Esercizi sui numeri complessi

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Matematica Discreta a.a. 2007 - 2008 Foglio 6

Esercizi sui numeri complessi

1. Determinare Re(z) e Im(z) dei seguenti numeri complessi:

a) z=

i i 2 1

4 1

+

− +

− b) z=

⁴

3 2 3

cos 2 ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ π + isen π

2. Determinare modulo ed argomento dei seguenti numeri complessi:

a) z=

2i 2

i 1

−

− b) z= (1+i)

⁹

c) z=

⁴₃

3i) (3

i) (1

− +

3. Sia z∈C tale che |z|=3 e Arg(z) = -81π. Determinare z in forma algebrica.

4. Siano z

1

= − 3 + i , z

2

= 1-i. Determinare a) | z

1

+ z

2

|, | z

1

z

2

|,

2 1

z z

.

b) Arg (i z

1

), Arg ⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

2 1

z

z , Arg(3z

2

)

c) Disegnare nel piano di Argand-Gauss z

1,

z

2

, z ,

₁

z .

₂

5. Scrivere in forma trigonometrica i seguenti numeri complessi:

a) -13 b) i 2 c) 4 - 4 3 i . 6. Scrivere

8

1 3

1 ⎟ ⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎝

⎛ + +

i

i in forma algebrica.

7. Calcolare i

⁵

+ i

⁶

+ i

⁷

+…. + i

⁴³

+ i

⁴⁴

. 8. Esercizio 7.123, pag. 90 , dispense di Niesi

∗ E’ utile guardare le 3 domande-risposte http://www.dima.unige.it/~baratter/c_bottarisp.pdf ∗ Si suggerisce di svolgere anche gli esercizi 7.118, 7.119,7.121, 7.126, a pag. 90 delle dispense di G. Niesi http://www.dima.unige.it/~niesi/MD/a05/MD05appunti.pdf

N OMENCLATURA

Dato il numero complesso in forma algebrica z=a+ib, si definisce:

• parte reale di z: Re(z) = a

• parte immaginaria di z : Im(z) = b

• modulo di z : |z| =ρ= a

²

+ b

²

• coniugato di z : z = a-ib

RISPOSTE

1.a) Re(z)=

5 9 , Im(z)=

5 − 2

1.b) Re(z)=

2 − 1 , Im(z)=

2 3

2. a) z=

2 − i , quindi |z|=

2 1 , Arg(z)=

2 − π ; b) z= 16+16i, quindi |z|= 16 2 , Arg(z)=

4 π ; c) usando De

Moivre … si trova |z|=

3 8 , Arg(z)=

4 7π 3. -3+0⋅i

4.a) 3 − 1 , 2 2 , 2 4.b) Arg(iz

1

)=

6 4 π

− , Arg ⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

2 1

z

z =

12 11 π

− , Arg(3z

2

)=

4 − π 5.a) 13(cosπ+isenπ)

5.b) 2 (cos 2 π + i sen

2 π )

5.c) ₎

3 (cos 3

8 ₋ π ₊ isen ₋ π

6.c) I P ASSO : Si scrivono numeratore e denominatore della base in forma trigonometrica :

)

3 (cos 3 2 . . . ...

3 1 π π

isen

i = = +

+ e )

4 (cos 4 2 . . . ...

1 π π

isen

i = = +

+

II P ASSO : Si effettua il quoto ottenendo z= ) 12 (cos 12 2 π + isen π

III P ASSO : Si calcola z

⁸

con la formula di De Moivre e si ottiene z

⁸

= … = ) 3 2 3 (cos 2

2

⁴

π ₊ _isen π

IV P ASSO : Si sostituiscono i valori numerici del seno e coseno: si arriva al risultato − 8 + 8 i 3 . 7. La somma vale zero. Raggruppare a ′gruppi di 4′, tenendo conto che i

⁵

+ i

⁶

+ i

⁷

+ i

⁸

=0