3 , − 7

3 , 0], P

2

= [0, 7 3 , 0, 14

3 ].

Per il piano π si ha quindi la rappresentazione parametrica (avendo assorbito il denominatore 3 in %)



 

 

 

 

ρx

0

= 5λ

0

− 14λ

1

ρx

1

= −7λ

1

+ 7λ

2

ρx

2

= 10λ

0

− 7λ

1

ρx

3

= −5λ

0

+ 14λ

2

.

e λ

₀

, λ

₁

, λ

₂

sono coordinate proiettive omogenee su π nel sistema di riferimento

avente P

₀

, P

₁

, P

₂

come punti fondamentali e Q come punto unit` a. Sostituendo

nell’equazione di r si trova 15λ

₀

− 21λ

₁

= 0. Dunque in π, rispetto al sistema

S

_[λ₀_,λ₁_,λ₂_]

, la retta r ha equazione 5λ

₀

− 7λ

₁

= 0.

(12)

Lemma 1.16. Sia S

_k

un sottospazio di P(V ), con dim V = n, di dimensione k, allora esiste un riferimento proiettivo di P(V ) tale che le equazioni di S sono

y

₀

= · · · = y

_n−k−1

= 0.

Ci` o equivale a supporre che S = J(A

_n−k

, . . . , A

_n

) dove A

_j

= [0, . . . , 0, 1

|{z}

j−esimo posto

, 0 . . . , 0].

Inoltre [y

_n−k

, . . . , y

_n

] sono coordinate proiettive per il sottospazio S.

Dimostrazione. Siano



 

 

a

₀₀

x

₀

+ . . . + a

_0n

x

_n

= 0

.. . .. .

a

_{n−k−1 0}

x

₀

+ . . . + a

_{n−k−1 n}

x

_n

= 0

(1.6)

le equazioni di S (rispetto a un riferimento proiettivo di P(V )) con

D =

a

₀₀

a

₀₁

· · · a

_{0 n−k−1}

.. . .. . .. . .. . a

_{n−k−1 0}

a

_{n−k−1 1}

· · · a

n−k−1 n−k−1

6= 0.

Allora



 

 

 

 

%y

₀

= a

₀₀

x

₀

+ . . . + a

_0n

x

_n

.. . .. .

%y

_n−k−1

= a

_{n−k−1 0}

x

₀

+ . . . + a

_{n−k−1 n}

x

_n

%y

_n−k

= x

_n−k

.. . .. .

%y

_n

= x

_n

`

e un cambiamento di coordinate rispetto al quale le equazioni di S sono y

₀

= · · · = y

_n−k−1

= 0.

Infatti la matrice







a

₀₀

a

₀₁

· · · a

_{0 n−k−1}

a

_{0 n−k}

· · · a

_0n

.. . .. . . .. .. . .. . . .. .. .

a

n−k−1 0

a

n−k−1 1

· · · a

n−k−1 n−k−1

a

n−k−1 n−k

· · · a

n−k−1 n

0 0 · · · 0 1 · · · 0

.. . .. . . .. .. . .. . . .. .. .

0 0 · · · 0 0 · · · 1







ha determinante D 6= 0.

(13)

Osservazione 1.17. In riferimento al Lemma 1.16 possiamo ovviamente scegliere un altro riferimento proiettivo in modo che le equazioni di S siano

y

_k+1

= · · · = y

_n

= 0.

In riferimento alla (1.6) avremo il cambiamento di coordinate



 

 

 

 

%y

0

= x

0

.. . .. .

%y

_k

= x

_k

%y

_k+1

= a

₀₀

x

₀

+ . . . + a

_0n

x

_n

.. . .. .

%y

n

= a

n−k−1 0

x

0

+ . . . + a

n−k−1 n

x

n

. Ci` o equivale a supporre che S = J(A

₀

, . . . , A

_k

) dove

A

_j

= [0, . . . , 0, 1

|{z}

j−esimo posto

, 0 . . . , 0].

Inoltre [y

₀

, . . . , y

_k

] sono coordinate proiettive per il sottospazio S.

Esercizio 1.18. Siano r

₁

, r

₂

, r

₃

tre rette di P

ⁿ

, sghembe a due a due. Sia R l’insieme delle rette di P

ⁿ

che si appoggiano a r

₁

, r

₂

, r

₃

e S

_c

lo spazio che congiunge le tre rette. Allora

i) se c = 3, R `e una quadrica di S

3

;

ii) se c = 4, R `e costituito da una sola retta;

iii) se c = 5, R = ∅.

Sol. Ciascuna delle tre rette ` e individuata da una coppia di punti. Sia r

₁

= r

_A₁_A₂

, r

₂

= r

_B₁_B₂

, r

₃

= r

_C₁_C₂

. Sia S

_c

= J(A

₁

, A

₂

, B

₁

, B

₂

, C

₁

, C

₂

) lo spazio congiungente dei 6 punti dati. Consideriamo i casi possibili a seconda della dimensione di S

_c

. Poich´ e le tre rette r

₁

, r

₂

, r

₃

sono sghembe si ha intanto 3 ≤ c ≤ 5.

• Se c = 3, le rette cercate sono infinite e costituiscono una quadrica di S

₃

= P

³

. Svolgeremo questo punto pi` u avanti.

• Sia c = 4. Si ha dim J(r

₁

, r

₂

) = 3 e, per l’ipotesi,

J(J(r

₁

, r

₂

), r

₃

) = J(A

₁

, A

₂

, B

₁

, B

₂

, C

₁

, C

₂

) = S

₄

.

Dunque r

3

incontra J(r

1

, r

2

) in un punto, P . Il problema ` e quindi equivalente a

quello di determinare il numero delle rette r di un S

₃

(= J(r

₁

, r

₂

)) che si appog-

giano a due rette date, r

₁

, r

₂

, e passanti per un punto assegnato P . Esiste una

(14)

e una sola di tali rette r ottenuta come intersezione dei piani J(r

₁

, P ) e J(r

₂

, P ), r = J(r

₁

, P ) ∩ J(r

₂

, P ).

• Sia c = 5, cio`e i 6 punti dati sono linearmente indipendenti. In questo caso non esiste alcuna retta che si appoggia a r

₁

, r

₂

, r

₃

. Ragionando per assurdo, supponiamo che tale retta esista. I sei punti apparterrebbero all’S

₄

che congiunge questa retta con tre punti non appartenenti ad essa e scelti uno su r

1

, uno su r

2

, uno su r

₃

.

Esercizio 1.19. Siano α, β, γ tre piani di P

ⁿ

sghembi a due a due. Sia F l’insieme delle rette di P

ⁿ

che li incontrano tutti e tre e S

_c

= J (α, β, γ). Allora

i) se c = 5, F `e costituito da ∞

²

rette;

ii) se c = 6, F `e una quadrica di S

3

;

iii) se c = 7, F `e costituito da una sola retta;

iv) se c = 8, F = ∅.

Sol. Sia S

c

= J (α, β, γ). Risulta 5 ≤ c ≤ 8. Analizziamo i quattro casi possibili.

i) I tre piani stanno in un S

₅

, cio` e c = 5. Sia P ∈ α. Allora l’S

₃

= J(P, β) e l’S

3

= J (P, γ) si intersecano lungo una retta passante per P e che incontra α (in P ), β e γ. Per ogni punto P ∈ α troviamo dunque una delle rette richieste: tali rette sono pertanto ∞

²

.

ii) I tre piani stanno in un S

6

(ma non in un S

5

), cio` e c = 6. L’S

5

= J(α, β) che congiunge α e β e l’S

₅

che congiunge α e γ si intersecano (in S

₆

) in un S

₄

che passa per il piano α. Le rette richieste stanno in questo S

₄

. Questo S

₄

interseca β in una retta b e γ in una retta g. Le rette richieste incontrano b e g e quindi stanno nell’S

₃

che congiunge b e g. Questo S

₃

(in S

₄

) taglia α in una retta a. Le rette richieste sono dunque le rette di un S

₃

appoggiate a tre rette sghembe a due a due. Come detto sopra costituiscono una quadrica dell’S

3

.

iii) I tre piani stanno in un S

₇

(ma non in un S

₆

), cio` e c = 7. Si trova in questo caso una sola retta r. L’S

₅

= J (α, β) incontra γ in un punto, P . Allora r ` e l’intersezione, in S

5

, dei due S

3

che congiungono α con P e β con P rispettivamente. Cio` e r = J (α, P ) ∩ J (β, P ).

iv) Nel caso c = 8 non si trova alcuna retta.

(15)

2 Dualit` a nello spazio proiettivo

Definizione 2.1. Sia V un K-spazio vettoriale (con dim V = n + 1) e sia V

^∗

= Hom(V, K) = {f : V → K : f lineare}

il suo duale. Gli elementi di V

^∗

si dicono funzionali lineari su V . Ad ogni base B di V `e associata biunivocamente la base duale B

^∗

di B; se B = {e

0

, e

1

, . . . , e

n

} allora B

^∗

= {e

^∗₀

, e

^∗₁

, . . . , e

^∗_n

} dove

e

^∗_j

(e

i

) =

( 1 i = j 0 i 6= j.

Proposizione 2.2. La base duale B

^∗

` e una base di V

^∗

, pertanto dim V

^∗

= dim V . Dimostrazione. Supponiamo si abbia

n

X

i=0

λ

_i

e

^∗_i

= 0 ∈ V

^∗

.

Allora per j = 0, . . . , n si ha 0 =

n

X

i=0

λ

i

e

^∗_i

(e

j

) = λ

j

. Quindi B

^∗

` e un insieme libero.

Sia f ∈ V

^∗

. Allora se

g =

n

X

i=0

f (e

_i

)e

^∗_i

∈ V

^∗

si ha g(e

_j

) = f (e

_j

), j = 0, . . . , n, quindi g = f . Allora B

^∗

genera V

^∗

. Definizione 2.3 (Isomorfismi canonici). Gli spazi V e V

^∗

hanno la stessa dimensione (finita) e quindi sono isomorfi ma non canonicamente isomorfi, cio` e per definire un isomorfismo f : V → V

^∗

` e necessario fissare le immagini una base B = {e

₀

, e

₁

, . . . , e

_n

} in V . Se per` o V ` e dotato di un prodotto scalare (u, v) → u·v, per u, v ∈ V , allora si ha l’isomorfismo canonico

V → V

^∗

, u → f

_u

, f

_u

(v) = u · v, ∀ v ∈ V.

In particolare se V = K

ⁿ⁺¹

(o, equivalentemente si ` e fissata una base B = {e

₀

, e

₁

, . . . , e

_n

} in V ), il prodotto scalare su V

(x

0

, . . . , x

n

) · (y

0

, . . . , y

n

) = x

0

y

0

+ · · · + x

n

y

n

, permette di identificare V con V

^∗

mediante l’isomorfismo canonico

a ∈ V ←→ f

_a

∈ V

^∗

(2.1)

(16)

dove a = (a

₀

, . . . a

_n

) e

f

_a

(x

₀

, . . . , x

_n

) = (a

₀

, . . . , a

_n

) · (x

₀

, . . . , x

_n

) = a

₀

x

₀

+ . . . + a

_n

x

_n

.

• Indichiamo con V

^∗∗

il duale secondo di V cio` e (V

^∗

)

^∗

. Esiste un isomorfismo naturale α : V → V

^∗∗

definito da

(α(v))(f ) = f (v), f ∈ V

^∗

, v ∈ V. (2.2) Chiameremo spazio proiettivo duale di P(V ) lo spazio proiettivo P(V

^∗

). Se V = K

ⁿ⁺¹

allora P(V

^∗

) sar` a indicato con P

ⁿ

(K)

^∗

. Grazie all’isomorfismo canonico α : V → V

^∗∗

possiamo identificare P(V ) con P(V

^∗∗

), [v] ←→ [α(v)].

Definizione 2.4. Sia W un sottospazio di V . Chiameremo l’annullatore di W il sottospazio di V

^∗

A(W ) = {f ∈ V

^∗

| f (u) = 0, ∀ u ∈ W }.

Proposizione 2.5. Siano W , W

₁

e W

₂

sottospazi di V . Allora:

i) A(V ) = {0}; A({0}) = V

^∗

. ii) dim A(W ) = dim V − dim W .

iii) W

₁

⊂ W

₂

⇐⇒ A(W

1

) ⊃ A(W

2

), quindi W

₁

= W

₂

⇐⇒ A(W

1

) = A(W

2

).

iv) A(W

1

+ W

2

) = A(W

1

) ∩ A(W

2

).

v) A(W

1

∩ W

₂

) = A(W

1

) + A(W

2

).

vi) Mediante l’identificazione canonica (2.2) si ha A(A(W )) = W . Dimostrazione. i) Immediato.

ii) Sia r = dim W . Prendiamo una base {v

₀

, . . . , v

_n

} di V in modo che v

₀

, . . . , v

_r−1

∈ W . Sia {v

^∗₀

, . . . , v

_n^∗

} la base duale. ` E immediato verificare che un generico ele- mento di V

^∗

u

^∗

=

n

X

i=0

a

_i

v

_i^∗

sta in A(W ) se e solo se a

0

= a

₁

= · · · = a

_r−1

= 0. Infatti se w ∈ W si ha

w =

r−1

X

j=0

λ

_j

v

_j

,

(17)

e

u

^∗

(w) =

n

X

i=0

a

_i

v

_i^∗

r−1

X

j=0

λ

_j

v

_j

!

=

n

X

i=0 r−1

X

j=0

a

_i

λ

_j

v

_i^∗

v

_j

=

n

X

i=0 r−1

X

j=0

a

_i

λ

_j

δ

_ij

=

r−1

X

i=0

a

_i

λ

_i

,

quindi u

^∗

(w) = 0 se e solo se a

0

= a

1

= · · · = a

r−1

= 0, per l’arbitrariet` a dei λ

j

. Pertanto A(W ) `e generato da v

^∗r

, . . . , v

_n^∗

e dim A(W ) = n − (r − 1) = n + 1 − r, cio` e la tesi.

iii) L’implicazione =⇒ ` e immediata. Supponiamo che A(W

1

) ⊃ A(W

2

) e che esista w ∈ W

₁

tale che w / ∈ W

₂

. Presa una base {v

₀

, . . . , v

_k

} di W

₂

l’insieme {v

₀

, . . . , v

_k

, w} ` e libero e si pu` o completare ad una base B di V . Allora il fun- zionale f : V → K che ` e nullo sulla base {v

0

, . . . , v

k

} di W

2

e tale che f (w) 6= 0 ed ` e definito arbitrariamente sui restanti vettori della base B sta in A(W

2

) ma non in A(W

1

) contro l’ipotesi.

iv) L’inclusione A(W

1

+ W

2

) ⊂ A(W

1

) ∩ A(W

2

) segue subito da iii). D’altronde se v

^∗

∈ A(W

1

) ∩ A(W

2

) allora v

^∗

` e nullo su W

₁

e su W

₂

e quindi ` e nullo su W

₁

+ W

₂

. v) L’inclusione A(W

1

) + A(W

2

) ⊂ A(W

1

∩ W

₂

) segue subito da iii). D’altronde, per la formula di Grassmann, si ha

dim A(W

1

∩ W

₂

) = dim V − dim(W

₁

∩ W

₂

)

= dim V + dim(W

₁

+ W

₂

) − dim W

₁

− dim W

₂

≤ dim V + dim V − dim W

1

− dim W

2

= dim A(W

1

) + dim A(W

2

) da cui la tesi.

vi) Sia v ∈ W , per ogni w

^∗

∈ A(W ) si ha v(w

^∗

) = w

^∗

(v) = 0, quindi W ⊂ A(A(W )). Poich`e

A(A(W )) = dim V − dim A(W ) = dim V − (dim V − dim W ) = dim W

i due sottospazi coincidono.

Definizione 2.6. Sia S

_r

= P(W ) un sottospazio lineare di dimensione r di P(V ).

Il duale di S

_r

` e il sottospazio S

_r^∗

di dimensione n − r − 1 di P(V

^∗

) definito da S

_r^∗

= P(A(W )).

Poich` e P({0}) = ∅ il duale di tutto lo spazio P(V ) `e il vuoto. Non si confonda lo spazio proiettivo duale P(V

^∗

) con il duale di P(V ) che, per evitare equivoci, indicheremo con S

_n^∗

; si ha quindi S

_n^∗

= ∅. Inoltre, indicando con S

⁻¹

il sottospazio P({0}) = ∅ abbiamo

S

₋₁^∗

= P(A({0})) = P(V

^∗

).

(18)

Osservazione 2.7. Sia S

_r

un sottospazio di P

ⁿ

(K) di dimensione r < n e siano dati r + 1 punti indipendenti P

₀

, . . . , P

_r

tali che S

_r

= J (P

₀

, . . . , P

_r

). Sia P

_i

= [p

i0

, . . . , p

in

], i = 0, . . . , r. Grazie all’identificazione (2.1) possiamo identificare il sottospazio S

_r^∗

di P

ⁿ

(K)

^∗

con il sottospazio di P

ⁿ

(K)

Σ

_n−r−1

:

n

X

j=0

p

_ij

x

_j

= 0, i = 0, . . . , r. (2.3)

Infatti se S

_r

= P(W ) dove W = hv

0

, . . . , v

_r

i e

P

_i

= [v

_i

] = [(p

_i0

, . . . , p

_in

)], i = 0, . . . , r,

allora posto x = (x

₀

, . . . , x

_n

) e indicato con u · v il prodotto scalare di u, v ∈ K

ⁿ⁺¹

avremo

A(W ) = x ∈ K

ⁿ⁺¹

: x · v

_i

= 0, i = 0, . . . , r che` e la (2.3). La forma matriciale di (2.3) ` e







p

₀₀

p

₀₁

. . . p

_0n

.. . .. . . .. .. . p

_r0

p

_r1

. . . p

_rn











 x

₀

.. . x

_n





 =





 0

.. . 0





 .

E immediato notare che il sottospazio Σ `

_n−r−1

non dipende dalla scelta dei punti P

0

, . . . , P

r

ma solo da S

r

. D’ora in poi per indicare il duale di S

r

⊂ P

ⁿ

(K) come sottospazio di P

ⁿ

(K) useremo S

_r^∗

o Σ

_n−r−1

indifferentemente.

Esempio 2.8. Sia S

_n−1

un iperpiano di P(V ) e siano dati n punti indipendenti P

₀

, . . . , P

_n−1

tali che S

_n−1

= J (P

₀

, . . . , P

_n−1

). Sia P

_i

= [p

_i0

, . . . , p

_in

], i = 0, . . . , n − 1. Il sistema (2.3) diventa un sistema a n equazioni e n + 1 incognite di caratteristica n, quindi

x

j

= (−1)

^j

k

p

₀₀

. . . p c

_0j

. . . p

_0n

.. . .. . .. .

p

_{n−1 0}

. . . p [

_{n−1 j}

. . . p

_{n−1 n}

= kα

j

, j = 0, . . . , n, k ∈ K,

dove il simbolo b sugli elementi della colonna j-esima indica che la stessa ` e eliminata. Pertanto si ha

S

_n−1^∗

≡ Σ

₀

= [α

₀

, . . . , α

_n

]

e, per quanto visto nella Definizione 1.12, α

₀

x

₀

+ · · · + α

_n

x

_n

= 0 ` e l’equazione

dell’ iperpiano S

_n−1

.