Problemi di Piccole Oscillazioni

Problemi di Piccole Oscillazioni

Nota introduttiva:

Lo scopo di queste dispense non è trattare la teoria riguardo ai problemi di piccole oscillazioni, ma solo dare un metodo risolutivo pratico utilizzabile negli esercizi.

Introduzione

Un problema di piccole oscillazioni a n gradi di libertà equivale a un sistema di n equazioni differenziali lineari di secondo ordine. Vedremo come possiamo scrivere praticamente queste equazioni con l’usa della funzione Lagrangiana.

Gradi di libertà

Ogni punto materiale libero di muoversi nello spazio ha 3 gradi di libertà. Ogni vincolo (dove per vincolo si intende una qualsiasi relazione che pone fissa una distanza da qualcosa) riduce di 1 i gradi di libertà. Quindi 2 particelle collegate da un’sta hanno 2x3-1=5 gradi di libertà. I corpi rigidi, composti da infinite particelle, hanno però solo 6 gradi di libertà (in quanto rigidi la distanza di tutte le particelle da tutte le altre è fissa).

Lagrangiana

Detta T l’energia cinetica e V l’energia potenziale posseduta dal sistema, la funzione lagrangiana è 𝐿 = 𝑇 − 𝑉

Se nel problema interviene una forza esterna (di tipo conservativo), è necessario includere nell’energia potenziale il potenziale dovuto a tale forza.

Per essere scritta correttamente la lagrangiane deve dipendere solo da n coordinate generalizzate (spostamenti lineari, spostamenti angolari, ecc) e dalle loro derivate prime rispetto al tempo.

𝑞 = 𝑐𝑜𝑜𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑡𝑎 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑙𝑖𝑧𝑧𝑎𝑡𝑎 𝑞̇ = 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑡à 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑙𝑖𝑧𝑧𝑎𝑡𝑎

Metodo risolutivo

Passo A: Trovare i punti di equilibrio stabile

Le piccole oscillazioni si hanno attorno ai punti di equilibrio, quindi per prima cosa vanno cercati quelli. Per trovarli è sufficiente imporre

∇��⃗𝑉 = 0 𝑒 𝐻

< 0

Dove H

è l’Hessiano di V e <0 indica che deve essere una forma quadratica definita negativa. Una volta

trovati i punti di equilibrio è conveniente per ognuno fare un cambio di coordinate in modo di prendere

l’origine nel punto di equilibrio.

Passo B: Valutare L nei punti di equilibrio

È ora necessario scrivere una forma approssimata di L valida nei punti di equilibrio (una per ognuno!).

Scriveremo la lagrangiana come

𝐿(𝑞

, 𝑞̇

) = 𝐿(0,0) + ∇��⃗𝐿(0,0) ∙ 𝑃�⃗ + 𝑃 ����⃗𝐻

(0)𝑃�⃗ = 𝑃

����⃗𝐿𝑃�⃗

Dove P è il vettore di dimensione 2n che contiene le n coordinate e le n velocità. Dato che il gradiente di L in 0 è nullo (dato che abbiamo preso l’origine nei punti di equilibrio e che l’energia cinetica dipende dal quadrato delle coordinate) e che, dato che ciò che interessa sono le variazioni di L, il valore di L nell’origine non ci interessa essendo costante. Da ora in poi chiameremo l’Hessiano di L in 0 L.

Passo C: Scrivere e risolvere le equazioni

Le equazioni differenziali da scrivere sono dette di Eulero-Lagrange:

𝜕𝐿

𝜕𝑞

− 𝑑 𝑑𝑡 �

𝜕𝐿

𝜕𝑞̇

� = 0 𝑖 = 1 … 𝑛 Osserviamo che

𝜕𝐿

𝜕𝑞

= 2(𝛿

0)𝐿𝑃 = −𝑉𝑄

𝜕𝐿

𝜕𝑞̇

= 2(0 𝛿

)𝐿𝑃 = 𝑇𝑄̇

𝑑 𝑑𝑡 �

𝜕𝐿

𝜕𝑞̇

� = 2(0 𝛿

)𝐿𝑃 = 𝑇𝑄̈

Otteniamo così il sistema di equazioni

𝑇𝑄̈ + 𝑉𝑄 = 0 𝑄̈ = −𝑇

𝑉𝑄 = −𝑊𝑄

Gli auto valori di W sono le frequenze proprie del sistema, gli auto vettori sono i modi propri.

Naturalmente bisogna avere poi accortezza nel riportare tutto nelle coordinate usate all’inizio del

problema.