Sistemi Dinamici

Sistemi Dinamici e Meccanica Classica Esame del 4/12/2012

Sistemi Dinamici

Esercizio SD1. Una particella di massa unitaria si muove sull’asse x soggetta ad una forza di energia potenziale

U (x) = 3

2x⁴+ 7 x³+15 2 x² 1. Tracciare qualitativamente le curve di fase del sistema.

2. Calcolare le tangenti alla separatrice nel punto di equilibrio instabile, e le frequenze delle piccole oscillazioni attorno ai punti di equilibrio stabile.

3. Scrivere l’integrale definito che d`a il periodo del moto periodico che si ha (con dato iniziale x(0) < 0) per E = 0.

Esercizio SD2 – (12 crediti) Si consideri il sistema dinamico:

 x =˙ −y + (1 − a)x − x³

˙

y =−y + (2 − a)x − x³ (1)

Si determini il punto di equilibrio e se ne discuta la stabilit`a al variare di a∈ R.

(Per a = 0 si verifichi che la funzione W (x, y) = ¹₂y²− yx + x² `e una buona funzione di Lyapunov).

Meccanica Lagrangiana

Esercizio L Nel piano verticale xOz, si consideri il sistema costituito dai due punti materiali P1 (di massa m) che scorre sull’asse x e P₂ (di massa 2 m) che scorre sul grafico della funzione z = x²

2 L+ L.

P₁ e P₂ si attraggono con una forza elastica di costante elastica k (si veda la figura sotto). I vincoli sono supposti lisci.

1. Determinare la Lagrangiana del sistema e scrivere le equazioni di Eulero-Lagrange.

2. Verificare che il sistema ammette un solo punto di equilibrio, che `e di equilibrio stabile.

3. Posto 2 mg = kL, trovare le frequenze proprie ed i modi normali di oscillazione attorno a tale punto.

2

P P

z

x g

1

1

Meccanica Hamiltoniana

Esercizio H1. Si dimostri che la trasformazione

 Q₁ = q₁ Q₂ =−¹₂q₂

 P₁= p₁− q22

P₂=−2 p2+ 4 q₁q₂ (2)

`

e canonica e se ne determini una funzione generatrice di II specie.

Esistono funzioni generatrici di altre specie?

Esercizio H2 – (12 crediti). Si consideri

H(x, y, p_x, p_y) = 1

2(y²p²_x+py2

y² ) + 3y²

x⁴+ 1 (3)

1. Si dimostri che l’equazione di Hamilton-Jacobi associata ad H ammette un integrale completo separato.

2. Si scriva esplicitamente l’integrale del moto ottenuto attraverso il processo di separazione delle variabili nell’equazione di H-J come funzione di {x, y, px, p_y}.

2