Esercitazione
Esercitazione N.4 N.4
4 aprile 4 aprile 2007 2007
Rette e piani nello spazio Rette e piani nello spazio
Rette Rette e piani e piani : rappresentazione : rappresentazione parametrica parametrica e cartesiana e cartesiana
Parallelismo e ortogonalità
Proiezioni ortogonali
Mutue posizioni di rette e piani
ESERCIZIO1.
Rette - piani nello spazio – parallelismo - ortogonalità
Dato il piano π: x-y+2z-1=0 e il punto P(1,0,-1), determinare:
a) il piano passante per P e parallelo a π
b) due piani passanti per P e perpendicolari a π c) la retta passante per P e perpendicolare a π d) due rette passanti per P e parallele a π
e) il punto Q proiezione ortogonale di P su π.
a) Controlliamo se P∈ π sostituendo in π le cooordinate di P:NO ! Occorre sapere che il piano è individuato da un pto P e da un vettore direzionale N normale al piano :
P(x0, y0, z0), N=(a,b,c)
π : a(x-x0) +b(y-y0) +c(z-z0) =0
Equazione cartesiana del piano per P
N
P π
Piani paralleli hanno vettori normali paralleli
⇒ piano αper P, // π ha equazione : α : a(x-x0) +b(y-y0) +c(z-z0) =0 con N= (1,-1,2) , P(1,0,-1)
⇒ α : 1(x-1) -1(y-0) +2(z+1) =0 ⇒ α : x-y+2z+1 =0
P
π
α
b)
c) Retta per P , ⊥ π
Occorre sapere che la retta è individuata da un pto P(x0, y0, z0) e da un vettore direzionale ur= (l,m,n) : Equazioni parametriche di r :
r: ⎪
⎩
⎪⎨
⎧
+
= +
= +
=
nt z z
mt y y
t x x
0 0
0 l
t∈ R
Nel ns. caso r: ⎪
⎩
⎪⎨
⎧
+
−
=
−
= +
=
t z
t y
t x
2 1 1
t∈ R P
π
π ⊥α ⇔ Nπ ⊥ Nα
α : a(x-1) +b(y-0) +c(z+1) =0 Nπ = (1,-1,2), Nα =(a,b,c)
⇒ Nπ
⋅
Nα =0 ⇒ a-b+2c=0⇒ Infiniti piani , ad esempio
⇒ Nα =(a,b,c) = (1,1,0) α : (x-1) + (y)=0
α : x+y-1=0
Un altro piano β:2(y)+1(z+1)=0.
P ur
r
P
π
punto Vettore dir.
r ⊥ π ⇔ ur ⁄⁄ Nπ
d)
e) il punto Q proiezione ortogonale di P su π.
r //π ⇔ ur⋅Nπ =0
tutte le rette di α sono parallele a π . Si può procedere come in c) e trovare due rette in forma parametrica oppure individuare ciascuna retta come inter- sezione di αcon2 piani per P.
r: α∩β con β piano per P, distinto da α Da a) α : x-y+2z+1 =0
⇒ ad es. β: 1(x-1) -1(y-0)=0
⇒ r:
⎩⎨
⎧
=
−
−
= + +
−
0 1 y x
0 1 2z y
x , analogo per
l’altra retta.
RAPPRESENTAZIONE CARTESIANA DI UNA RETTA, intersezione di due piani
α
π N
ur
P
Da c) r :
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+
−
=
−
= +
=
t z
t y
t x
2 1 1
t∈ R
⇒ Q : π∩ r
⇒
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
= +
+
−
=
−
= +
=
0 1 - 2z y - x
2t 1 z
t y
t 1 x
⇒ 1+t+t-2+4t-1=0
⇒ 6t=2 ⇒t=1/3
⇒ per t=1/3 si ha il pto proiezione Q(4/3, -1/3, -1/3)
P
π
r Q
ESERCIZIO2.
Rette – piani- proiezioni ortogonali di punti su rette e su piani
Data la retta r:
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−
= +
=
=
t z
t y
t x
1 e il punto P(1,0,-1), determinare:
a) la retta passante per P e parallela ad r b) due rette passanti per P e ortogonali ad r c) il piano passante per P e ortogonale ad r d) la proiezione ortogonale di P su r
e) la retta passante per P e perpendicolare ed incidente r
a) Controlliamo se P∈r : dalla prima 1=t , dalla seconda 0=1+t,quindi 0=2 assurdo: P∉r
P
r
ur
s r parallela ad s ⇔ ur // us
r: ⎪
⎩
⎪⎨
⎧
−
= +
=
=
t z
t y
t x
1 , P(1,0,-1)
⇒ ur =(1,1,-1) ⇒ s:
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−
−
= +
= +
=
t z
t y
t x
1 0 1
b) due rette passanti per P e ortogonali ad r
c) il piano passante per P e ortogonale ad r
♦ Il luogo geometrico di tutte le perpendicolari alla retta r , passanti per P è il piano passante per P e
⊥
ad r.r
⊥
s ⇔ ur⊥
us ⇔ ur⋅
us=0 ur = (1,1,-1), us =(l,m,n)⇒ (1,1,-1)
⋅
(l,m,n) = 0⇒ l+m-n=0
⇒ ci sono infinite soluzioni . Ad es. per (l,m,n)=(0,1,1) si ha
s: ⎪
⎩
⎪⎨
⎧
+
−
= +
=
=
t z
t y
x 1 0 1
,
per (l,m,n)= (1,0,1) si ha
s′:
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+
−
=
= +
=
t z
y t x
1 0 1
r ⊥ π ⇔ ur ⁄⁄ Nπ P
r
ur
s
P
r ur
N Q
♦ Q è per def. la P.O. di P su r.
♦ L’unica retta passante per P,
⊥
ed incidente r è la retta PQ.Dunque il piano α per P(1,0,-1) di vettore Nα=u = (1,1,-1) è α :1(x-1)+1(y-0)-1(z+1) =0, cioè α : x+y-z-2=0
d) la proiezione ortogonale di P su r è Q=α∩r
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
−
= +
=
=
=
−
− +
t z
t 1 y
t x
0 2 z y x
⇒ t+1+t+t-2=0 ⇒ t=1/3⇒ Q(1/3,4/3,-1/3)
e) la retta passante per P, perpendicolare ed incidente r è la retta PQ :
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
+
− +
−
=
− +
=
− +
=
3)t 1 1 ( 1 z
3)t (0 4 0 y
3)t (1 1 1 x
⇒
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
−
−
=
= +
=
3t 1 2 z
3t y 4
3t 1 2 x
E scambiando2/3 t con t si ha la stessa retta con quest’altra rappre- sentazione parametrica :
retta PQ :
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−
−
=
= +
=
t 1 z
2t y
t 1 x
, t∈R
Eliminando il parametro t si ha la retta in forma cartesiana come
intersezione di due piani :
⎩⎨
⎧
= +
−
= 0 z x
1) 2(x
y ⇒ ⎩⎨⎧
= +
= 0 z x
0 2 - y - 2x P u=P-Q
ESERCIZIO3.
Mutue posizioni di rette e piani
Data la retta r:
⎪⎩
⎪⎨
⎧ +
=
−
= +
= t λ 1 z
t y
t λ x
2 e il piano π: x+2y+z=0, studiare al variare di λ in R la loro mutua posizione.
Studiamo r∩π :
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
= + +
+
=
−
= +
=
0 z 2y x
t λ 1 z
t y
t λ x
2 , per sostituzione otteniamo
l’equazione λ+t -2t +1+λ2t =0 , ossia l’equazione di I° grado in t
t (λ2-1)= -(λ+1) ⇒
Geometricamente: I. ∃! pto P di intersezione tra r e π ( r e π incidenti)
II. ogni pto di r sta su π,r⊂π,cioè r giace su π III. non esiste nessun pto a comune tra r e π, cioè r è parallela a π
I. se λ ≠ ±1 allora ∃! soluzione II. se λ = -1 allora ogni valore di
t soddisfa l’equazione III. se λ = 1 l’equazione non ha
soluzioni ( 0=-2)
OSSERVAZIONE
Un caso particolare di incidenza è la perpendicolarità : in tal caso il vettore direzionale di r risulta parallelo al vettore normale di π.
Dunque studiamo il caso λ≠±1
r: ⎪⎩
⎪⎨
⎧ +
=
−
= +
= t λ 1 z
t y
t λ x
2 ⇒ ur = (1,-1,λ2 )
π: x+2y+z=0 ⇒ Nπ = (1,2, 1)
ur ⁄⁄ Nπ ⇔ ur proporzionale a Nπ
( Attenzione ! NON UGUALI !)
La risposta è NO : (1,2,1) non è multiplo di (1,-1,λ2 ) qualunque sia λ ( il rapporto tra le prime cooordinate è 1 , mentre tra le se- conde è -2). Non esiste valore reale di λ per il quale r risulti per- pendicolare a π.
ESERCIZIO4.
Proiezione ortogonale di una retta su un piano
